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• André Cristhian Canales Meza

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos. FIEE. Sistemas De Control II

SISTEMA BOLA Y VIGA Iparraguirre Tamariz Joel David, 15190147 [Nombre2] [Código 2] [Nombre3] [Código 3] RESUMEN La descripción del siguiente trabajo hará conocer el desarrollo de un sistema de control viga y bola. Su mecanismo se basa en un ángulo que funcionará como brazo palanca, en un extremo estará fijo en una viga y al otro estará controlado por un servomotor. El sistema debe de ser capaz de ubicar a una esfera que se esté desplazando sobre una viga a una posición r, la posición de esta será controlada mediante la variación del ángulo α de la viga, el cual está directamente relacionado con el ángulo θ que presente el engranaje del servomotor, de esta manera la bola podrá estar posicionada en el lugar que se desee balanceando la viga de la forma más adecuada. La planta estará linealizada sobre un punto específico de operación y se muestra la implementación de un controlador PID (Controlador Proporcional Integral Derivativo) que permitirá la estabilidad del sistema en lazo cerrado.

Controlador PID (Controlador Proporcional Integral Derivativo), Servomotor. INTRODUCCIÓN El sistema de viga y bola es un importante y clásico modelo para diseñar ingeniería de control y sistemas. Es muy conocido debido a que es un sistema simple y fácil de entender que puede ser utilizado para estudiar muchos métodos clásicos y modernos de diseño de controladores. Posee una propiedad muy interesante: es

ABSTRACT

The  following description of the project, will  describe the development of  a control system  ball-beam.  Its mechanism is based on  an angle function as lever arm, at one end  is fixed to a bea m and the other is controlled by a  servomotor. The system must be able to locate  an area that  is traveling on a beam  to  an r position, this position will be controlled  by varying the angle  α  of the bar, which is directly related to the angle αthat this servo gear, so the area can be positioned at the desired location barswinging the most appropriate way. The plant will be linearized about a  specific operating point and shows the implementation of a PID (Proportional Integral Derivative) that allow the stability of the closed loop system. PALABRAS CLAVES

inestable en lazo abierto. Figura 1: Sistema del Viga y Bola El esquema mostrado en la Figura 01 es un sistema muy simple, el cual describe el funcionamiento del Viga y Bola; con una bola de acero rodando sobre un ángulo de aluminio que está montado sobre el eje de un servomotor. En esta configuración, la barra puede ser inclinada con uno de sus extremos fijos aplicando una señal de control eléctrica al controlador que maneja el motor.

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La posición de la bola en la barra es registrada con un sensor lineal capaz de medir la posición de la bola respecto a la pista midiendo el voltaje de la salida de la barra de aluminio. Un servomotor controla el ángulo de la viga, y así control de posición de la bola.  MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA Una bola se coloca en un haz, donde se permite rodar con un grado de libertad a lo largo de la longitud de la barra. Un brazo de palanca se une a la barra en un extremo y un servomotor en el otro. A medida que el equipo de servo se convierte en un ángulo θ , la palanca de cambios en el ángulo del haz de α. Cuando se cambia el ángulo de la posición horizontal, la gravedad hace que la bola ruede a lo largo de la barra. Un controlador se diseña para el sistema de modo que la posición de la bola puede ser manipulada.

mecánico a un nivel energético. Es decir, según la energía cinética y la energía potencial presente. Tenemos: L=T −U …I Donde: L: Lagrangiano, T: Energía Cinética, U: Energía Potencial Para proceder en el análisis, por ahora, solo nos concentramos en el sistema formado únicamente por la bola y la viga:

Figura 3: Modelo físico del sistema Verificando que energías están presentes, notamos que la esfera (por condiciones del problema) no se desliza, es decir, tiene un rodamiento perfecto. Por lo cual la esfera posee dos formas de rapidez:  

Figura 2: Diseño del Sistema Viga y Bola Para este problema, vamos a suponer que la bola rueda sin deslizamiento y la fricción entre la viga y la bola es insignificante. Las constantes y variables para este ejemplo se definen como sigue: Para un sistema mecánico, en física se cuenta con una función especial llamada Lagrangiano, esta relaciona las variables de un sistema

Rapidez de traslación Rapidez de rotación

De parte de la viga, esta actúa solo como un brazo que sube o baja girando desde un eje fijo, por lo que solo posee rapidez de rotación. Entonces, dado que la energía cinética (tanto la de traslación como la de rotación) depende de la rapidez de los cuerpos, tenemos la expresión de la energía cinética del sistema bola-viga:

1 1 1 T = m v bola2 + I bola ω bola2 + I viga ω viga 2 2 2

… II

Y también del sistema tenemos la energía potencial gravitatoria de la esfera, que es la 2

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única que se sube o baja respecto a la variable “y” (ésta no afecta a la viga):α

Figura 5: Esquema de la rapidez en la bola La expresión de la rapidez de traslación neta es:

v bola=√ r˙ 2 + α˙ 2( L−r )2

Figura 4: Modelo físico del sistema en detalle Donde:

U =−mg( L−r )sin α Ahora desglosando las variables, notamos que la rapidez de traslación de la bola tiene dos componentes:

… III

Lo mismo ocurre con la rapidez de rotación de la bola, ésta también posee dos componentes: 1. Una rapidez angular propia de su caída en un plano inclinado 2. Otra rapidez angular que proviene de la rotación de la viga. Esto se puede visualizar en el siguiente gráfico:

1. Una en la cual se desplaza a lo largo de la viga 2. Otra la cual es otorgada por la viga tangencialmente

Figura 6: Velocidad angular en la bola Entonces la velocidad angular neta de la bola es:

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ω bola= φ+ ˙ α˙

… IV

Además de las condiciones de deslizamiento, se cumple que desplazamiento ’r’ es igual:

no el

∂L =−m L2 α˙ 2 +mr α˙ 2−mgsen(α ) ∂r Uniendo las partes, la ecuación se reduce:

(m+ RJ ) r¨ + J αR¨ + m L α˙ −mr α˙ + mgsen ( α )=0 2

r =Rφ

2

2

2

r˙ φ= ˙ R

Derivando:

Como método de linealización de la ecuación del sistema, asumiremos un ángulo α pequeño, por lo que la ecuación se reduciría nuevamente a: Para α ≅ 0:

... V

Reemplazando en II en I:

r ω bola= ˙ + α˙ R

Con respecto a la viga, su rapidez angular solo es la primera derivada de su desplazamiento angular α:

ω viga =α˙

…VI

(

m+

J r¨ + mgsen ( α )=0 R2

)

La cual es la expresión proporcionada por el problema. Ahora los datos que se dan son:

Ahora si ya podemos reemplazar (III), (V) y (VI) en la ecuación (I):

1 1 1 T = m v bola2 + I bola ω bola2 + I viga ω viga 2 2 2 2

1 2 1 r˙ 1 T = m( r˙ 2 + α˙ 2 ( L−r ) )+ I bola + α˙ + I viga α˙ 2 2 R 2

( )

Entonces el Lagrangiano:

M masa de la pelota R radio de la bola d brazo de palanca acodada aceleración de la g gravedad L longitud de la viga J bola momento de inercia

0,11 kg 0.015 m 0,03 m 9,8 m / s 2 1m 9.99e-6 kgm2

La ecuación de Lagrange del movimiento de la bola es dada por:

2 1 2 1 r˙ 1 2 2 ( ) ( L−r ) sin α ) L= m ( r˙ + α˙ L−r ) + I bola + α˙ + I viga α−(−mg ˙ J d2 r dα 2 2 R 2 0= 2 + m + mg(senα )−mr 2 dt R dt

(

)

Ahora usamos la ecuación de Euler-Lagrange:

)

( )

Linealización de la ecuación sobre el ángulo del haz, α = 0, nos da la siguiente aproximación lineal del sistema:

d ∂L ∂L − =0 dt ∂ r˙ ∂r

( )

Operando por partes:

∂L r α =m r˙ + J ˙ 2 +J ˙ ∂ r˙ R R d ∂L J α = m+ 2 r¨ + J ¨ dt ∂ r˙ R R

( )(

(

2

)

(

J d2 r + m =−mgα R2 d t2

)

La ecuación que relaciona el ángulo del haz con el ángulo de la marcha se puede aproximar como lineal por la siguiente ecuación:

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d α= θ L

r =[ 1 0 ]

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos:

(

J d2 r d + m =−mg θ 2 2 L R dt

)

MODELO EN ESPACIO DE ESTADOS Se usa el segundo caso de modelo lineal de espacio de estados, que tiene la forma:

x˙ (t)= Ax ( t ) +Bu ( t ) y ( t ) =Cx ( t ) + Du(t) Se escogen las variables de estados:

x 1=r ( posición de la bola ) x 2= x˙1(velocidad de la bola) Y se tienen la variable de entrada:

θ(ángulo de giro del motor ) J d + m x˙2=−mg θ 2 L R

(

Resolviendo la ecuación de espacio de estados tenemos que:

0

[(

0.03 x˙1 = 0 1 x 1 + −(0.11)(9.8) 1 x˙2 0 0 x2 9.99e-6 +0.11 0.0152

[ ] [ ][ ]

)]

θ

0 θ [ xx˙˙12]=[ 00 10][ xx 12] +[ (−0.2094 )] Hallando la solución de la ecuación de estado considerando una entrada de escalón unitario:

0 ( 00 10 ) y B=(−0.2094 )

A=

Entonces aplicando la Transformada de Laplace tenemos que:

SX ( S ) + X (0)= AX ( S ) + BU ( S ) Considerando condiciones iniciales nulas:

SX ( X )− AX ( S ) =BU ( S ) ( SI −A ) X ( S )=BU ( S ) X ( S )= ( SI − A )−1 BU (S )…(I) Sabemos que:

)

( SI −A )−1= S −1 0 S

(

d −mg L x˙2= θ J +m R2

( )

−1

)

S 1 ( 0 S ) …(II) = S2

Por lo tanto, reemplazando (II) en (I):

Finalmente, la ecuación de estados sería:

0

[( ) ]

d x˙1 = 0 1 x 1 + −mg L x˙2 0 0 x2 J +m R2

[ ] [ ][ ]

[ xx 12]+ [ 0] θ

0 θ [ xx˙˙12]=[ 00 10][ xx 12] +[ ( 0.2095 )]

θ

S 1 0 ( 0 S )(−0.2094 ) X ( S )= S3 −0.2084 S3 X ( S )= −0.2094 S2

( )

Aplicando Transformada Inversa de Laplace nos queda:

x 1 ( t )=−0.1047 t 2 x 2 ( t )=−0.2094 t

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REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS EN SIMULINK Se tiene el siguiente diagrama de bloques:

Reorganización nos encontramos con la función de transferencia desde el ángulo del engranaje (θ (s)) a la posición de la bola (R (s)).

R (s ) −mgd 1 = θ( s) J S2 L 2+m R

(

Figura 7: Diagrama de bloques del modelo en espacio de estados Con los valores previamente calculados, se halla la respuesta ante un escalón unitario:

)

R (s ) 1 =0.2992 2 θ( s) S El diagrama de bloques del sistema en lazo abierto sería:

Figura 9: Diagrama de bloques del sistema en lazo abierto REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA EN MATLAB

Figura 8: Respuesta del sistema en espacio de estados ante un escalón unitario

Utilizando MATLAB podemos observar la respuesta del sistema en lazo abierto a una entrada paso unitario:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Tomando la transformada de Laplace de la ecuación anterior, la siguiente ecuación se encuentra:

(

J −mgd + m R (s )S2= θ(s) 2 L R

)

Al tomar la transformada de Laplace para encontrar la función de transferencia de las condiciones iniciales son iguales a cero.

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Figura 10: Código de representación del sistema en Matlab.

Figura11: Respuesta a la señal paso unitario, en lazo abierto En la Figura 11 es evidente que el sistema es inestable en lazo abierto causando que la bola ruede la derecha del extremo de la viga. Por lo tanto, algún método de control de posición de la bola en este sistema se requiere. CONTROLADOR PID DEL SISTEMA Dado que el sistema es inestable en lazo abierto, se procederá a convertir en lazo cerrado para poder controlar la estabilidad del sistema mediante un controlador PID.

Figura13: Diagrama de bloques desarrollado en Simulink Por lo que los parámetros obtenidos son los siguientes:

Finalmente, la respuesta controlada ante un escalón unitario sería: Figura12: Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado con controlador Los parámetros Kp, Ti y Td del controlador PID se hallarán mediante la herramienta AutoTuning del software Simulink ubicado en la función PID Controller.

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 Echeverría Reina, A. J., & Vaca Alzate, R. H. (2006). Diseño, construcción y control de un sistema electromecánico subactuado; el sistema bolaviga (Bachelor's thesis, Universidad Autónoma de Occidente).

 http://bibing.us.es/proyectos/abreproy /3953/fichero/Memoria+PFC %252F04-CAPITULO+3.pdf

Figura13: Respuesta del sistema con controlador PID ante un escalón unitario

CONCLUSIONES 

Es imprescindible agregar un controlador debido a que la respuesta del sistema en lazo abierto es totalmente inestable.



Los softwares Matlab y Simulink son un gran complemento para la simulación de sistemas de control, en este caso Simulink ofrece una herramienta de autotuning para hallar automáticamente los parámetros del controlador PID

REFERENCIAS  Vincenty, C. G. B., Medina, K. Z. R., & Baez, G. B. Control Robusto del Sistema de Bola y Viga.

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