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SESION DE APRENDIZAJE AUTOR Alvarado Díaz Juan Miguel NOTAS DEL AUTOR Solicite a los estudiantes que observen con anticipación (durante la semana) los siguientes videos: Ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares Líneas paralelas 2 Líneas perpendiculares 2 Distancia entre un punto y una línea CA Algebra I: Pendiente y punto de intersección con Y INTENCIÓN DE LA UNIDAD CONTENIDOS -

Distancias en el plano Pendiente de una recta y ángulo de inclinación Ecuaciones de la recta Ángulos entre dos rectas

ORGANIZADORES DEL ÁREA Espacio y forma CAPACIDADES Resuelve situaciones problemáticas que demandan interpretar, identificar, comparar, estimar, calcular, demostrar, recodificar, modelar, explicar y definir relaciones geométricas cualitativas y cuantitativas en el plano cartesiano. EVALUACIÓN Y EVIDENCIA DE LOGROS INSTRUMENTOS -

Tareas Fichas de trabajo en clase Práctica escrita Trabajo en Khan

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Razonamiento y demostración -

Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos. Calcula la pendiente de una recta. Aplica y determina la distancia de un punto a una recta, entre dos rectas paralelas y ángulo entre dos rectas.

Comunicación matemática -

Interpreta representaciones gráficas relacionadas con rectas. Identifica las fórmulas del punto medio, distancia entre dos puntos y ecuaciones de la recta.

Resolución de problemas -

Resuelve problemas que implican el cálculo de las ecuaciones de la recta y sus posiciones relativas.

DISEÑO DE LA SESIÓN GRUPAL N° 1 INTENCIÓN PEDAGÓGICA Los estudiantes comparan pendientes de rectas y determinan si son paralelas o perpendiculares. ACTIVACIÓN TIEMPO 5 minutos DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES -

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Ingrese al aula y salude cordialmente a los estudiantes. Luego de establecer un clima emocional adecuado para el inicio de la sesión y presente la siguiente situación: La policía asocia el plano de una ciudad a un sistema cartesiano. Tres patrulleros recorren diferentes avenidas rectas. El patrullero n° 1 pasa por los puntos A(1; 1) y B(2;6). El patrullero n° 2, pasa por los puntos: C (7; 7) y D(6;2), muestre la diapositiva 1 Realice las siguientes preguntas: ¿Cuál es la ecuación principal de la recta que representa el recorrido del patrullero n° 1? (y= 5x- 4). ¿Cuál es la ecuación principal de la recta que describe el recorrido del patrullero n° 2? (y= 5x28).¿En algún punto los patrulleros se cruzarán? ¿Por qué? (No, porque las rectas son paralelas). Pregunte ¿Cuándo dos recta son paralelas? ¿Cómo deben ser sus pendientes de dos recta paralelas? note y comente las respuestas. Presente la otra situación: Si el patrullero n° 3 pasa por los puntos E(4;5) y F(9;4) ¿Será perpendicular a la recta por donde pasa el patrullero n° 2? ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares? ¿Cómo deben ser sus pendientes de dos recta perpendiculares? Pregunte ¿Qué trataremos en esta sesión? Comente que el tema de hoy tratará sobre las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

MATERIALES Exposición

PPT CONSTRUCCIÓN

TIEMPO

70 min DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Trabajo en pares -

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(10 minutos)

Forme parejas y muestre la diapositiva 2, las rectas y sus ecuaciones, pregunte ¿Cómo son las pendientes de estas rectas? (iguales) Entonces ¿Cuándo dos rectas son paralelas? (cuando sus pendientes son iguales). Muestre la diapositiva 3, en indique que determinen la ecuación de la recta del recorrido del patrullero n.° 3 (y= -1x/5 + 29/5) ahora pregunte ¿Esta recta será perpendicular a la recta del recorrido del patrullero n° 2? Espere respuestas y presente la diapositiva n.° 4 y repase con ellos. Promueva que verifiqen que las rectas 2 y 3 sean perpendiculares: ¿Cuál es pe producto de las pendientes de las rectas 2 y 3? (5x-1/5 = -1). Entonces ¿Cómo son ambas rectas?

(10 minutos) - Presente la diapositiva n.° 5 y solicite que los estudiantes resuelvan los ejercicios propuestos. Oriente el trabajo de los grupos que tienen dificultades para elaborar las estrategias de solución a través de las siguientes preguntas: -Para el ejemplo 7a: ¿Qué datos se utilizan para hallar la ecuación de la recta paralela? (La pendiente y un punto que pertenece a la recta L2). -Para el ejemplo 7b: ¿Cómo son el radio y la recta? (Perpendiculares). ¿A partir de qué ecuación se halla la ecuación general de la recta L 1?(A partir de la ecuación punto – pendiente). Si dos rectas son perpendiculares y la pendiente de una de ellas es -3, ¿cuál es la pendiente de la otra recta? (1/3). Si el valor de la pendiente es 7/3, ¿cuál es la pendiente de la recta?(-3/7). Concluya que si dos rectas son perpendiculares la pendiente de una de las rectas es opuesta e inversa a la pendiente de la otra recta perpendicular. - Indique que den lectura al ejemplo 7 de la página 359 para que verifiquen y/o corrijan sus resultados obtenidos. (10 minutos) Presente la diapositiva n.° 6 para que los estudiantes elaboren la estrategia de solución. Oriente el trabajo de los estudiantes y asegure que los estudiantes comprendan el problema en los grupos que lo necesitan por ejemplo recurriendo a las figuras de áreas conocidas. -

Invite a tres estudiantes que tengan estrategias de solución diferentes para explicarlo en la pizarra (Rpta. 60 u2)

(10 minutos) -

Solicite a los estudiantes que resuelvan el ejercicio propuesto en la diapositiva n.° 7. Luego de un tiempo prudencial invite a un estudiante a explicar la resolución del ejercicio en la pizarra, revise previamente el proceso empleado (Área= 45 u2). Resalte la importancia de graficar el problema y que para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se igualan sus ecuaciones.

Trabajo en tríos (20 minutos) -

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Organice a los estudiantes en grupos mixtos para que resuelvan los ejercicios 1, 2a, 3a, 4, 6, 7 y 8 propuestos en la ficha de trabajo. Desplácese por el aula para aclarar las dudas que surjan en cada pareja. Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio. Insista en que el trabajo es grupal, evitando que puedan dividirse las tareas y trabajar de manera aislada. Motive en ellos el diálogo y el intercambio.

Plenario (10 minutos) -

Invite a 4 estudiantes para que resuelvan al azar los 4 ejercicios más representativos y que los expliquen a sus demás compañeros. Aproveche la oportunidad para corregir el procedimiento realizado. En caso encuentre algún error en el desarrollo, induzca a que sean los mismos estudiantes quienes lo detecten y quienes lo corrijan. Ello ayudará a evaluar la comprensión de conceptos.

MATERIALES PowerPoint Texto escolar: Matemática 5, serie Hipervínculos Ficha de trabajo FICHA DE TRABAJO SOLUCIONARIO CIERRE TIEMPO

5 min DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES -

Realice las siguientes preguntas:

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¿Cómo son las pendientes de dos rectas paralelas?

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¿Cómo son las pendientes de dos rectas perpendiculares?

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Si dos rectas son perpendiculares a una tercera ¿Cómo son las pendientes de las dos primeras?

TAREA Solicite que realicen las actividades 2b, 3b, 5 y 9 de la ficha de trabajo. MATERIALES Ficha de trabajo

DISEÑO DE LA SESIÓN GRUPAL N° 2 INTENCIÓN PEDAGÓGICA Los estudiantes aplican las fórmulas para determinar la distancia de un punto a una recta, la distancia entre rectas paralelas y el ángulo formado entre dos rectas. ACTIVACIÓN TIEMPO 5 minutos DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES -

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Ingrese al aula y salude cordialmente a los estudiantes. Luego de establecer un clima emocional adecuado para el inicio de la sesión, presente la diapositiva n.° 2. Pregunte: ¿Cuál sería tu propuesta para colocar el tubo abastecedor de agua que vaya desde el pueblo, punto P(2;4), a la troncal de manera que sea de menos costo? Escuche propuestas y pida que lo indiquen en la pantalla (ecran) el tubo abastecedor, solicite que fundamenten. Concluya con los aportes de los estudiantes que la ruta menos costosa sería a la línea perpendicular trazada desde el punto a la recta troncal.

Realice las siguientes preguntas: ¿¿Cuál sería la ecuación de esa recta? (y= 3/8x+1/8) ¿Cuánto sería la distancia de ese punto a la recta troncal? ¿Qué estudiaremos hoy? Comente que durante la clase responderemos a las preguntas planteadas y que el tema de hoy tratará sobre la distancia de un punto a una recta, distancia entre rectas y ángulo entre dos rectas. MATERIALES Power Point PPT CONSTRUCCIÓN TIEMPO 70 min DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Trabajo en pares (10 minutos)

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Pida que den lectura a la sección: Distancia de un punto a una recta y distancia entre dos rectas de la página 356 del libro de consulta. Para una mejor comprensión realice las siguientes preguntas: En la distancia de un punto a una recta, ¿qué representan x1 y x2? (Las coordenadas del punto P exterior a la recta). ¿Qué representa A, B y C? (A es el coeficiente de x en la ecuación general de la recta, B el coeficiente de y, C es el término independiente). En la distancia entre dos rectas paralelas: ¿Qué representan C y C’? (Los términos independientes de la ecuación general de cada recta paralela). ¿Cómo son los coeficientes de x e y? (Son iguales). Solicite que determinen la distancia entre el punto P y la troncal del agua (2, 93 u). Oriente el trabajo de los estudiantes y destaque la importancia de identificar los elementos que se necesitan para resolver el problema como son las coordenadas de un punto P exterior a la recta y la ecuación general de la recta.

(10 minutos) -

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Presente la diapositiva n.° 3 e indique que las avenidas PetitThouars y Arequipa son paralelas, solicite que determinen la distancia que existe entre ambas (15,45 u). Oriente el trabajo de los estudiantes y sugiera, si algún grupo presenta dificultad, que hallen las ecuaciones de las rectas. Presente la diapositiva n.° 4 y pida que resuelvan los ejercicios propuestos. Oriente el trabajo de los estudiantes y haga notar que las ecuaciones de las rectas deben estar expresadas en su forma general. Resalte que la distancia siempre es positiva es por eso que se utiliza las barras del valor absoluto y que al elevar al cuadrado se está asegurando que el radicando sea positivo y que por lo tanto exista solución para la raíz cuadrada propuesta en cada fórmula. Indique a los estudiantes a dar lectura al ejemplo 2 de la página 356 para verificar sus respuestas.

Trabajo individual (5 minutos) Presente la diapositiva n.° 5 , comente que a continuación se presenta el recorrido que realizan dos autos al subir por dos pendientes y pregunte: ¿Cuál es el ángulo de la pendiente que recorre del auto 1? (Alfa). ¿Cuál es el ángulo de la pendiente del auto 2? (Beta). ¿Cuál es el ángulo que forman las rectas L1 y L2? (Theta). ¿Cómo podemos hallar el valor de theta? (Restando el ángulo beta y alfa). Si se conoce la pendiente de cada recta, ¿Cómo se expresa la pendiente en función del ángulo de inclinación? (Como la tangente del ángulo). Resalte que entre dos rectas secantes, se forman un par de ángulos agudos congruentes (opuestos por el vértice) y un par de ángulos obtusos congruentes. (8 minutos)

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Presente la página 357 del libromedia y realice la lectura conjunta a la sección ángulo entre dos rectas. Indique que al igual que para determinar el ángulo de inclinación de una recta se realiza en sentido antihorario, de la misma forma se realiza para determinar el ángulo entre dos rectas es por eso que se hace referencia a una recta inicial y a una recta final. Realice las siguientes preguntas: ¿Qué representa m1 y m2? (m1 la pendiente de L1 y m2 la pendiente de L2). ¿Por qué m1. m2 debe ser diferente a -1? (Porque de lo contrario el denominador puede ser cero y no existiría solución para la expresión, pero esto implicaría que las rectas son perpendiculares entre sí, es decir el ángulo que forman es de 90°). ¿Al aplicar la fórmula propuesta se halla directamente el ángulo entre dos rectas? (No). ¿Qué se debe realizar para hallar el ángulo? (Hallar el arco tangente del resultado obtenido en la fórmula). Indique que parafraseen la fórmula presentada.

Trabajo en pares (10 minutos) -

Presente la dispositiva n.° 6 y solicite que resuelvan los ejercicios propuestos. Oriente el trabajo de los estudiantes, si lo cree conveniente sugiera realizar las gráficas de las rectas.

Luego de un tiempo prudencial pida que lean los ejemplos 3 y 4 de la página 357 para que verifiquen sus resultados. A modo de conclusión realice las siguientes preguntas:¿Cómo debemos expresar las ecuaciones de la recta para calcular la pendiente? (Se debe expresar como una ecuación principal). ¿Cómo se halla el arco tangente en la calculadora? (Presionando shift – tan 7:4). ¿Cómo se halla el ángulo obtuso? (Restando 180° y 45°). Recuerde que cuando el ángulo entre dos rectas es negativo se debe realizar la interpretación del ángulo para que establezcan correctamente la orientación de dicho ángulo entre ambas rectas. -

Invite a un estudiante para que resuelva el ejercicio que se encuentra en la parte inferior del ejemplo 4.

Trabajo en tríos -

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Organice a los estudiantes en grupos mixtos para que resuelvan los problemas propuestos en la ficha de trabajo (ejercicios 1 y 3a) y los ejercicios 12 (a y c), 17 (a, c, e), 18, 21 y 22 propuestos en la página 361 del libro de consulta. Desplácese por el aula para aclarar las dudas que surjan en cada pareja. Recuerde que la altura es un segmento, por eso es que se puede hallar su medida, que parte de un vértice y corta perpendicularmente al lado opuesto. Insista en que el trabajo es grupal, evitando que puedan dividirse las tareas y trabajar de manera aislada. Motive en ellos el diálogo y el intercambio.

Plenario -

(17 minutos)

(10 minutos)

Invite a 4 estudiantes para que resuelvan al azar los 4 ejercicios más representativos y que los expliquen a sus demás compañeros. Aproveche la oportunidad para corregir el procedimiento realizado. En caso encuentre algún

error en el desarrollo, induzca a que sean los mismos estudiantes quienes lo detecten y quienes lo corrijan. Ello ayudará a evaluar la comprensión de conceptos. MATERIALES PowerPoint Texto escolar: Matemática 5, serie Hipervínculos FICHA SOLUCIONARIO CIERRE TIEMPO 5 min DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES -

Realice las siguientes preguntas:

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¿Cómo se determina la distancia de un punto a una recta?

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¿Cómo se halla la distancia entre dos rectas paralelas?

-- ¿Cómo se halla el valor del ángulo que se forma entre dos rectas secantes? Metacognición - Realice las siguientes preguntas: - ¿Qué conocimientos estudiados anteriormente has empleado en la construcción de los nuevos saberes? - ¿Qué conocimientos te pareció fácil recordar? ¿Y cuáles no? - ¿En qué medida el desarrollo de la actividad grupal te permitió comprender mejor el desarrollo de ejercicios y problemas relacionados con los cuerpos de revolución? TAREA -

|Solicite que realicen las actividades de la página 360 (ejercicios 1,2 y 3) de la página 361 (19 y 20) y los ejercicios 2 y 3b de la ficha de trabajo.

MATERIALES Texto escolar: Matemática 5, serie Hipervínculos