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LAS SIMETRÍAS: (S) Son transformaciones que le cambian la orientación a las figuras geométricas pues dispone todos los puntos P’ se disponen a su misma distancia de los puntos P ya sea, con respecto a un Eje o con respecto a un Centro (punto). La Simetría será Central si es con respecto a un punto y Axial:si es con respecto a un eje.

Clasificación de Las Simetrías:

Sx: Simetría con respecto al eje x
AXIAL (Reflexión)

SIMETRÍAS

Sy: Simetría con respecto al eje y


CENTRAL: Simetría con respecto al origen ( S0 )

Construcción de Simetrías ¿Cómo se construyen Las Simetrías?

GEOMÉTRICAMENTE Apliquemos el Concepto de Simetría, mediante una Regla Práctica. Ejercicios: 1. Sea el Triángulo ABC. Refléjelo con respecto al eje l l 2. Sea el Triángulo DEF. Refléjelo con respecto al eje t t C E

A

B

D

F

3. Aplique una Simetría Central a la figura ABCDEA con respecto a al Centro O

.O

B

A D

C

E

Como se ha podido observar todos los puntos P’ han quedado dispuestos a la misma distancia de los puntos P, pero en sentido opuesto, ya sea con respecto a un Eje, o con respecto a un Punto. Pero el propósito en 4t0 bachillerato es que trabajemos las simetrías analíticamente.

ANALÍTICAMENTE : Esto se hace: en el Plano Cartesiano. Tan sólo tenemos que tener las coordenadas de los puntos y Aplicar la Regla de Simetría correspondiente al caso. Para la Simetría Axial, estas son sus Reglas:

Simetría Axial: (SX , SY) Para La Simetría Axial con respecto al Eje x: ( SX ) Su Regla de Transformación es:

SX : (x , y) → (x, − y)

Para La Simetría Axial con respecto al Eje y: ( Sy ) Esta es su Regla de Transformación:

SY : (x , y) → ( − x, y) Para:

La Simetría Central de Centro O: (S0 ) Esta es su Regla de Transformación:

SO : (x , y) → ( − x, − y) PROPIEDAD:[Equivalencia entre La Simetría Central y una Rotación] Toda Simetría Central equivale a una Rotación de 1800 con respecto al origen. O sea: S0 = R(0,1800)

Las Simetrías también se pueden componer. Veamos::

PRODUCTOS DE SIMETRÍAS [Propiedades del Producto] 1. 2. 3. 4.

El Producto de Simetrías es una Isometría El Producto de Simetrías es asociativo El Producto de Simetrías es conmutativo S i S = I o sea: Sx i Sx = I

Sy i S y = I S0 i S 0 = I 5.

S x i Sy = S0

LAS HOMOTECIAS: (H) Las Homotecias consisten en Ampliaciones o Reducciones a una Figura Geométrica. ¿Cómo indicamos una Homotecia? Indicamos una Homotecia así:

H(0,λ):

en que:

O: Es el Centro de la Homotecia. Porque Las Homotecias las haremos con respecto a un Centro.

λ: Es La Razón de la Homotecia. Por ejemplo:

La Homotecia H(0, 5): amplía 5 veces la figura original.

H(0,- λ):

en que:

O : Es el Centro de la Homotecia. -λ: Es La Razón de la Homotecia. Por ejemplo:

La Homotecia H(0, -5): amplía 5 veces la figura original. ¿En qué se diferencian, pues H(0, 5) H(0, -5)? En que en H(0,5) la Homotecia quedará del lado del punto P, mientras que en H(0,-5) la Homotecia ______________________________________________________ quedará del otro lado del punto P. Eso lo aclararemos. ______________________________________________________

¿CÓMO APLICAR UNA HOMOTECIA?
GEOMÉTRICAMENTE ¿Cómo aplicarla? Por ejemplo:

¿Cómo aplicar una Homotecia H(0, 2) al punto P ? Nos dan el Centro O y el punto P. ¡ Basta una Regla!

1. P’ estará localizado sobre la línea OP, por lo que: Trace la línea OP 2. ¿A qué distancia de O estará P’? A dos veces la distancia OP Localice el punto P’ 3. Mida esta distancia en dirección hacia P

.P .O

¿Cómo aplicar una Homotecia H(0, 2) al punto P? Nos dan el Centro O y el punto P. ¡ Basta una Regla!

1. P’ estará localizado sobre la línea OP, por lo que: Trace la línea OP 2. ¿A qué distancia de O estará P’? A dos veces la distancia OP Localice el punto P’ 3. Mida esta distancia en dirección contraria a P

.P .O

Pero apliquemos homotecia a una figura. ¡cobran sentido los ejercicios! Para una figura la Homotecia se aplica igual, pero Punto a Punto.

Ejercicios: Aplique la Homotecia H(0, 2) al Triángulo ABC Nos dan el Centro O y el punto P. ¡ Basta una Regla!

C A

B

.O

Aplique la Homotecia H(0, -2) al Triángulo ABC Nos dan el Centro O y el punto P. ¡ Basta una Regla!

C A

B

.O


ANALÍTICAMENTE ¿Cómo aplicarla? Toda Homotecia transforma los puntos de una figura según la siguiente Regla:

H(0,λ) : (x,y) → (λ.x , λ.y)

O sea: Cada coordenada del punto quedará multiplicada por λ

Ejercicios: Aplique las siguientes Homotecia analíticamente en el Plano Cartesiano y usando papel cuadriculado. 1. H(0 , 3):A(7,3) 2. H(0, -3):A(7,3) 3. H(0, 2): ▲ ABC , cuyas coordenadas son: A(3,3), B(7,3), C(5,8). Trace ambas figuras.

PRODUCTOS DE HOMOTECIAS 1. 2. 3. 4.

El Producto de Homotecias es otra homotecia El Producto de Homotecias es asociativo El Producto de Homotecias es conmutativo El Producto de dos o más Homotecias, con respecto al mismo centro, es equivalente a una única Homotecia según a la siguiente regla:

H(0, λ) . H(0, θ ) = H(0, λθ ) Ejemplos: H(0, 3) . H(0, 5) = H(0, 3x5) = H(0, 15) De igual manera para 3 homotecias : H(0, 3) . H(0, 5). H(0, 2) = H(0, 3x5x2) = H(0, 30) 5.

H(0, λ) . H(0, 1λ ) = I

6.

H(0, -1) = SO

PRODUCTOS DE “ISOMETRÍAS” Y “HOMOTECIAS” EL Producto de Isometrías y Homotecias, en general no es una Isometría. Verifique al hacer un producto que este no conserva la distancia entre los puntos.