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• Amado Fco Moreno

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

Materia: Vibraciones mecánicas.

Trabajo: Series de Fourier.

ÍNDICE.

INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 1 DESARROLLO........................................................................................................................... 2 Series de Fourier.................................................................................................................. 2 Funciones periódicas............................................................................................................ 2 Simetrías de una función periódica...................................................................................... 3 CONCLUSIONES....................................................................................................................... 7 BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................... 8

INTRODUCCIÓN. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico. Las series de Fourier son una herramienta muy importante para el estudio de diferentes partes de la física aplicada a la ingeniería. Estas series, cuyo origen ha sido el problema de la representación analítica de funciones reales, tienen numerosas aplicaciones en Astronomía, Técnica, Física matemática y en Matemática pura. La aplicación más común es aquella que se refiere al tratamiento de las señales periódicas, ya que sus resultados tienen una sencilla interpretación física. Como primera instancia tenemos que comprender en lo que se especializa este método analítico, tal como lo es una función periódica, como aquella cuyos valores se repiten a intervalos regulares, el tiempo entre las sucesivas repeticiones es lo que se conoce como período. Una vez comprendido este inicio, podemos empezar a hablar de lo que es la simetría de una función periódica, esto no es más que el reflejo de una función a través de un eje, aunque dependiendo de su dificultad o del diseño de la gráfica esta puede quedar desplazada un cierto movimiento a lo largo de un eje gracias a esto es más sencillo trabajar con las gráficas y obtener un estudio más concreto. En ocasiones la simetría de una función no es evidente, puede haber ciertas simetrías que queden ocultas, habitualmente por la suma de una constante.

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DESARROLLO. Series de Fourier La aplicación más intuitiva de la teoría de Fourier es aquella que se refiere al tratamiento de las señales periódicas, ya que sus resultados tienen una sencilla interpretación física, tal y como se verá a continuación. Funciones periódicas En primer lugar, es necesario definir el concepto de función periódica como aquella cuyos valores se repiten a intervalos regulares, el tiempo entre las sucesivas repeticiones es lo que se conoce como período. Matemáticamente, podemos decir que una función temporal es periódica cuando se cumple la siguiente relación:

Para todo valor de t. La constante mínima que satisface la anterior relación es denominada período (T) que, en el caso de funciones temporales, se expresa en segundos. A la parte de la función que abarca un tiempo equivalente a un período T se le denomina ciclo.

En una función periódica se define la frecuencia como la inversa de período, o sea, como el número de ciclos por segundo:

Su unidad es el Hertz (Hz). Si se supone que un ciclo equivale a 2π radianes, entonces el número de radianes en un segundo es lo que se conoce como pulsación o frecuencia angular en rad/s o en 1/s:

Generalmente a los términos frecuencia y pulsación se les sueles denominar indistintamente como frecuencia, aunque se ha de tener en cuenta que sus unidades son distintas. En una onda periódica se definen el valor de pico máximo Fp+ y el valor de pico mínimo Fp- como sus valores máximos y mínimos en un período, respectivamente. El valor de pico a pico Fpp es la diferencia entre ambos:

Unos valores típicamente asociados a una función periódica son el de su valor medio:

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y su valor eficaz o RMS:

Donde las integrales se han definido entre 0 y T, aunque es válido cualquier intervalo que abarque un período. Una de las ondas periódicas más representativas es la sinusoidal cuya expresión es:

Siendo A lo que se conoce como amplitud y θ su fase inicial. En este caso el valor de pico (máximo y mínimo) es Fp = A y el valor de pico a pico Fpp = 2A. Asimismo, el valor medio para esta forma de onda es igual a cero y su valor eficaz . Simetrías de una función periódica A continuación, se muestran las principales condiciones de simetría de una función periódica, que son:

En ocasiones la simetría de una función no es evidente, puede haber ciertas simetrías que queden ocultas, habitualmente por la suma de una constante.

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Se muestran todas las condiciones de simetría con sus correspondientes simplificaciones en el cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier.

Ejemplos: 1.-

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2.-

3.-

4.5

5.-

6.-

7.6

CONCLUSIONES. Las series de Fourier son una herramienta que nos permite llevar el análisis de movimientos armónicos a niveles mucho más detallados, porque la comparación matemática que existe además de las gráficas que generalmente describen el comportamiento de estos movimientos dan una precisión casi ideal para lo que se esté trabajando. Ahora bien, para poder leer las gráficas se debe comprender que el periodo es un determinado tiempo en el que transcurre la frecuencia, con eso a su vez se conoce lo que es la frecuencia, la cual en pocas palabras es a cantidad de veces que se repite la forma de señal que se está analizando. Una función periódica es aquella donde los valores que la componen se repiten en un cierto intervalo de tiempo llamado periodo. El periodo es lo que tarda en completarse un ciclo de la función. La frecuencia cuya unidad de medida es el Hertz (Hz), el cual es la cantidad de ciclos que transcurren en un tiempo de un segundo, es el inverso del periodo (1/T). La frecuencia angular se toma desde el punto que cada ciclo es 2π, para lo cual se escribe como 2π/T (rad/s o 1/s). En una onda periódica se pueden obtener los valores pico, ya sea positivo, negativo o pico-pico. También se puede saber los valores promedio o RMS de la función. Para utilizar la serie de Fourier para representar una función periódica se toma en cuenta la simetría de ésta, y si es par o impar, así dependiendo de las condiciones de su simetría se toman las fórmulas de coeficientes de Fourier para representar la función. Como aplicaciones tenemos: Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.

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Las resoluciones de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc. Estas son ejemplos sencillos de las series de Fourier, y así denotamos que funcionan para el estudio detallado de señales específicas de sistemas, aunque en este caso excepcionalmente se denotaron graficas de movimientos periódicos en las vibraciones mecánicas.

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BIBLIOGRAFÍA. http://grupo_ene.webs.uvigo.es/publicaciones/Apuntes_Fourier.pdf http://rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso3/06-MetMatFisI.pdf http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/05/series-de-fourier-ejercicios-resueltos.html

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