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• Felipe Gallegos

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EUREKA, el primer grupo de estudio UNI

GEOMETRIA SEMANA 01: LINEAS NOTABLES 01. En un triángulo ABC se trazan las medianas BM y AN ( M  AC y N  BC ). Si BM = 12 u y AN = 15 u, entonces la mayor longitud (en u) entera del lado AC es: A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 CEPRE 2009- II 02. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y la altura BH . m∠ABH = 45, m∠BCA = 30. Halle m∠AMH. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 CEPRE 2006- I 03. En un triángulo ABC se traza la altura BH . Calcular “AC”, si m∢C = 2m ∢ABH y BC = 8A) 6 B) 4 C) 8 D) 16 E) 12 04. ¿En qué relación deben estar las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo para que la mediana relativa a uno de ellos sea perpendicular a la bisectriz del ángulo recto? A) 2 a 3 B) 1 a 2 C) 1 a 3 D) 1 a 4 E) 3 a 5 05. El número de rectas distintas que contienen a las alturas, medianas y bisectrices de los ángulos de un triángulo isósceles no equilátero es: A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 CEPRE 2008- II 06. En un triángulo isósceles ABC ( AB  BC ), las bisectrices interior del ∠A y exterior del ∠C se interceptan en el punto E. Si AB = 8u, entonces la menor longitud entera (en u) del segmento AE es: A) 1 B) 12 C) 9 D) 15 E) 8 07. En un triángulo escaleno ABC la bisectriz del ángulo BAC y la bisectriz del ángulo exterior en C se intersecan en E. La bisectriz del ángulo AEC interseca a AC en D y a la bisectriz del ángulo ABC en F. m ∠EDC =  , halle: m∠BFE.

A) 90  D)

 2

 2

B) 45  

C) 30

E) 

CEPRE 2007- I

08. En un triángulo ABC, obtuso en B m∠A = 2m∠C, AB = 4, BC = x; x ∊ℕ. Calcule x. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 CEPRE 2007- II 09. En un triángulo ABC, de incentro I, m∢A = 2(m∢C). Calcular AI. Si AB = 4 y BC = 6. A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 9 10. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la ceviana interior AN . Calcular el ángulo entre dichas líneas, si BN = AB y m∢BAC m∢BCA = 40. A) 50 B) 70 C) 55 D) 80 E) 30 11. ABC es un triángulo recto en B. Se traza la altura BH (H ∊ AC ). Interior al triángulo BHC se ubica el punto P tal que AP es bisectriz del ángulo HAB y BP es bisectriz del ángulo CBH. Si BP = 3m, AP = 6m, entonces AB (en m) es igual a: A) 3 5 B) 56 C) 5 2 D) 56 E) 65 CEPRE 2008- II 12. Dado el triángulo isósceles ABC (AB = BC = 6), determinar el número de valores enteros que puede tomar AE, si E es el excentro relativo a BC . A) 12 B) 10 C) 8 D) 5 E) 3 13. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C, las cuales se intersectan en el punto E. Si m∠BAC = 40° y m∠AEC = 45°, entonces la medida del ángulo agudo que forman las rectas BC y AE es: A) 60° B) 70° C) 75° D) 80° E) 85° CEPRE 2004- I 14. En un triángulo ABC recto en B, se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo ABH

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intersecta a la hipotenusa AC en el punto M. Si AC = 18 u y BC = 15 u, entonces la longitud (en u) del segmento AM es: A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 4 E) 3 CEPRE 2004- I

18. Sea el triángulo isósceles ABC (AB = BC), en AB , BC y AC se ubican los puntos P, Q y H respectivamente tal que BP = BQ; m∠QHC = 40 y HA = HQ + HC. Halle m∠PHA. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

15. Es verdadero: I. Dos triángulos son congruentes, si tienen sus respectivos lados iguales dos a dos. II. Dos triángulos son congruentes, si tienen sus respectivos lados congruentes dos a dos. III. Dos triángulos son congruentes, si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman iguales dos a dos. IV. Dos triángulos son congruentes, si tienen un ángulo congruente y los lados que lo determinan respectivamente congruentes dos a dos. A) I y III B) II y IV C) I, II, III y I D) II E) IV CEPRE 2006- I

19. Sea R un punto interior a un triángulo equilátero ABC de manera que: mCBR mACR mBAR   3 5 Calcule: m∠BAR. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 CEPRE 2007- I

16. Si los triángulos cuyo interior están sombreados son congruentes, calcular el valor de x. B

20. En un triángulo escaleno ABC, con los lados AB y BC se dibujan exteriormente al triángulo escaleno los triángulos equiláteros ABD y BCE. Los segmentos AE y DC se intersectan en el punto M. Entonces, la m∠BMC es: A) 100° B) 105° C) 110° D) 115° E) 120° CEPRE 2004- I 21. Calcular “  ”, si AB = BE, AD = EC y BD = BC. B

x°

A A) 26,5 D) 22,5

B) 30 E) 36

C

A

3  4 

C

E

C) 15

17. De la figura, calcular “x”: C B

D

x°

10°

20° 20° 10° A A) 40 D) 80

B) 70 E) 50

C) 60

D

A) 10 D) 18

B) 12 E) 20

C) 15

22. En un triángulo equilátero ABC se ubica P en BC y Q en AB , tal que BQ = PC. Halle la medida del ángulo formado por CQ y AP al interceptarse. A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

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23. En un triángulo rectángulo isósceles ABC (AB = BC), por el vértice B se traza la ceviana BD , interior luego se trazan las perpendiculares AP y CQ a la recta BD (P y Q en la recta BD). Si la diferencia entre las longitudes de AP y CQ es 10 dm, entonces la

28. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana BD tal que la m∢ABD = 3  , m∢C = 2  y AD = BC. Calcular el valor de “  ”. A) 18,5 B) 26,5 C) 30 D) 22,5 E) 36

longitud de PQ (en dm) es: A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

29. En la figura mostrada, calcule la menor medida del ángulo  , si AC = BD. B

24. Dado el triángulo ABC, Q es un punto de AC de manera que AB = QC, y mBCA mABC mABQ   . Calcule la 6 8 medida del ángulo BAC. A) 48 B) 51 C) 54 D) 57 E) 60 CEPRE 2008- I 25. En un triángulo MNP, obtuso en N la m∠N =  se construyen los triángulos equiláteros MPK y NPQ de modo que los puntos N, Q y K se encuentran en un mismo semiplano respecto de MP . Halle la m∠KQN. A) 2  30 B)   30 C)   60 D) 2  60 E)   120 26. En la siguiente figura: AB = BC y AD = 2(BH). Calcular el valor de “x”. B

C

A A) 30 D) 53

x° H B) 37 E) 60

D

C) 45

27. En un triángulo ABC las bisectrices de los ángulos ABC y BCA se intersecan en Q. Sea: mBAC mBCA  , QC  AB . Halle m∠ABC: 3 2 A) 50 B) 60 C) 75 D) 80 E) 90 CEPRE 2007- I

2

A A) 10° D) 20°

4

3 D B) 15° E) 50°

C C) 18° CEPRE 2008- I

30. En un triángulo isósceles ACB ( AC ≌ BC ), m∠ACB = 20. Se traza la ceviana BD tal que AB  DC . Entonces, la m∠DBC es: A) 5 B) 8 C) 9 D) 10 E) 17 31. Sobre los lados AC y BC de un triángulo acutángulo ABC se ubican los puntos D y E, respectivamente, de tal modo que: AD = BD = BE y m∢DEB = m∢ABC Si las bisectrices de los ∢BAC y ∢ACB se cortan en P y m∢EDC = 40, entonces m∢CPA es: A) 110 B) 115 C) 120 D) 125 E) 130 UNI 2008- II 32. En el triángulo ABC se traza la ceviana BF (F ∈ AC ) tal que FC  AB . Si m∠ABC = 10  , m∠ACB = 4  y m∠ABF = 3  , entonces el valor de  es: A) 5° D) 15°

B) 8° E) 12°

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C) 10° CEPRE 2004- I

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33. En un triángulo ABC recto en B, se traza la altura BH . Las bisectrices interiores AE y CF interceptan a la altura en los puntos P y Q respectivamente. Si BE – BF = , entonces la longitud de PQ es: A) / 4 B) / 3 C) / 2 D) E) 2

A) 6 D) 16

34. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BQ tal que AB  QC . Si m∠BAC = 4m∠BCA = 8  y m∠BCA = 2∠QBC = 2  , entonces la m∠QBA es: A) 80 B) 70 C) 75 D) 65 E) 85

41. En el interior de un triángulo ABC se ubica el punto O tal que OB = AC y los ángulos ABO, CBO y ACB son proporcionales a 4,5 y 13, además AO es bisectriz del ángulo BAC. Calcule la medida del ángulo ABO. A) 16 B) 15 C) 20 D) 18 E) 12

35. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM (M ∈ BC ). Si m∠ACB = 2m∠MAC y m∠BAM = 30, entonces la m∠ABC es: A) 120 B) 110 C) 105 D) 95 E) 85 36. En un triángulo ABC, la m∠BAC = 52 y m∠ABC = 64. Se ubica un punto D exterior al triángulo tal que el segmento CD intercepta al lado AB . Si m∠DAB = 4 y AD  BC , entonces la m∠BDA es: A) 10 B) 115 C) 120 D) 135 E) 150 37. En un triángulo ABC isósceles, m∠ABC = 100°. Se trazan las cevianas BP y AQ (P ∈ AC y Q ∈ BC ) tal que m∠PBC = m∠BAQ = 30°. Entonces, la m∠BPQ es: A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° CEPRE 2005- I 38. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AD tal que AB  CD . Si m∠BCA = 2m∠DAC m∠ABC = 10m∠DAC, entonces m∠BCA es: A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 39. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AF y la bisectriz del ángulo ACB intercepta a AF en el punto I. Si m∠BCA – m∠BAC = 32, entonces ¿Cuál es la medida del ángulo agudo determinado por la bisectricz exterior del triángulo trazado desde el vértice B, y la bisectriz del ángulo FIC?

B) 8 E) 24

C) 12

40. En un triángulo ABC, m∠BCA =  y m∠BAC = 4  . Si AB = 5u, entonces la mayor longitud entera (en u) de BC es: A) 15 B) 16 C) 19 D) 20 E) 22

42. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, tal que: m∢BCA = 2(m∢BAC) y AC > AB. Calcular el mínimo valor entero de la m∢ABC. A) 60 B) 72 C) 73 D) 45 E) 44 43. En un triángulo ABC se traza la ceviana BM tal que: AB = MC si m∠A =  y m∠ABM 3 = 90  . Calcule la m∠C. 2 3  A) B)  C) 2 2 D) 2 E) 3 44. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BQ de manera que OC = AB y mQBC mQBA   mBCA . Calcule 4 3 m∠BAC. A) 17 B) 15 C) 19 D) 20 E) 10 CEPRE 2006- II 45. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD (D ∈ AC ) tal que AD  BC . Si m∠BAC = 2  , m∠ABD = 5  y m∠DBC = 3  , entonces m∠DBC es A) 30 B) 36 C) 45 D) 48 E) 60 46. En un triángulo ABC recto en B, se traza la ceviana BD (D ⊂ AC ) tal que: AD  BC y 2m∠ABD = 3m∠BCA. Entonces ¿Cuál es la medida del ángulo BAC?

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A) 30 D) 55

B) 40 E) 75

C) 45

47. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BQ (Q ∈ AC ) tal que QC  AB . Si m∠BAC = 20 y m∠BQC = 30, entonces ¿Cuál es la medida del ángulo BCA? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

48. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD (D ∈ AC ) tal que m∠BDC = 2m∠BCD. Si m∠ABD = 55 y AD = BD + BC, entonces ¿Cuál es la medida del ángulo DBC? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 70 49. En un triángulo ABC, se ubica el punto P interior al triángulo tal que AC  BP . Si m∠BAP = m∠PAC, m∠ABP = 4  , m∠PBC = 5  y m∠ACB = 13  , entonces ¿Cuál es la medida del ángulo ABP? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 19 50. En un triángulo escaleno ABC, se ubica el punto P en el interior del triángulo tal que PB  AC . Si m∠PBC = m∠PAC = m∠PCA =  , entonces m∠BCP es A)  / 2 B)  C) 2 D) 2 / 3 E) 3

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