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• Adrian Jahir Garcia

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ANÁLISIS DE FOURIER: SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER SERIES DE FOURIER INTRODUCCIÓN La idea de expandir una función en forma de serie trigonométrica para resolver problemas relacionados a la vibración de resorte fue usada por Bernoulli, D’Alembert y Euler en 1750, pero fue Joseph Fourier (1768 – 1830), físico francés, quien desarrolló el método hasta un nivel para casos más generales. Fourier estaba interesado en los problemas de flujo de calor: dada una temperatura inicial en todos los puntos de una región, quería determinar el cambio en la distribución de la temperatura a través del tiempo. En 1807, Fourier postuló que una función arbitraria 𝑓(𝑡) podía ser representada por una Serie Trigonométrica Convergente, de la forma ∞

𝑓(𝑡) = ∑(𝐴𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + 𝐵𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡) 𝑛=0

El resultado fue considerado tan sorprendente que encontró la oposición de los grandes matemáticos de su época (Piere Simon de Laplace, Poisson y Lagrange), pues, consideraban que le faltaba rigor matemático al trabajo de Fourier. Debido a esta causa, se le encomienda la tarea de completar matemáticamente dicho trabajo a los Matemáticos Alemanes Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Georg Friedrich Bernhard Riemann. Por esta razón es hasta el año 1822, cuando se publica su célebre Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica del Calor), el cual se convirtió en un clásico para los métodos modernos de resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, sujetas a las condiciones de frontera. Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. También puede ser utilizado para resolver problemas relacionados a las vibraciones estructurales, propagación de ondas y difusión. Introduce la representación de una función arbitraria periódica como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales. En la actualidad, el trabajo de Fourier es utilizado en modelar muchos fenómenos físicos y de ingeniería de áreas tan inimaginables en la época de Fourier como lo son la computación y la tomografía asistida por computadoras (CAT), la cual es una técnica moderna de diagnóstico.

Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

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FUNCIONES PERIÓDICAS. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIONES PERIÓDICAS DEFINICIÓN: Una función 𝑓(𝑡) es una “Función periódica con periodo 𝑇”, si para toda 𝑡 en el dominio de la función 𝑓(𝑡) y todo entero 𝑛: 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇) = 𝑓(𝑡) ONDA SERPENTINA

𝑓(𝑡) 𝑘 −3𝑎 −2𝑎

−𝑎

𝑎

0

2𝑎

3𝑎

4𝑎

−𝑘

𝑇 = 2𝑎

• ANOTACIONES IMPORTANTES: DEFINICIÓN: El intervalo entre dos replicas sucesivas de la gráfica de función 𝑓(𝑡) se le denomina “Periodo de la función” y lo denotamos por “𝑇”. DEFINICIÓN: Se denomina “frecuencia de la función 𝑓(𝑡)” al número de repeticiones por unidad de tiempo “𝑡” y se escribe como el inverso del periodo 𝑇 Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

𝑡

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Frecuencia: 𝑓 =

1 𝑇

DEFINICIÓN: El Término “Frecuencia Circular” se utiliza en las aplicaciones en ingeniería, la denotamos como “ω” y se define como: 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = (2𝜋)(𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 2𝜋 𝑇 La Frecuencia Circular se mide en radianes por segundos. Es común eliminar el término “circular” y decir simplemente “Frecuencia” 𝜔 = (2𝜋)(𝑓) → 𝜔 =

✓ SERIES TRIGONOMÉTRICAS La representación de una función en la forma de una Serie es una práctica bastante común en Matemática y es practicada desde la antigüedad. Las más comunes son las “Series de Potencia”, que tiene la forma: ∞

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑛=0

Donde el “conjunto base” son las funciones de potencia: {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … } y las más conocidas son: ∞ 𝑥𝑛 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑒 = ∑ = 1+𝑥+ + +⋯ 𝑛! 2! 3! 𝑛=0

∞

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = ∑ =𝑥− + − +⋯ (2𝑛 + 1)! 3! 5! 7! 𝑛=0

∞

𝐶𝑜𝑠 𝑥 = ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛 𝑥2 𝑥4 𝑥6 = 1− + − +⋯ (2𝑛)! 2! 4! 6!

DEFINICIÓN: Las series de funciones de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑏1 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎2 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑏2 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + ⋯ se llaman “Series Trigonométricas” y donde las 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … son constantes reales. Escrita de forma compacta:

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35 ∞

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝑥) 𝑛=1

Los 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 se les llama “Coeficientes de la Serie”. El conjunto base de la Serie es el sistema trigonométrico: {1, 𝐶𝑜𝑠 𝑥, 𝑆𝑒𝑛 𝑥, 𝐶𝑜𝑠 2𝑥, 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 , … } DEFINICIÓN: Al conjunto {𝜑1 (𝑥), 𝜑2 (𝑥), 𝜑3 (𝑥), … }, se le llama “Conjunto Ortogonal de Funciones en el intervalo [𝑎, 𝑏]”, si cualquier par de funciones en el conjunto son ortogonales entre sí, es decir: 𝑏

[φ𝑛 (𝑥), φ𝑚 (𝑥)] = ∫ φ𝑛 (𝑥)φ𝑚 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0; 𝑛 ≠ 𝑚 𝑎

RELACIONES DE ORTOGONALIDAD Sea 𝑇 =

2𝜋 𝜔

; para toda 𝑛 y 𝑚 enteros y el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇]

𝑑+𝑇

1. ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = { 𝑑

0, 𝑛 ≠ 0 𝑇, 𝑛 = 0

𝑑+𝑇

2. ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0,

para toda 𝑛

𝑑 𝑑+𝑇

0, 𝑚≠𝑛 1 3. ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = { 𝑇, 𝑚 = 𝑛 ≠ 0 2 𝑑 𝑑+𝑇

0,

𝑚≠𝑛

4. ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = {1 𝑇, 𝑚 = 𝑛 ≠ 0 2 𝑑 𝑑+𝑇

5. ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0,

para toda 𝑚 y 𝑛

𝑑

Bajo esta definición el conjunto: {1, 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡, 𝐶𝑜𝑠 2𝜔𝑡, … , 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡, 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡, 𝑆𝑒𝑛 2𝜔𝑡, … , 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 } Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

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Es un conjunto “Ortogonal de Funciones en el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇]". 2.1.2. SERIES DE FOURIER. COEFICIENTES DE EULER. ✓ SERIES DE FOURIER. TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica 𝑓(𝑡) que satisface ciertas condiciones, puede expresarse como la suma de un número de funciones “Senos” de diferentes amplitudes, fases y periodos. Es decir, si 𝑓(𝑡) es una función periódica con periodo “𝑇”, entonces: 𝑓(𝑡) = 𝐴0 + 𝐴1 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐴2 𝑆𝑒𝑛(2𝜔𝑡 + 𝜑2 ) + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑𝑛 ) + ⋯ Donde los 𝐴𝑖 y 𝜑𝑖 , con 𝑖 = 1,2,3, …, constantes y 𝜔 =

2𝜋 𝑇

es la frecuencia de la función 𝑓(𝑡)

𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑𝑛 ) ≡ 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜑𝑛 )𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + 𝐴𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝜑𝑛 )𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑𝑛 ) ≡ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 con 𝑎𝑛 = 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜑𝑛 ); 𝑏𝑛 = 𝐴𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝜑𝑛 ) 1

Con 𝐴0 = 2 𝑎0 . A esta expresión se le llama “Expansión Trigonométrica en Serie de Fourier de la función 𝑓(𝑡)”. A los 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 ; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … que dan los Coeficientes de Fourier se les llama “Formulas de Euler ó Coeficientes de Euler”. ✓ COEFICIENTES DE EULER. (a) Si 𝑓(𝑡) se integra respecto a “𝑡” en el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇]: 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ [ 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡] 𝑑𝑡 2 ∞

𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

1 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎0 ∫ 𝑑𝑡 + ∑ [𝑎𝑛 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏𝑛 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡] 2 𝑛=1 𝑑+𝑇

∞

1 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎0 (𝑇) + ∑[𝑎𝑛 (0) + 𝑏𝑛 (0)] 2

𝑑

𝑛=1

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37 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

1 2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎0 𝑇 entonces 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 2 𝑇

(b) Si multiplicamos 𝑓(𝑡) por 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 e integramos 𝑓(𝑡) respecto a “𝑡” en el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇]: 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 ∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 == ∫ [ 𝑎0 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 + ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡] 𝑑𝑡 2 ∞ 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

1 = 𝑎0 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ∑ [𝑎𝑛 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏𝑛 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡] 2 𝑑

𝑛=1

𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎𝑛 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑+𝑇

𝑑 𝑑+𝑇

∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎𝑛 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑

𝑑

𝑑+𝑇

1 ∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎𝑛 ( 𝑇) 2

𝑑

𝑑+𝑇

∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑

1 𝑎 𝑇 2 𝑛

𝑑+𝑇

2 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑛 = 0, 1, 2, … 𝑇 𝑑

(c) Si multiplicamos 𝑓(𝑡) por 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 e integramos 𝑓(𝑡) respecto a “𝑡” en el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇]: 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ∫ [ 𝑎0 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 + ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡] 𝑑𝑡 2 ∞ 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

1 = 𝑎0 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ∑ [𝑎𝑛 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏𝑛 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡] 2 𝑑

𝑛=1 Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

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𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑+𝑇

𝑑 𝑑+𝑇

∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑

𝑑

𝑑+𝑇

1 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏𝑛 ( 𝑇) 2

𝑑

𝑑+𝑇

2 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑛 = 1, 2, … 𝑇 𝑑

Para una función periódica 𝑓(𝑡)de periodo 𝑇 = una Serie de Fourier:

2𝜋 2𝜋 ;ó 𝜔 = expresamos como 𝜔 𝑇

∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 2 𝑑+𝑇

𝑑+𝑇

𝑑

𝑑

2 2 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑛 = 1, 2, … 𝑇 𝑇 𝑑+𝑇

2 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑛 = 1, 2, … 𝑇 𝑑

Ejemplos: (1) Dada la Función Periódica, Diente de Sierra: 𝑓(𝑡) = 𝑡; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋; 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) (a) Dibujar la gráfica de 𝑓(𝑡) en −4𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋 (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de 𝑓(𝑡)

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(2) La Función Periódica, del problema anterior: 𝑓(𝑡) = 𝑡; 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) (a) Dibujar la gráfica de 𝑓(𝑡)en −5𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 5𝜋 (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de 𝑓(𝑡)

−𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋;

(3) La Función Periódica, 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 ; −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋; 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) (a) Dibujar la gráfica de 𝑓(𝑡)en −5𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 5𝜋 (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de 𝑓(𝑡)

(4) La Función Periódica, 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡; −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋; 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) (a) Dibujar la gráfica de 𝑓(𝑡) en −3𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 3𝜋 (b) Obtener la expansión en Serie de Fourier de 𝑓(𝑡)

• PROPIEDAD DE LINEALIDAD TEOREMA: si 𝑓(𝑡) = 𝑙𝑔(𝑡) + 𝑚ℎ(𝑡), donde 𝑔(𝑡) y ℎ(𝑡) son funciones periódicas de periodo “𝑇”; 𝑙 y 𝑚 son constantes arbitrarias, entonces 𝑓(𝑡) tiene expansión en Serie de Fourier, donde los coeficientes son las sumas de los coeficientes de las expansiones en serie de Fourier de 𝑔(𝑡) y ℎ(𝑡) multiplicadas por 𝑙 𝑦 𝑚 respectivamente: ∞ ∞ 1 𝑔(𝑡) = 𝛼0 + ∑ 𝛼𝑛 Cos nωt + ∑ 𝛾𝑛 Sen nωt 2 𝑛=1

𝑛=1

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40 ∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 ℎ(𝑡) = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑛 Cos nωt + ∑ 𝜃𝑛 Sen nωt 2 ∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

1 𝑓(𝑡) = (𝑙𝛼0 + 𝑚𝛽0 ) + ∑(𝑙𝛼𝑛 + 𝑚𝛽𝑛 )Cos nωt + ∑(𝑙𝛾𝑛 + 𝑚𝜃𝑛 )Sen nωt 2 Ejemplo: (5)

Supongamos que 𝑔(𝑡) = 𝑡 2 y ℎ(𝑡) = 𝑡 son funciones periódicas de periodo 𝑇 = 2𝜋, definidas −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. Determine la expansión en Serie de Fourier de ambas funciones 𝑔(𝑡) y ℎ(𝑡) y utilice el teorema de linealidad para confirmar que la expansión obtenida 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) + ℎ(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡, dentro del intervalo −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. FUNCIÓN CONTINUA A PEDAZOS SOBRE UN INTERVALO

Una función periódica 𝑓(𝑡) puede estar especificada (definida) a pedazos sobre un periodo, o inclusive, puede que sea continua a pedazos sobre un periodo. Para calcular los “Coeficientes de Fourier” en tales casos es necesario partir el rango de integración en las “Formulas de Euler” para que correspondan a las distintas componentes de la función. Por ejemplo para una 𝑓(𝑡), definida de −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 por: 𝑓1 (𝑡) , − 𝜋 < 𝑡 < −𝑝 𝑓(𝑡) = { 𝑓2 (𝑡) , − 𝑝 < 𝑡 < 𝑞 ; 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) 𝑓3 (𝑡), 𝑞