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• Gianfranco Huamani

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SEMIESFERA CARGADA SUPERFICIALMENTE Una superficie semiesférica tiene una carga superficial uniforme σ. Determinar el campo eléctrico en el centro de la semiesfera. Supongamos que la semiesfera es un bol (o una pelota cortada por la mitad) apoyado en un plano paralelo al plano xy que pasa por z = − R siendo R el radio del bol. De esta manera el problema consiste en calcular el campo eléctrico en el origen de coordenadas. Cada elemento de superficie de la esfera contribuirá con un vector campo eléctrico  dE . Cada uno de estos infinitos vectores infinitesimales tiene una dirección que pasa por el origen y por un punto de la superficie de la esfera. En general tendrán componentes en x, en y y en z. El sentido de estos vectores será desde el origen hacia el semiespacio z > 0 si la densidad de carga

σ es positiva.

Planteamos para el cálculo del campo la 

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expresión: dE = 4πε

σ dS   ∫∫ r − r ` ( r − r `) 3

o



Donde r =0 iˆ +0 ˆj +0 kˆ es el vector posición del punto campo. Recordemos que queremos calcular el campo eléctrico en el centro de la semiesfera, que con nuestra elección de coordenadas queda ubicado en el origen. En este problema, a diferencia de muchos otros, no estamos buscando la expresión del campo en un punto genérico del espacio en función de las coordenadas.  dE =

1 4πεo

σ dS

∫∫ 

0 −r `

3

(0 −r`)

El vector posición de los puntos fuente (puntos de la superficie esférica) es  r `= x`iˆ + y ` ˆj + z ` kˆ Parece que será conveniente expresar las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas esféricas. En adelante omitiremos el “primado” en las coordenadas de la superficie cargada (puntos fuente), ya que no es necesario hacer la distinción con las coordenadas del punto campo ya que estas son (0, 0, 0). x =r senθ cos φ y =r senθ senφ z =r cos θ

Para todas las componentes en x y en y existirá una componente opuesta. Por lo tanto el campo total en el origen debe tener dirección z.

2 Escribimos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas, dS = r senθ dφ ⋅ rdθ y planteamos la integral…  dE =  dE =

1

σ r 2 senθ dθ dϕ

4πε 0

∫∫

1

σ

4πε 0 R

 −σ dE = 4πε 0

R3

3

π

∫∫ ( − r

3

(− r senθ cos ϕ iˆ − r senθ senϕ ˆj − r cos θ kˆ ) )

senθ cos θ dθ dϕ kˆ 2π

∫

π/2

cos θ senθ dθ ∫ dϕ kˆ 0

Los límites de integración para el ángulo φ (coordenada angular alrededor del eje z), son 0 y 2π , ya que la integral debe abarcar toda la circunferencia. Los límites de integración para el ángulo θ son π /2 (para puntos del borde de la superficie) y π (para el “vértice” de la semiesfera. Dicho de otra manera la coordenada z varía entre 0 y − R. En el cálculo anterior hemos omitido algunos pasos. Por ejemplo la primera integral doble se descompone en la suma vectorial de tres integrales dobles. Pero es fácil comprobar que las integrales en los versores i y j son nulas. Además la variable r que indica la posición “radial” de cada punto fuente o elemento de superficie en este caso es constante e igual a R. Esta claro que el vector resultante dará en la dirección z. Vemos que no depende del radio de la esfera ya que R está al cubo tanto en el numerador como en el denominador de la expresión. Ahora hay que resolver la integral…  −σ E= 4πε 0

π

∫

π /2

2π

cos θ senθ dθ ∫ dϕ kˆ = 0

π

 − σ  sen θ  −σ 1 2π ˆ ( 0 − 1) ⋅ 2π kˆ = σ kˆ E=   [ϕ ] 0 k = 4πε 0  2  π / 2 4πε 0 2 4ε 0 2

Entonces el campo, en ese punto particular (centro de la semiesfera), no depende del radio R.

3 Otra manera de calcular el campo en el centro de la cúpula… Una forma alternativa de hacer el cálculo puede ser la siguiente. Consideremos que cada elemento de  superficie de la esfera provoca en el origen un vector dE . El campo total en el origen será la suma vectorial de las proyecciones de estos vectores infinitesimales sobre el eje z. Es decir E z = ∫ d E ⋅ cos β Ahora bien, cada vector infinitesimal se puede expresar como el campo de una carga puntual. Entonces dE =

1

σ dS

4πε 0 R 2

Cada elemento de superficie se puede expresar como dS = ( R senβ ) dφ ⋅ R dβ Es decir, cada dS es un cuadrilátero de lados curvos, que al ser infinitesimales se pueden tomar como rectos. Los lados “verticales” son arcos de circunferencia Rdβ. Los lados paralelos al plano xy también son arcos de circunferencia pero cuyo radio es menor que R, precisamente R senβ. Entonces, el campo en el origen, que ya sabemos que tendrá dirección z, se puede escribir así: σ R 2 senβ dβ dφ ⋅ cos β 4πε o ∫∫ R2 Simplificando y separando las variables, queda: EZ =

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σ EZ = 4πε o

2π

π /2

π /2

 sen 2 β  σ d φ sen β cos β d β = ⋅ 2 π ⋅   ∫0 ∫o 4πε o  2 0

=

σ 1 σ ⋅ 2π ⋅ (1 − 0) = 4πε o 2 4ε 0

La distribución de carga tiene simetría cilíndrica. Esto quiere decir que no varía si se gira alrededor del eje z. Es decir la distribución de carga no es función de la variable φ . Pero como se puede apreciar si depende de la coordenada z, o dicho de otra manera de la coordenada θ .