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DISEÑO DE UNA COLUMNA DE RECTIFICACIÓN NO CONVENCIONAL POR EL MÉTODO DE McCABE-THIELE Se desea tratar en una columna de rectificación continua una disolución acuosa de etanol a fin de desdoblarla en tres fracciones con 80, 70 y 5% en moles de etanol. Se dispone de una disolución de alimento con un caudal de 7470 kg/h con una composición del 35% en peso de etanol, a una temperatura de 80 ºC. La columna opera con vapor directo. La razón de reflujo en la columna es igual a 3.5. Calcular: a) Nº de pisos necesarios para obtener un caudal de disolución del 70% de 940 kg/h. b) Piso en que se introducirá el alimento. c) ¿Se podría efectuar la separación si el alimento entrara como vapor a su temperatura de rocío? Datos: x, y (fracciones molares) El calor latente de vaporización del etanol-agua alimentado es 452 kcal/kg, el calor específico del líquido es 0.85 kcal/kgºC y el calor específico del vapor es 0.40 kcal/kgºC. A. VARIABLES DE ENTRADA 1.- Paso de unidades másicas a molares B. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 1.- Ajuste de los datos de equilibrio 2.- Cálculo de q 3.- Cálculo de W, D, R, LD 4.- Cálculo de la intersección de la recta q con la curva de equilibrio 5.- Cálculo de las rectas operativas de los sectores 6.- Cálculo de la recta operativa de alimentación a) Cálculo del número de pisos a.7.- Representación del gráfico de McCabe-Thiele b) Piso en que se introduce el alimento c) ¿Se podría hacer la separación si el alimento entrara como vapor a su temperatura de rocío?

VARIABLES DE ENTRADA Datos de equilibrio (sistema etanol-agua) T (ºC) x y 95.00 0.019 0.170 IMPORTANTE: x e y han 89.00 0.072 0.389 de ser necesriamente fracciones molares ya 86.70 0.096 0.437 que si no lo son no puede 85.30 0.124 0.470 aplicarse el método de 82.70 0.230 0.540 McCabe-Thiele 81.50 0.320 0.580 79.80 0.500 0.650 79.30 0.570 0.680 78.40 0.740 0.780 78.15 0.894 0.894

Caudales y composiciones Caudal (kg/h) Fracción másica

Fracción molar

Elemento calefactor de la columna Vapor de agua indirecto Relación de reflujo

x = fracción molar del etanol en el líquido y = fracción molar del etanol en el vapor

Temperatura de alimento (ºC)

Otros datos: Calor latente de vaporización del etanol-agua alimentado = λ (kcal/kg) Calor específico del líquido (kcal/(kg ºC)) Calor específico del vapor (kcal/(kg ºC))

ÍNDICE

ales y composiciones A 7470 0.35 D 0.8

P 940

P 0.678

R 0.05

ento calefactor de la columna de agua indirecto Relación de reflujo

3.5

Temperatura de alimento (ºC)

452 0.85 0.4

80

A.1.- Paso de unidades másicas a molares IMPORTANTE: Para que se pueda aplicar el método de McCabe-Thiele las composiciones, caudales y entalpías deben estar necesriamente en unidades molares. Peso molecular (g/mol) etanol 46 agua 18

Caudal (kmol/h) Fracción molar

A 326.587 0.17403

D

R

0.8

0.05

fracción másica de P 0.84328358

ÍNDICE

P 25.4163963 0.678

composiciones, olares.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 1.- Ajuste de los datos de equilibrio En este caso, puede resultar adecuado ajustar los datos de equilibrio a un polinomio de grado 4, x = f(y), que pase por el origen y por el punto (1,1). La ecuación a utilizar será: 2

3

x= ( 1−a2 −a 3 −a 4 )  y +a2  y +a 3  y +a 4  y

4

Donde a2, a3, a4 son las constantes a optimizar (con el módulo SOLVER). La función objetivo a utilizar es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales (x) y los calculados mediante el polinomio (xcal). y

x

x cal

(x-xcal)2

0

0

0.0000

0.000E+00

0.1700

0.0190

0.0220

9.089E-06

0.3890 0.4370 0.4700 0.5400 0.5800 0.6500 0.6800 0.7800 0.8940 1.0000

0.0720 0.0960 0.1240 0.2300 0.3200 0.5000 0.5700 0.7400 0.8940 1.0000

0.0572 0.0985 0.1358 0.2382 0.3097 0.4527 0.5188 0.7421 0.9466 1.0000

2.198E-04 6.327E-06 1.389E-04 6.675E-05 1.063E-04 2.235E-03 2.618E-03 4.220E-06 2.763E-03 0.000E+00

a4 = -7.5262 a3 = 13.3193 a2 = -5.5116 Función Objetivo = 0.0082

A continuación se representa los datos de equilibrio experimental y los datos de equilibrio calculado (Figura 1).

Como puede comproba NO es

Figura 1 : Comprobación del ajuste de los datos de equilibrio 1

Se debe de buscar otro que sea capaz de repro datos de eq

y

0.8

x xcal

0.6

0.4

Como se puede observa - los primeros datos e ajustarse a una exponen exponente mayor a 1) - y los últimos datos e ajustarse a una exponen exponente mayor a 1).

0.2

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

x0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

- los primeros datos e ajustarse a una exponen exponente mayor a 1) - y los últimos datos e ajustarse a una exponen exponente mayor a 1).

0.2

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

x0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Se procede al ajuste de los datos experimentales (desde x = 0,019 hasta x = 0,32), incluyendo la pareja de valo x = 0 e y = 0, a una exponencial respecto a x, teniendo la variable x en función de la variable y con esta fórmula

x=ay b +cy x 0.000 0.019 0.072 0.096 0.124 0.230 0.320

x cal

(x-xcal)2

0 0.020323836 0.068727219 0.097430091 0.126516828 0.22772358 0.320800714

0 1.752543E-06 1.07111E-05 2.045159E-06 6.334421E-06 5.18209E-06 6.411433E-07

a 6.765597205 b 6.040195053 c 0.1186574

Si se representa los datos de equilibrio experimental y los datos calculado se obtiene la Figura 2.

Figura 2 : Comprobación del ajuste de los dato 0.600 0.500 0.400 y

y 0.000 0.170 0.389 0.437 0.470 0.540 0.580

Función Objetivo 2.666645E-05

0.300 0.200 0.100

Como puede observarse el ajuste realizado es satisfactorio

0.000 0 -0.100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

Se procede al ajuste de los datos experimentales (desde x = 0,32 hasta x = 0,894), incluyendo la pareja de valo x = 1 e y = 1, a una exponencial respecto a y, teniendo la variable x en función de la variable y con esta fórmula 1 y−c b x=

(a)

Si se representa los datos de equilibrio experimental y los datos calculado se obtiene la Figura 3.

x 0.320 0.500 0.570 0.740 0.894 1.000

x cal

(x-xcal)2

0.317738058 0.507854059 0.569283534 0.736144929 0.887021642 1.006129238

5.11638E-06 6.168625E-05 5.133241E-07 1.486157E-05 4.869748E-05 3.756756E-05

a 0.457072613 b 2.064122165 c 0.537125874 Función Objetivo 0.000168443

Como puede observarse el ajuste realizado es satisfactorio ÍNDICE

Si se representa los datos de equilibrio experimental y los datos calculado se obtiene la Figura 3.

Figura 3 : Comprobación del ajuste de los datos de equi 1.000 0.900

y

y 0.580 0.650 0.680 0.780 0.894 1.000

0.800 0.700 0.600 0.500 0.3

0.4

0.5

0.6x

0.7

0.8

0.9

polinomio de grado 4, x = f(y), que

s entre los valores experimentales (x)

presenta los datos de y los datos de equilibrio Figura 1).

Como puede comprobarse el tipo de ajuste realizado NO es satisfactorio. Se debe de buscar otro tipo de correlación diferente, que sea capaz de reproducir de manera adecuada los datos de equilibrio de partida.

Como se puede observar en la Figura 1: - los primeros datos experimentales pueden ajustarse a una exponencial (respecto a x, con exponente mayor a 1) - y los últimos datos experimentales pueden ajustarse a una exponencial (respecto a y, con exponente mayor a 1).

- los primeros datos experimentales pueden ajustarse a una exponencial (respecto a x, con exponente mayor a 1) - y los últimos datos experimentales pueden ajustarse a una exponencial (respecto a y, con exponente mayor a 1).

x = 0,32), incluyendo la pareja de valores ción de la variable y con esta fórmula:

de equilibrio experimental y los datos de equilibrio gura 2.

Comprobación del ajuste de los datos de equilibrio (I)

5

x xcal

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

= 0,894), incluyendo la pareja de valores ción de la variable y con esta fórmula:

de equilibrio experimental y los datos de equilibrio gura 3.

de equilibrio experimental y los datos de equilibrio gura 3.

ción del ajuste de los datos de equilibrio (II)

x xcal

0.5

0.6x

0.7

0.8

0.9

1

2.- Cálculo de q

Temperatura (ºC)

Para conocer el estado físico del alimento se compara la temperatura de la corriente de alimentación con la representación de los datos de equilibrio en función de la temperatura (Figura 4).

Figura 4: Diagrama T-x-y 100.00 95.00 90.00 vapor líquido

85.00 80.00

El alimento entra como lí que su temperatura es in ebullición del alimento.

75.00 70.00 0.000

0.200

0.400 0.600 fracción molar

0.800

1.000

Para conocer el estado térmico de la corriente de alimentación, q: q=

HA - HA

=

HA - HA

(1) HA - hA λ HA = entalpía del vapor en que se desdobla la alimentación, en kcal/kg HA = entalpía del alimento, en kcal/kg hA = entalpía del líquido en que se desdobla la alimentación, en kcal/kg λ = calor latente de vaporización del etanol-agua, en kcal/kg Sabiendo que: HA = λ + hA HA = -CL(Tref-T) + hA La expresión de q queda de la siguiente forma:

λ+C T −T

) L ( ref CL = Calor específico q= del líquido, en kcal/kgºC(2) λ de alimentación, en ºC T = temperatura de la corriente Tref = temperatura de ebullición de la alimentación, en ºC

ÍNDICE

Calor específico del líquido (kcal/(kg ºC)) Calor latente de vaporización (kcal/kg) T (ºC) Tref (ºC)

0.85 452 80 84.5

de la corriente de n de la temperatura

g

Temperatura del alimento (ºC) 80 Fracción molar del alimento 0.17403315 Temperatura de ebullición para zA (ºC) 84.5

El alimento entra como líquido subenfriado, ya que su temperatura es inferior a la temperatura de ebullición del alimento.

q 1.00846239

3.- Cálculo de W, D, R, LD El caudal de la corriente W (corriente de vapor directo), D (corriente de destilado), R (corriente de residuo) y LD (caudal de reflujo) se obtienen por medio de los balances de materia y la relación de reflujo:

A +W =D+ P+ R Az A = Dx D+ Px P + Rx R W =L D + D−(1−q ) A LD =razón de reflujo D

A (kmol/h) 326.586957 P (kmol/h) 25.4163963 zA (fracción molar) 0.17403315 xD (fracción molar) 0.8 xP (fracción molar) xR (fracción molar)

0.678

0.05 q 1.00846239 LD/D 3.5

ÍNDICE

W (kmol/h) 115.415675 D (kmol/h) 25.0337708 R (kmol/h) 391.552464 LD (kmol/h) 87.6181978

4.- Cálculo de la intersección de la recta q con la curva de equilibrio Se ha de calcular la intersección de la recta q con la curva de equilibrio (punto xA, yA en la Figura 5). La recta q tiene como pendiente -q/(1-q) y como ordenada en el origen zA/(1-q) (Figura 5).

Recta Operativa de Enriquecimiento a reflujo mínimo yA

Recta Operativa de Agotamiento a reflujo mínimo

xR

xA

zA

Para hallar la intersección con la curva de equilibrio se puede utilizar la herramienta Buscar Objetivo de EXCEL, con la función objetivo igual a la diferencia entre el valor de xA dado por la curva de equilibrio y el valor de xA obtenido en la recta q.

Figura 5

xD

Cálculo de m y n para la recta q (y = m x + n): m = -q /(1-q) n = zA /(1-q)

Datos: zA, q, x = f(y)

Calcular xA con x = f(y) (xA,eq)

El proceso de cálculo seguido se muestra en el organigrama.

FIN

Cálculo de pendiente y ordenada en el origen de la recta de alimentación o recta q Pendiente, m = 119.169935 Ordenada en el origen, n = -20.5654859

SÍ

Estimación de y y 0.5103 Cálculo de xA con x = f(y)

xA,eq 0.1769 xA = 0.1769 yA = 0.5103

La recta de alimentación queda definida por los siguientes puntos:

(zA, zA) (xA, yA)

ÍNDICE

x 0.1740 0.1769

y 0.1740 0.5103

Función Objetivo 5.52430628242634E-15

o (punto xA, yA en la Figura 5). La zA/(1-q) (Figura 5).

Operativa de ecimiento a mínimo

lculo de m y n a la recta q (y = m x + n): m = -q /(1-q) n = zA /(1-q)

Estimación de yA

Calcular xA con x = f(y) (xA,eq)

Calcular xA con recta q (xA,recta)

(xA,eq – xA,,recta)2 = 0

Estimación de y y 0.5103 Cálculo de xA con recta q

NO

xA,recta 0.1769

Función Objetivo 5.52430628242634E-15

5.- Cálculo de las rectas operativas de cada sector

Un sector se define como una zona en la columna de rectificación que está separada de otra por una corrien externa, por lo que una columna con una alimentación y una extracción de producto lateral se dividir en tres sectores. Además a esto hay que añadir que se alimenta por la base vapor directo:

LD 1 P 2 A 3

W

R

Se aplican las siguientes expresiones para el cálculo de la pendiente y ordenada en el origen de las rectas o de cada sector: Sector 1 Pendiente

Sector 2

(L D) ( L D )+1

L D−P

D

LD + D

D

Ordenada en el origen

xD

(

LD D

Dx D +Px P

)+1

Sector 1 pendiente 0.7777777778 ordenada en el origen 0.1777777778

LD + D

Sector 2 0.5521590283 0.3307472899

Sector 3 3.3925414844 -0.1696270742

Sector 3

ÍNDICE

ada de otra por una corriente cto lateral se dividir en tres o:

en el origen de las rectas operativas Sector 3

R W −Rx R W

6.- Cálculo de la recta operativa del alimento

Una vez calculada la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas operativas, se puede calcular la composición correspondiente a la intersección de las rectas operativas que corresponden a los sectores de enriquecimiento y agotamiento con la recta operativa del piso de alimentación (Figura 6): - La intersección con la recta operativa de enriquecimiento (sector 2) se produce en y A - La intersección con la recta operativa de agotamiento (sector 3) se produce en x A

Figura 6: Intersección de las operativas de enriquecimiento y agotamiento en la recta q y yA yA

RECTA OPERATIVA DE ALIMENTACIÓN

yOPTIMA

xA

Recta Operativa de Sector 2 pasa por (xP, y*) y (xOPTIMA, yA) x 0.678 0.3252

xOPTIMA

xP

Figura 6

x

Recta Operativa de Sector 3 pasa por (CD2, CD2) y (xA, yOPTIMA)

y 0.70511111 0.5103

x y 0.07089828 0.07089828 0.1769 0.4304

Finalmente se calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta operativa de alimento con los puntos (xOPTIMA, yA) y (xA, yOPTIMA). Recta Operativa de Alimentación x y (xOPTIMA, yA) 0.3252 0.5103 (xA, yOPTIMA)

0.1769

0.4304

Recta Operativa de Alimentación pendiente ordenada en el origen

Obsérvese que xOPTIMA es la composición del líquido que determina el cambio de sector.

ÍNDICE

s operativas, se puede calcular la as que corresponden a los sectores de mentación (Figura 6):

e produce en y A roduce en x A

enriquecimiento y

RECTA OPERATIVA DE ALIMENTACIÓN

Figura 6

OJO! El punto de corte de la recta operativa de agotamiento con la diagonal en una columna donde se inyecta vapor directo es:

y=x=

cta operativa de alimento

Operativa de Alimentación 0.53893721 0.33504714

a el cambio de sector.

Rx R R−W

a.- Cálculo del número de pisos Para el cálculo de los pisos: è Se parte de x0 = xD y se aplica la ecuación de la recta operativa del sector 1 para calcular y 1. è Para el valor obtenido de y1 se calcula la composición x1 en equilibrio. è De esta x1 se calcula el valor de y2 con la recta del sector 1...

è Se alterna el cálculo de xj (con el ajuste de la curva de equilibrio) y y j+1 (con la recta operativa) hasta que se o con x < xP. è A continuación hay que utilizar la recta operativa del sector 2, hasta que x < xOPTIMA.

è A partir de este punto hay que utilizar una vez la recta operativa de alimentación para calcular la composición que sale del piso de alimentación. Después se utiliza la recta operativa del sector 3 hasta alcanzar x < CD2.

è Para saber cuando hay que cambiar de recta es conveniente comparar, en una columna adicional, los valore de x.

Ir a zona de alimentación en diagrama de McCabe-Thiele

Al realizar los cálculos etapa a etapa, la hoja de cálculo se puede programar utilizando funciones lógicas de Excel, de forma que el cambio se realice o no, dependiendo de la comparación entre la última x calculada con una x de referencia, de forma que: xREFERENCIA > xP xP ≥ xREFERENCIA > xÓPTIMA xÓPTIMA ≥ xREFERENCIA > xA xREFERENCIA xA ≥ xREFERENCIA > CD2 CD2 ≥ xREFERENCIA

Ir a Funciones Lógicas de Excel

Para este caso en concreto: El cambio del sector 1 al sector 2 se produce si El cambio del sector 2 al de alimento se produce si El cambio del sector de alimentación al sector 3 se produce si El fin de la columna se produce cuando

x≤ x≤ x≤ x≤

Tabla para el cálculo de las composiciones y se calcula con operativa

x 0.8 0.76491437 0.72535789 0.67780935 0.61554993 0.55087715 0.47376561 0.35916592 0.20740183 0.10514568 0.02247009 0 0 0 0 0

ÍNDICE

xeq se calcula con ajuste curva equilibrio

y 0.8 0.77271118 0.74194502 0.70500584 0.67062874 0.63491908 0.59234125 0.529064 0.44682371 0.18708402 0 0 0 0 0 0

xeq 0.76491437 0.72535789 0.67780935 0.61554993 0.55087715 0.47376561 0.35916592 0.20740183 0.10514568 0.02247009 0 0 0 0 0 0

sector sector 1 sector 1 sector 1 sector 2 sector 2 sector 2 sector 2 sector 2 alimento sector 3 0 0 0 0 0 0

composiciones iguales

El número de pisos es igual a 10 má

COMPOSICIÓN DE REFERENCIA PARA INDICAR EL SECTOR Y DECIDIR EL EVENTUAL CAMBIO DE SECTOR

or 1 para calcular y 1.

con la recta operativa) hasta que se obtenga un piso

e x < xOPTIMA.

mentación para calcular la composición del líquido sector 3 hasta alcanzar x < CD2. en una columna adicional, los valores pertinentes

ramar utilizando funciones de la comparación entre la a que: PRODUCTO LATERAL (SECTOR 1) ENRIQUECIMIENTO (SECTOR 2) ALIMENTO AGOTAMIENTO (SECTOR 3) FIN (NO COLUMNA)

0.678 0.3252 0.1769 0.05

xP xOPTIMA xA xR

composiciones iguales

El número de pisos es igual a 10 más la caldera

a.7.- Representación del gráfico de McCabe-Thiele Datos de equilibro x y 0.019 0.17 0.072 0.389 0.096 0.437 0.124 0.47 0.23 0.54 0.32 0.58 0.5 0.65 0.57 0.68 0.74 0.78 0.894 0.894 Ajuste datos de equilibrio x y 0 0 0.02032384 0.17 0.06872722 0.389 0.09743009 0.437 0.12651683 0.47 0.22772358 0.54 0.32080071 0.58 0.50785406 0.65 0.56928353 0.68 0.73614493 0.78 0.88702164 0.894 1.00612924 1

operativa de sector 1 x y 0.8 0.8 0.678 0.70511111

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

diagonal x y 1.0000 1 0.0000 0

0.6

recta de alimento x y 0.17403315 0.17403315 0.1769 0.5103

operativa de sector 3 x y 0.05 0 0.1769 0.4304

recta operativa alimento x y 0.3252 0.5103 0.1769 0.4304

piso 1

piso 3 piso 4 piso 5 piso 6 piso 7

Cada piso se caracteriza por un punto sobre la curva de equilibrio, que corresponde a la composición de las corrientes que abandonan dicho piso

0.8

pisos

piso 2 operativa de sector 2 x y 0.6780 0.7051 0.3252 0.5103

0.7

piso 8 piso 9 piso 10 piso 11

0.9

ÍNDICE

La representación del gráfico de McCabeThiele supone dibujar, sobre el diagrama de equilibrio y = f(x), todas las rectas operativas, así como la recta q, y a continuación trazar los pisos entre las rectas operativas y la curva de equilibrio.

0.6

0.7

0.8

pisos x 0.8000 0.7649 0.7649 0.7254 0.7254 0.6778 0.6778 0.6155 0.6155 0.5509 0.5509 0.4738 0.4738 0.3592 0.3592 0.2074 0.2074 0.1051 0.1051 0.0225 0.0225

0.9

1

y 0.8000 0.8000 0.7727 0.7727 0.7419 0.7419 0.7050 0.7050 0.6706 0.6706 0.6349 0.6349 0.5923 0.5923 0.5291 0.5291 0.4468 0.4468 0.1871 0.1871 0.0000

0.0000

0.0000

b) Piso en que se introduce el alimento El piso en que se introduce la alimentación es el 9

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c) ¿Se podría hacer la separación si el alimento entrara como vapor a su temperatura de rocío? Para averiguar si se puede proceder a la separación deseada introduciendo el alimento a su temperatura de rocío, recalcula el caudal de la corriente W (corriente de vapor directo), D (corriente de destilado), R (corriente de residuo) y LD (caudal de reflujo) mediante los balances de materia y la relación de reflujo.

A +W =D+ P+ R Az A = Dx D+ Px P + Rx R W=L D + D−(1−q ) A LD =razón de reflujo Ahora el valor de q es igual aD0.

A (kmol/h) 326.586957 P (kmol/h) 25.4163963 zA (fracción molar) 0.17403315 xD (fracción molar) 0.8 xP (fracción molar)

0.678

xR (fracción molar)

0.05 0

q LD/D ÍNDICE

3.5

W (kmol/h) -137.930989 D (kmol/h) 41.9235484 R (kmol/h) 121.316023 LD (kmol/h) 146.732419

Se obtiene un valor negativo en el caudal de vapor directo alimentado a la columna (lo cual es imposible); por lo que no se puede realizar la separación si el alimento se introduce a su temperatura de rocío.

Zona de Alimentación en McCabe-Thiele y1,NP1 x1,NP1-1 y1,NP1 y1,0

y1,0

y2,1

x1,NP1

yA1

A1, zA1 xA1

y2,2

x2,1

x1,NP1

x1,NP1-1

y2,1

x2,0

y2,2

x2,1 volver a página original

FUNCIONES LÓGICAS DE EXCEL Las funciones lógicas de Excel que pueden emplear en el cálculo de una columna con McCabe-Thiele son: ● SI (prueba lógica; valor si es cierto; valor si es falso): esta función comprueba si se cumple una condición y devuelve un valor si se evalúa como Verdadero y otro valor si se evalúa como Falso. ● Y (argumento; argumento; ...): esta función comprueba se todos los argumentos son verdaderos, y devuelve Verdadero si todos los argumentos son Verdaderos. Existen más funciones lógicas en Excel. Para obtener más información se debe entrar en: F1 (Ayuda) → Asistente para Ayudas → Escribir: funciones lógicas → Buscar

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