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• Moises Zhiña

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Sistema de coordenadas cartesianas El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las x, y la vertical, eje de las ordenadas o y; el punto donde se cortan recibe el nombre de origen, el cual es 0. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Localización de un punto en el plano cartesiano Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Ejemplo:

Cuadrantes del sistema de coordenadas: 1er. Cuadrante = {(x, y)= x > 0, y > 0} 2do. Cuadrante = {(-x, y)= x < 0, y > 0} 3er. Cuadrante = {(-x,- y) = x < 0, y < 0} 4to. Cuadrante = {(x, -y) = x > 0, y < 0}.

Distancia entre dos puntos: En geometría se define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de recta que une a estos dos puntos

Dados dos puntos cualesquiera A (x1, y1), B = (x2, y2) definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Formula: d(A,B) = √

Ejemplo Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2). d(A,B) = √ d(A,B) = √ EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Encontremos el perímetro de un triángulo cuyos vértices son los puntos a(1, 0), B(1, -3) y C(3, 4).

SOLUCIÓN

Perímetro 0 d(A, C) + d (C, B) + d(A, B) Aplicando la fórmula de distancia separadamente tenemos: d(A, C) = √((3-1)2 + (4-0)2) = √(4+16) = √20 d(C, B) = √((1-3)2 + (-3-4-)2) = √(4+49) = √53 d(B, A) = √((1-1)2 + (0-(-3))2) = 3 Sumando estas relaciones: Perímetro: d(A, C)+ d(C, B) +d(B, A)= √20 + √53 + 3. 1.

Encontremos la distancia entre los puntos P(-2, 4) y Q(4, 3)

SOLUCIÓN Por aplicación de la fórmula de la distancia con X2 = 4, y2 = 3, x1 = -2 y y1=4, se tiene: d(P, Q) = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2) d(P, Q) = √((4-(-2))2 + (3-4-)2) d(P, Q) = √((4+2)2 + (3-4)2) = √37 La distancia pedida es √37 unidades de longitud PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN Ángulo de inclinación Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.

El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 90° < q 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Cálculo de la pendiente

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuación de la recta.

Ejemplos La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

1. Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la condición de paralelismo establece que m1 = m2. Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones q1 y q2 son iguales, es decir, q1 = q2 y l en consecuencia tg q1 = tg q2, por lo tanto m1 = m2.

2. Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

Sean l1 y l2 dos recta perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90° ; es decir, en cualquiera de los casos q1=q2+90° o q2=q1+90°; por lo tanto: tg =-ctg q2 Tg = 1 tg q2 y como tg q1=m1 y tg q2 =m2, tenemos que: m1= 1/ m2 O también: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es igual −1 m1m2=−1 3.Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente, es decir la pendiente de una recta paralela al eje y no existe. Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes x y y , que son, por supuesto, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje x es cero, puesto que tg 0°=tg 180°=0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje y es indefinida, puesto que tg de 90°= y PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la pendiente "m" y el ángulo de inclinación de las rectas determinadas por los pares de los puntos siguientes: 1) A (5, 2) , B (9, 6) 2) C (-4, 2) , D (-4, 7) 3) E (-6, 4) , F (5, -8) 4) G (5, -9) , H (10, -9) SOLUCIÓN

Consideremos los puntos B, D, F y G con sus coordenadas C, E, G como las coordenadas

y tendremos:

y los puntos A, B,

1)

2)

3)

4) Ahora tracemos la recta para verificar los cálculos anteriores.

2. Demostrar que los puntos A(-3, -9) B(4, -3) y C(11, 3) son colineales. SOLUCIÓN Si los puntos están sobre la misma línea recta, sus pendientes deben ser iguales. DEMOSTRACIÓN:

Pendiente de AB =

Pendiente de BC =

Pendiente de AC = Ahora tracemos los puntos para verificar que son colineales.

3. Demostrar que los puntos A(-4, -6), B(2, 4) y C(-9, -3) son los vértices de un triángulo rectángulo. SOLUCIÓN Ubicar los puntos dados en el plano cartesiano.

Las rectas AB y AC son perpendiculares y el producto de sus pendientes debe ser igual a uno negativo.

por lo tanto es un triángulo rectángulo.

4. Si el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 30°, y la pendiente de L1 es de 2, determina la pendiente de L2. SOLUCIÓN

despejando la incógnita m:

, factorizando:

, sustituyendo

m2 = 8.7 Tracemos la gráfica respectiva.

5. El ángulo formado por la recta que pasa por los punto A(3, Y) y B(-4, 5) con la recta que pasa por C(-6, -8) y D(4, 0) es de 135° calcula el valor de Y. SOLUCIÓN 1)Calculemos las pendientes de cada recta.

Sustituyendo tg 135° = -1 en la ecuación tendremos.

Y por lo tanto el punto A(3, Y) = (3, 4.2) Ahora para la comprobación tracemos los puntos dados en el plano cartesiano.

division de un segmento en una razon dada

Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que Como puede observarse, se han formado 2 triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación: , es decir: De donde: x – x1 = r (x2 – x) x – x1 = r x2 – r x x – r x = x1 +r x2 factorizando; x ( 1+r ) = x1 + r x2 despejando;

De manera similar ; Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que: De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas: De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5, 3)

Punto medio de un segmento. Como el mismo nombre lo indica, es el punto que divide al segmento en dos partes iguales. Para calcular las coordenadas del punto medio de cualquier segmento, se promedian las coordenadas de los extremos.

Ejercicios resueltos

Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

http://es.scribd.com/doc/36172330/5/Division-de-un-segmento-en-una-razon-dada