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Apéndice II Otros sistemas de coordenadas En este apéndice incluiremos tres nuevos sistemas de coordenadas muy importantes, uno de ellos en el plano y los otros dos en el espacio. Estos dos últimos desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan con integrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

1 Sistema de coordenadas polares

.c

em at

ic

a1

Figura 1

om

Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo) y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).

w.

ww

r: distancia dirigida de O a P.

M

at

A cada punto P del plano puede asignársele un par de coordenadas, (r , θ ), llamadas coordenadas polares del punto P y tales que:

è: ángulo (positivo o negativo y expresado en radianes) formado por el eje polar y el rayo OP (figura 1b).

Observaciones: i.

Para un ángulo dado è, la coordenada r puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se toma sobre OP o sobre su prolongación. En la figura 2 se ilustra esta situación para diferentes puntos en el plano polar.

Elementos básicos de cálculo integral y series

439

Figura 2

ii.

Un punto P(r , θ ) en coordenadas polares puede tener diferentes representaciones según la escogencia que se haga de las coordenadas r y θ.

⎛ π⎞ Así por ejemplo, el punto P ⎜ 3, ⎟ (figura 3a) puede tener las siguientes representaciones: ⎝ 4⎠ 3π ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ P ⎜ 3, ⎟ ⇔ P1 ⎜ −3, − ⎟ 4 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝

.c o

7π ⎞ ⎛ ⇔ P3 ⎜ 3, − ⎟ 4 ⎠ ⎝

(figura 3d)

a1

(figura 3c)

at em

at ic

5π ⎞ ⎛ ⇔ P2 ⎜ −3, ⎟ 4 ⎠ ⎝

M

(figura 3e)

ww w.

⎛ 9π ⎞ ⇔ P4 ⎜ 3, ⎟ ⎝ 4 ⎠

m

(figura 3b)

De aquí se deduce que no existe una correspondencia biunívoca entre los puntos P(r ,θ ) y los puntos del plano, como sí se cumple en el sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3

440

1.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y polares Para establecer la relación existente entre los sistemas de coordenadas polares y rectangulares, hacemos coincidir inicialmente los dos planos. Es decir, el polo del plano polar coincidiendo con el origen del plano cartesiano y el eje polar con el eje x (figura 4).

.c o

m

Figura 4

„

y ⎛ y⎞ ⇒ θ = tan −1 ⎜ ⎟ . x ⎝x⎠

cos θ =

x ⇒ x = r cos θ. r

sen θ =

y ⇒ y = r sen θ. r

(1) (2) (3)

ww w.

M

tan θ =

at ic

x2 + y2 .

at em

x2 + y 2 = r 2 ⇔ r = ±

a1

De esta forma para el punto P podemos establecer las siguientes relaciones, que se deducen fácilmente de la figura 4;

(4)

Si conocemos las coordenadas rectangulares del punto P( x, y ), entonces usando (1) y (2) podemos determinar las coordenadas polares P(r , θ ) del mismo punto.

„

Si conocemos las coordenadas polares P(r , θ ) del punto, entonces usando (3) y (4) podemos determinar las coordenadas rectangulares P ( x, y ) del mismo punto.

Ejemplo 1 Escriba en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares:

a.

P1 (3, π).

b.

3π ⎞ ⎛ P2 ⎜ 2, − ⎟ . 4 ⎠ ⎝

Elementos básicos de cálculo integral y series

441

Solución a.

Como r = 3 y θ = π , se sigue entonces de (3) y (4) que:

x = r cos θ ⇒ x = 3 ⋅ cos π = −3, y = r sen θ ⇒ y = 3 ⋅ sen π = 0. En consecuencia, el punto P1 (3, π) en coordenadas polares tiene su homólogo P1 (−3, 0) en coordenadas rectangulares.

b.

Como r = 2 y θ = −

3π , se deduce entonces de (3) y (4): 4

⎛ 3π ⎞ 2 cos ⎜ − ⎟ = 1, ⎝ 4 ⎠ ⎛ 3π ⎞ y = r sen θ = 2 sen ⎜ − ⎟ = −1. ⎝ 4 ⎠

.c o

m

x = r cos θ =

at ic

a1

3π ⎞ ⎛ En consecuencia, el punto P2 ⎜ 2, − ⎟ en coordenadas polares tiene su homólogo P2 (1, −1) en coordenadas 4 ⎠ ⎝ rectangulares.

at em

Ejemplo 2

a.

P1 (− 3,1).

b.

ww w.

M

Escriba en polares (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares:

P2 (−2, −2 3).

Solución En la figura 5 aparecen los puntos localizados en el plano cartesiano, los cuales nos ayudarán a determinarlos en coordenadas polares.

Figura 5

442

a.

Como x = − 3 e y = 1, se deduce entonces de (1) y (2) que: r = x 2 + y 2 = (− 3) 2 + 12 = 2, ⎛

θ = tan −1 ⎜ − ⎝

1 ⎞ 5π ⎟= . 3⎠ 6

⎛ 5π ⎞ En consecuencia, el punto P2 (− 3,1) en coordenadas rectangulares tiene su correspondiente P2 ⎜ 2, ⎟ en coor⎝ 6 ⎠ denadas polares. b.

Similarmente, como x = −2 e y = −2 3 (figura 5b), se deduce de (1) y (2) que:

.c o

a1

4π (puesto que x < 0 y y < 0). 3

at ic

θ = tan −1 ( 3) =

m

r = x 2 + y 2 = 4 + 12 = 4,

M

at em

⎛ 4π ⎞ Luego el punto P2 ⎜ 4, ⎟ es el correspondiente en coordenadas polares al punto P2 (−2, −2 3) en coordena⎝ 3 ⎠ das rectangulares.

ww w.

Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) no sólo son útiles para transformar puntos de un sistema a otro, sino que también permiten expresar una relación de la forma y = f ( x) en una de la forma r = f (θ ) y viceversa, como lo mostraremos en la próxima sección.

1.2 Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares La gráfica de una ecuación en coordenadas polares (r , θ ) consiste en todos aquellos puntos P que tienen por lo menos un par de coordenadas que satisfacen la ecuación. Se llama ecuación polar a la ecuación de una gráfica cuyos componentes se dan en coordenadas r y θ , para distinguirla de la ecuación cartesiana cuyas componentes se dan en términos de x e y.

Ejemplo 3 Escriba la ecuación polar de las siguientes ecuaciones cartesianas: a.

x 2 + y 2 = 16.

b.

( x 2 + y 2 ) 2 = 4( x 2 − y 2 ).

Elementos básicos de cálculo integral y series

443

Solución a.

De acuerdo con (1), x 2 + y 2 = r 2 . Luego, en nuestro caso, x 2 + y 2 = 16. Así que r 2 = 16, lo cual implica que r = ±4. Esto es, r = 4 o r = −4 representa en coordenadas polares la ecuación de una circunferencia centrada en el polo y radio 4. Nota: en coordenadas polares, la ecuación r = 4 o r = − 4 se lee: «Cualquiera que sea el ángulo θ , r = 4» «Cualquiera que sea el ángulo θ , r = −4 »

Usando las ecuaciones (1), (3) y (4) podemos escribir en este caso:

at ic

b.

a1

.c o

m

Note además que ambas ecuaciones representan la misma circunferencia, pero recorridos en formas diferentes.

at em

(r 2 ) 2 = 4( r 2 cos 2 θ − r 2 sen 2 θ ) ⇔ r 4 = 4r 2 cos 2θ

⇔ r 2 (r 2 − 4 cos 2θ ) = 0

ww w.

M

⇔ r = 0 ∨ r 2 = 4 cos 2θ .

Pero r = 0 (ecuación del polo), lo cual indica que la curva pasa por el origen. La otra igualdad, r 2 = 4 cos 2θ, representa la ecuación polar de la ecuación cartesiana dada.

Ejemplo 4 Escriba la ecuación cartesiana de las siguientes ecuaciones polares:

a.

r 2 = 2 sen 2θ.

b.

r=

Solución a.

En primer lugar, r 2 = 2 sen 2θ ⇔ r 2 = 2 ⋅ 2 sen θ cos θ.

444

6 , r > 0. 2 − 3 sen θ

Ahora, usando las igualdades (1), (3) y (4), se puede escribir la última igualdad: 4 xy ⎛ y ⎞ ⎛ x ⎞ 4 xy x2 + y 2 = 2 ⋅ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 = 2 . r r r x + y2 ⎝ ⎠⎝ ⎠

Es decir, ( x 2 + y 2 ) 2 = 4 xy es la ecuación cartesiana de la ecuación polar dada.

b.

La ecuación r =

r=

6 puede escribirse en las formas equivalentes: 2 − 3sen θ

6 6 6r ⇔r= = y 3 2 − 3sen θ 2r − 3 y 2− r ⇔ 2r − 3 y = 6

a1

.c o

m

⇔ 2 x 2 + y 2 = 6 + 3 y.

at ic

Esto es, la ecuación 2 x 2 + y 2 = 6 + 3 y es la ecuación cartesiana de la ecuación polar dada.

La ecuación en su forma polar

ww w.

M

i.

at em

1.2.1 Algunas gráficas importantes en coordenadas polares

⎧ θ = α (α : en radianes) ⎪ ⎨ ⎪ θ = α ± 2 nπ ⎩

representa una línea recta que pasa por el polo, formando un ángulo α con el eje polar (figura 6a). ii.

La ecuación en su forma polar r sen θ = b ⇔ r = b csc θ

representa una recta paralela al eje polar, que corta al rayo

π b unidades por encima o por debajo del polo 2

(figuras 6b y 6c). iii.

La ecuación en su forma polar

r cos θ = a ⇔ r = a sec θ representa una recta paralela al rayo

π , que corta al eje polar a unidades a la derecha (a > 0) o a la izquierda 2

(a < 0) del polo (figuras 7a y 7b).

Elementos básicos de cálculo integral y series

445

m .c o

a1 at ic at em ww w.

M

Figura 6

Figura 7

iv.

La ecuación en su forma polar: r = c, c = constante, representa una circunferencia centrada en el polo y cuyo radio es c (figura 8). Las curvas r = c o r = − c representan la misma circunferencia, sólo que su recorrido se inicia en el punto (c, 0) o en el punto ( − c , 0) (figuras 8a y b).

446

Figura 8

m

Considere ahora la ecuación en forma cartesiana:

a1

.c o

x 2 + y 2 − 2ax − 2by = 0,

at ic

la cual representa una circunferencia que pasa por el origen, cuyo centro es el punto C (a, b) y su radio es

at em

a 2 + b2 .

M

Para analizar la ecuación dada la escribiremos en la forma polar así: r 2 − 2ar cos θ − 2br sen θ = 0 ⇔ r (r − 2a cos θ − 2b sen θ ) = 0 ⇔ r = 0 (ecuación del polo)

ww w.

v.

∨ r = 2a cos θ + 2b sen θ.

Es decir, r = 2a cos θ + 2b sen θ (*)

representa la misma circunferencia.

„

Si b = 0, entonces (*) se transforma en:

r = 2a cos θ, la cual representa una circunferencia con centro en el punto C (a, 0) y que pasa por el polo (figuras 9a y 9b).

Elementos básicos de cálculo integral y series

447

Figura 9

„

Si a = 0, entonces (*) se transforma en:

a1

.c o

m

r = 2b sen θ,

ww w.

M

at em

at ic

⎛ π⎞ la cual representa una circunferencia con centro en el punto C ⎜ b, ⎟ y que pasa por el polo (figuras 10a ⎝ 2⎠ y 10b).

Figura 10

vi.

La gráfica de una ecuación en la forma polar

⎧r = a cos nθ ⎪ ⎨ ⎪r = a sen nθ ⎩ representa una rosa de n «pétalos» si n es impar, y de 2n «pétalos» si n es par.

448

Así por ejemplo, la ecuación r = 2 sen 3θ representa una rosa de tres pétalos, como la que aparece en la figura 11a.

Figura 11

con a > 0, b > 0

M

⎧r = a ± b cos θ ⎪ ⎨ ⎪r = a ± b sen θ ⎩

at ic

La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:

at em

vii.

a1

.c o

m

La ecuación r = 3 cos 2θ representa una rosa de cuatro «pétalos», como la que aparece en la figura 11b.

ww w.

se denomina limazón (figura en forma de caracol) y su forma depende de la relación entre los valores de a y b así:

viii.

„

Si a = b, se llama cardiode (figura 12).

„

Si 0