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• ARAMAYO Juan

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UNSa- FACULTAD DE INGENIERIA ANALISIS MATEMATICO II TEMA V. OPERADORES VECTORIALES OPERADORES VECTORIALES EN COORDENADAS CARTESIANAS 

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Sea f un campo escalar definido como 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ1 , D abierto conexo, 𝑓 ∈ ∁1 en D ∕ 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝛻𝑓 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ⃗⃗ 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

El gradiente se aplica a un campo escalar y se obtiene un campo vectorial. Generalización del gradiente Sea f un campo escalar definido como 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ1 , D abierto conexo, 𝑓 ∈ ∁1 en D ∕ 𝑓 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑛

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝛻. 𝑎̅(𝑥̅ ) = 𝑒⃗1 + 𝑒⃗2 + ⋯ 𝑒⃗𝑖 + ⋯ + 𝑒⃗𝑛 = ∑ 𝑒⃗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝑖 𝑖=1



DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Sea 𝑎̅ un campo vectorial 𝑎̅: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ3 , 𝐷 abierto conexo, 𝑎̅ ∈ 𝐶 1 en 𝐷 ∕ 𝑎̅ (𝑥, 𝑦. 𝑧) = (𝑎1 (𝑥̅ ), 𝑎2 (𝑥̅ ), 𝑎3 (𝑥̅ ))

𝛻. 𝑎̅ =

𝜕𝑎1 𝜕𝑎2 𝜕𝑎3 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

La divergencia la aplicamos a un campo vectorial 𝑎̅ y obtenemos un campo escalar. Generalización de la Divergencia Sea 𝑎̅ un campo vectorial 𝑎̅: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 , 𝐷 abierto conexo, 𝑎̅ ∈ 𝐶 1 en 𝐷 𝑎̅(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛 , ) = (𝑎1 (𝑥̅ ), 𝑎2 (𝑥̅ ), … , 𝑎𝑖 (𝑥̅ ), … , 𝑎𝑛 (𝑥̅ )) 𝑛

𝜕𝑎1 𝜕𝑎2 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝑎𝑛 𝜕𝑎𝑖 𝛻. 𝑎̅(𝑥̅ ) = + +⋯ +⋯+ =∑ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝑖=1

UNSa- FACULTAD DE INGENIERIA ANALISIS MATEMATICO II TEMA V. OPERADORES VECTORIALES 

ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL

Sea 𝑎̅ un campo vectorial 𝑎̅: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ3 , 𝐷 abierto conexo, 𝑎̅ ∈ 𝐶 1 en 𝐷 ∕ 𝑎̅ (𝑥, 𝑦. 𝑧) = (𝑎1 (𝑥̅ ), 𝑎2 (𝑥̅ ), 𝑎3 (𝑥̅ )) Lo obtenemos como:

𝑖⃗ 𝜕 𝛻 ∧ 𝑎̅ = 𝜕𝑥 [ 𝑎1

𝛻 ∧ 𝑎̅ = (

𝑗⃗ 𝜕 𝜕𝑦 𝑎2

⃗⃗ 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 𝑎3 ]

𝜕𝑎3 𝜕𝑎2 𝜕𝑎1 𝜕𝑎3 𝜕𝑎2 𝜕𝑎1 ⃗⃗ − ) 𝑖⃗ + ( − ) 𝑗⃗ + ( − )𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

El rotor se aplica a un campo vectorial 𝑎̅ y se obtiene otro campo vectorial. 

LAPLACIANO DE UN CAMPO ESCALAR

Sea f un campo escalar definido como 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ1 , D abierto conexo, 𝑓 ∈ ∁1 en D ∕ 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 𝛻 𝑓= 2+ 2+ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2