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Separata 2 Electricidad y magnetismo Docente: Christian Rivera Ascona

Problemas Resueltos 1. Dos esferas conductoras geom´etricamente id´enticas separadas 0,1m se atraen con una fuerza electrost´atica de 2,7N. Un alambre conductor se colcoa sobre las esferas. Pasado un tiempo se retira el alambre. Despu´es de este proceso se observa que las esferas se cargan positivamente por lo que se repelen con 0,9N. Cu´ales fueron las cargas iniciales de las esferas? Soluci´ on: Al inicio. La fuerza el´ectrica entre las cargas se puede obtener de la ecuaci´on de Coulomb, as´ı tenemos |q1 ||q2 | = 2, 7N F1 = k r2 donde |q1 | y |q2 | es el valor absoluto de las cargas iniciales de las esferas conductoras. Reemplazando k = 9 × 109 Nm2 /C2 y por dato r = 0, 1m obtenemos |q1 ||q2 | = 3 × 10−10 C2 . Al inicio las esferas se atraen, esto muestra que las esferas tienen cargas diferentes, por lo que podemos considerar que |q1 | = q1 y |q2 | = −q2 , entonces q1 q2 = −3 × 10−10 C2 .

(1)

Al conectar las esferas con el alambre se produce un intercambio de electrones que acaba cuando la distribuci´on de cargas en las esferas son iguales, y como indica el problema, estas cargas son positivas, q. As´ı, despu´es de retirar el alambre la fuerza de Coulomb entre las esferas ser´a F2 = k

q2 = 0, 9N r2

Substituyendo valores obtenemos q = 10−5 C Por la consevaci´on de la carga sabemos que q1 − q2 = 2q. Por lo que q1 − q2 = 2 × 10−5 C. De (1) y (2) obtenemos que q1 = 3 × 10−5 C y q2 = −10−5 C.

1

(2)

Figura 1

2. Un capacitor esf[erico tiene entre los conductores un aislante de constante diel´ectrica κ. Demostrar que la capacitancia de este conductor es C = κC0 , donde C0 es la capacitancia de un capacitor esf´erico en el vac´ıo. Soluci´ on: Usemos la ley de Gauss para calcular el campo el´ectrico entre los conductores I ~ ·A ~=q E ε donde ε = κε0 . De la ecuaci´on de Gauss obtenemos q E= . 4πεr2 Ahora calculemos la diferencai de potencial entre las superficies de los conductores.   Z b Z b q 1 q b−a ~ Va − Vb = E · ~r = dr = . 4πε a r2 4πε ba a Con esto calculemos la capacitancia C=

4πεba 4πε0 ba q = =κ = κC0 . Va − Vb b−a b−a

3. Un capacitor de placas paralelas de a´rea A separados una distancia d se colocan dos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2 de dos diferentes formas como se muestra en la figura. Calcular la capacitancia en ambos casos.

Figura 2

Soluci´ on: En el caso (a), se puede considerar como si tubi´eramos dos capacitores en paralelo, entonces podemos obtener la capacitancia como C = C1 + C2 =

κ1 ε0 (A/2) κ2 ε0 (A/2) (κ1 + κ2 )ε0 A + = . d d 2d 2

En el caso (b) podemos considerar el caso de dos capacitores en serie, entonces obtendremos la capacitancia como 1 1 1 = + = C C1 C2 entonces C=

1 κ1 ε0 A a

+

1 κ1 ε0 A b

κ1 κ2 ε0 A . κ2 a + κ1 b

4. Un alambre conductor de longitus L y secci´on transversal circular de radio r tiene una resistencia R0 . Qu´e ocurre con la resistencia si: a) Se se duplica la longitud del alambre. b) Se disminuye el radio a la mitad. c) Se duplica L y r Soluci´ on: La resistencia del conductor es ρL , A = πr2 A

R0 =

Ahra vemos que sucede cuando se aplican los cambios. a) R=

ρL ρ2L =2 = 2R0 A A

. b) R=

ρ2L ρL = 4 2 = 4R0
2 πr π 2r

R=

1 ρL R0 ρ2L = = 2 2 π(2r) 2 πr 2

. c)

5. Se tiene un cilindro conductor hueco de radio interno a y externo b, longitud L y resistividad ρ. Se establece una diferencia de potencial entre las superficies interna y externa del cilindro, produciendo de esta manera una corriente el´ectrica radial. Calcule la resistencia del conductor. Soluci´ on: Tomemos una superficie cil´ındrica que tenga una superficie circular de radio r (a < r < b) y longitud L. El diferencial de resistencia de esta superficie cil´ındrica es dR =

ρdr ρdr = A 2πrL

Para obtener la resistencia total integramos Z b ρ 1 ρ b R= dr = ln . 2πL a r 2πL a 3

Figura 3

6. Dos cilindros conductores de diferente resistividad ρ1 y ρ2 y longitud L, pero con la misma ´area transversal A se unen para formar un solo alambre conductor. Si se aplica una diferencia de potencial entre los extremos libres. Calcular la resistencia total del alambre.

Figura 4

Soluci´ on: Sea V1 y V2 las diferencias de potencial entre los conductores 1 y 2. Entonces V = V1 + V2 = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 ). Entonces podemos obtener la resistencia total como R = R1 + R2 =

ρ1 L1 ρ2 L2 + . A A

7. Reducir el siguiente circuito de resistores.

Figura 5

Soluci´ on:

4

Problemas propuestos 1. Calcular el la carga, la corriente el´ectrica y el voltaje en el capacitor 10 segundos despu´es de cerrar el switch. Considerar que el capacitor est´a inicialmente descargado.

2. En el circuito mostrado en la figura calcular la intensidad de la corrientes el´ectricas que pasas por las resistencias.

5

3. Calcular las intensidades de las corrientes I1 , I2 e I3 en el circuito.

4. En el circuito RC mostrado en la figura calcular la expresi´on del voltaje y la corriente el´ectrica en el capacitor durante el proceso de carga. Considerar que el capacitor esta descargado al inicio.

5. Calcular la energ´ıa potencial el´ectrico generado por tres cargas q1 = 4µC ubicada en (0, 0)cm, q2 = 2µC ubicada en (2, 0)cm y q3 = 1µC ubicada en (0, 2)cm. 6. Se tiene una capacitor de placas paralelas que tienen un a´rea de 10cm2 y que est´an separadas 1mm. Al capacitor se le aplica una diferencia de potencial de 20V. Calcular la capacitancia, la carga en el capacitor y el campo el´ectrico entre las placas. 7. Un capacitor esf´erico tiene un radio interno de 5cm y un radio externo de 10cm. Cu´al tiene que ser la diferencia de potencial en el capacitor para obtener una carga de 2µC. 8. Un capacitor formado por dos placas rectangulares de largo a y ancho b forman un determinado a´ngulo como se muestra en la figura. La separaci´on entre un extremo es c y en el otro extremo es 2c. Demostrar que la capacitancia de este capacitor es C=

6

0 ln(2)ab c

9. Reducir el siguiente sistema de capacitores si C = 1µF.

10. A un capacitor de placas paralelas de a´reas A = 0, 1m2 y que est´an separadas una distancia d = 0, 01m se le aplica una diferencia de potencial de 90V mediante una bater´ıa. Cuando el capacitor est´a cargado se retira la bater´ıa. Entonces se le coloca un diel´ectrico de espesor a = 0, 007m y constante diel´ectrica κ = 2, 5. a) Calcular la capacitancia antes de colocar el diel´ectrico. b) Obtener la carga entre las placas. c) Calcular el campo el´ectrico entre el diel´ectrico y las placas conductoras. d ) Calcular el campo el´ectrico dentro del diel´ectrico. e) Obtener la diferencia de potencial despu´es de colocar el diel´ectrico. f ) Determinar la capacitancia al colocar el diel´ectrico.

11. En la figura se muestra una esfera maciza de radio a que est´a hecha de un material diel´ectrico de constante diel´ectrica κ y que tiene una distribuci´on de carga volum´etrica homog´enea ρ. Demostrar que el campo el´ectrico dentro y fuera de la esfera es E= E=

ρr ,r a. 3ε0 r2

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12. La resistencia el´ectrica de un cilindro conductor de longitud L y secci´on transversal S var´ıa con la longitud del conductor de forma lineal. Considerar que la resistividad en uno de los extremos del conductor es ρ0 y en el otro ρ1 . Calcular la resistencia total del conductor. 13. Un capacitor esf´erico de radio interno a y exterior b tiene entre los conductores dos cancarones esf´ericos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2 , como se muestra en la figura. Demostrar que la capacitancia de este capacitor es      1 1 1 1 1 1 1 −1 − + − . C = 4πε0 κ1 a c κ2 c b

14. Dos conductores de forma de medio cascar´on esf´erico de conductividad σ1 y σ2 se unen para formar una esfera. Demostrar que la resistencia de la esfera es R=

b−a . 2π(σ1 + σ2 )ba

15. Dos conductores esf´ericos de conductividades σ1 y σ2 , son colocados como se muestra en la figura. Demostrar que la resitencia total del sistema es   1 c−a b−c R= + . 4π σ1 ac σ2 bc

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