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Fernando Enciso Vargas

RESISTENCIA DE MATERIALES M. Sc. Ing. CIP. FERNANDO ENCISO VARGAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA Y METALÚRGICA DOCENTE FIGMM

Lima, Abril 2018

1

Fernando Enciso Vargas

2

TEMARIO 1. 2. 3. 4. 5.

Transformación de esfuerzo plano Esfuerzos Principales. Esfuerzo cortante máximo Circulo de Mohr para esfuerzo plano Estado general de esfuerzos Aplicación del circulo de Mohr al análisis tridimensional de esfuerzos 6. Criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo esfuerzo plano 7. Criterios de fractura para materiales frágiles bajo esfuerzo plano 8. Esfuerzos en recipientes a presión de pared delgada 9. Transformación de deformación plana 10. Circulo de Mohr para deformación plana 11. Análisis tridimensional de la deformación 12. Mediciones de la deformación. Roseta de deformación 2

SEMANA 5

TRANSFORMACIÒN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

INTRODUCCIÒN

TRASNFORMACIÒN DE ESFUERZOS

CONVENCIÒN DE SIGNOS

TRANSFORMACIÒN DE ESFUERZO PLANO

ESFUERZOS PRINCIPALES. ESFUERZO CORTANTE MÀXIMO

EJERCICIO DE APLICACIÒN

RELACIÒN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÒN PLANA

RELACIÒN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÒN PLANA

RELACIÒN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÒN PLANA

CIRCULO DE MOHR

CIRCULO DE MOHR

CIRCULO DE MOHR

CÌRCULO DE MOHR

CÌRCULO DE MOHR

CÌRCULO DE MOHR

CÌRCULO DE MOHR

CÌRCULO DE MORH

CÌRCULO DE MOHR

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RELACIÓN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA

Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la dirección perpendicular a la que ocurre el mismo.

Si por el contrario, el esfuerzo normal es de compresión, el elemento se acortará en la dirección del mismo y se estirará en la dirección perpendicular.

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RELACIÓN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA

El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el módulo de Poisson (n). En caso de que el esfuerzo se produzca en la dirección x, la deformación que sufriría el elemento en la dirección perpendicular (ey/x) se puede determinar mediante la relación:

y

x

x     x    E

El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x:

 x     y y

y

y    E

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RELACIÓN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA

Entonces, la deformación unitario normal resultante en una dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior. Podemos entonces plantear una expresión para la deformación resultante en la dirección x, dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones x e y:

x  x   x x

y

Al desarrollar esto, nos queda:

x 

1 ( x     y ) E

Análogamente, podemos establecer una expresión para ey:

1  y  ( y     x ) E

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RELACIÓN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA

Las expresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. También podemos expresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección x, tendríamos:

E x  ( x     y ) 2 (1   ) Y para el esfuerzo normal en la dirección y:

E x  ( y     x ) 2 (1   ) Note que el esfuerzo normal también depende de las deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular.

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CÍRCULO DE MOHR-ECUACIONES DE DEFORMACIÒN UNITARIA PLANA y

En el análisis de la deformaciòn unitaria plana debe establecerse las ecuaciones de transformación para determinar los componentes x’ , y’ de la deformaciòn unitaria normal y cortante en un punto cuando se conozcan las componentes x, y de la deformaciòn unitaria. CONVENCIÒN DE SIGNOS Las deformaciones unitarias normales ϵx , ϵy son positivas si causan alargamiento a lo largo de los ejes x , y respectivamente. La deformaciòn unitaria cortante 𝛶xy es positiva si el ángulo interno AOB es menor que 90o El problema consiste en determinar las deformaciones unitarias normal y cortante en un punto ϵx’, ϵy’ y 𝛶x’y’, medidas en relación con los ejes x’ , y’, si se conocen ϵx, ϵy y 𝛶xy, medidas en relación con los ejes x, y. El ángulo entre los ejes x y x’ es θ. θ será positivo, si sigue la regla de la mano derecha, es decir contrario al movimiento de las agujas del reloj.

+ 𝛶XY/2 + ϵYdy A dy

+ 𝛶XY/2 B x

o dx

y’

+ ϵXdX

y

x’ +θ x

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CÍRCULO DE MOHR-ECUACIONES DE DEFORMACIÒN UNITARIA PLANA y’

y B

x’

θ x

y

Deformaciòn unitaria normal positiva ϵx’

x’

θ x

Deformaciòn unitaria cortante positiva 𝛶x’y’

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8. CÍRCULO DE MOHR-ECUACIONES DE DEFORMACIÒN UNITARIA PLANA

’

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8. CÍRCULO DE MOHR-ECUACIONES DE DEFORMACIÒN UNITARIA PLANA-EJERCICIOS DE APLICACIÒN

1. Un elemento diferencial de material en un punto se sujeta a un estado de deformaciòn unitaria plana, ϵx = 500x10-6, ϵy = -300x10-6, 𝛶xy = 200 x 10-6. Que tiende a distorsionar al elemento como muestra la figura. Determine las deformaciones unitarias equivalentes que actúan sobre el elemento orientado en el punto, a 300 en sentido de las manecillas del reloj , respecto a la posición original. y

ϵydy

dy

x dx

ϵxdx

2. Un elemento diferencial de material en

un punto esta sometido a un estado de deformaciòn unitaria plana,’ definido por ϵx = -350 x 10-6, ϵy = 200 x 10-6, 𝛶xy = 80 x 10-6, que tiende a distorsionar al elemento como se indica en la figura. Determine las deformaciones unitarias principales en el punto y la orientación correspondiente del elemento.

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8. CÍRCULO DE MOHR

Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen:

 xy x  y  x  y      sin 2      cos 2  2  2   2  E x  ( y     x ) 2 (1   ) Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:

 x  x

  y    y     x    x   cos 2   xy  sin 2 2 2    

 xy  xy  2

8. CÍRCULO DE MOHR

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De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:



  prom 

2



   '      R2  2  2

Donde:

  x   y    xy  R      2   2  2

2

2

Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas se referirá a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente.

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9. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Recipientes de pared delgada Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación:

r  10 t Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del mismo.

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9. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (T), y el otro tiene dirección longitudinal (L). En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales (T).

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9. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

P   r 2   L  2  t  r

Donde P es la presión interna del recipiente. Finalmente puede plantearse:

r L  P 2t

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9. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

 x  x Finalmente :

r T  P  t

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9. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse:

r T  P  t

Entonces, puede plantearse:

r T  P  2t

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10. ROSETAS DE DEFORMACION

En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones:

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1er. EJERCICIO DE APLICACIÒN

Para el estado de esfuerzo plano considerado en la figura, resuelva: a) Trace el circulo de Mohr b) Determine los esfuerzos principales c) Halle el esfuerzo cortante máximo y el correspondiente esfuerzo normal .

y

10 MPa 40 MPa

o 50 MPa

x

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2do. EJERCICIO DE APLICACIÒN

Para el estado de esfuerzo plano mostrado en la figura determine : a) Los esfuerzos principales y los planos principales b) Las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30º en sentido contrario a las agujas del reloj.

y

60 MPa

o 100 MPa 48 MPa

x

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3er. EJERCICIO DE APLICACIÒN

El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento mostrado en la figura determinar los esfuerzos cortantes máximos en el plano y la orientación del elemento sobre el que actúan.

90 MPa 60 MPa

20 MPa

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4to. EJERCICIO DE APLICACIÒN

El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento mostrado en la figura. Representar este estado de esfuerzo sobre un elemento orientado a 30º en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la posición que se muestra.

12 klb/pul2

8 klb/pul2

6 klb/pul2