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• Alvaro Yucáz

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UNIVERSIDAD TECNICA DEL NORTE FICA CIERCOM MATEMATICA APLICADA

Nombre: Bonilla Evelyn Fecha: 18/07/2015

1. TEMA: Serie de Fourier en Matlab. 2. OBJETIVOS: 2.1. General: -

Diseñar un programa en el cual grafique una función par, impar

2.2.

Específicos:

3. MARCO TEORICO: Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

La serie de Fourier de una función Sea f (x) defi nida para −L ≤ x ≤ L. Por el momento, suponga sólo que −L f (x) dx existe. Quiere explorar

_L

la posibilidad de elegir números a0, a1, . . ., b1, b2, . . . tales que

para −L ≤ x ≤ L. Algunas veces esto es pedir demasiado, pero se puede lograr bajo ciertas condiciones sobre f.

Donde

y

. Ortogonalidad

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen: b

f

(t)f n(t)dt  0

m

a

Si a

Donde

es una función (o señal) periódica y su período es

, la serie de Fourier asociada

es:

,

y

son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde

y

siendo:

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f, es posible evitar trabajo innecesario al

determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par o bien una función impar

Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares, porque f es par y los senos impares

y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma