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TEMA: Ecuaciones e inecuaciones lineales CURSO: Complementos de matemática SEMANA: 05 HOJA DE TRABAJO CONOCIMIENTO/COMPRESIÓN 1. Escribe algebraicamente las siguientes expresiones:

2.

a. El doble de un número 𝑥

……………2𝑥…………………………

b. El doble, de un número 𝑥 más 6

……………2(𝑥 + 6)………………

c. El triple de un número 𝑥

……………3𝑥…………………………

d. El cuadrado del triple del número 𝑥

……………(3𝑥)2……………………

Identifique cuáles de las siguientes son ecuaciones o inecuaciones lineales: a.

+2 = 5

X

b. 15 – c. 2 d.

…Ecuación……………………

X ≥ −5

…Inecuación…………………

X ≤ 20

…inecuación.…………………

X ÷4=9

…Ecuación.……………………

APLICACIÓN / ANÁLISIS 3. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales y determina su conjunto solución: a. 3𝑥 − 5(1 − 3𝑥) = 1 − 3(1 − 2𝑥) Solución: 3𝑥 − 5 + 15𝑥 = 1 − 3 + 6𝑥 18𝑥 − 5 = −2 + 6𝑥 18𝑥 − 6𝑥 = −2 + 5 12𝑥 = 3 𝑥=

3 12

=

1 4

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1  C.S   4

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b. 6(𝑥 − 2) − 8(3𝑥 − 2) = 14𝑥 Solución: 6𝑥 − 12 − 24𝑥 + 16 = 14𝑥

6𝑥 − 24𝑥 − 14𝑥 = 12 − 16 6𝑥 − 38𝑥 = −4 −32𝑥 = −4 𝑥=

−4 −32

=

1 8

1  C.S   8 

4. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales y determina su conjunto solución: a.

2𝑥−7 3

=2−

4𝑥−2 4

Solución: 2𝑥 − 7 4𝑥 − 2 + =2 3 4 4(2𝑥 − 7) + 3(4𝑥 − 2) =2 3×4 8𝑥 − 28 + 12𝑥 − 6 =2 12 20𝑥 − 34 = 24 20𝑥 = 24 + 34 𝑥=

b.

7𝑥+3 2

−

58 20

=

9𝑥−8 4

29 10

 29  C.S    10 

=6

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Solución: 4(7𝑥+3)−2(9𝑥−8) 2×4

28𝑥+12−18𝑥+16

=6

8

10𝑥 = 48 − 28

=6

𝑥=2

10𝑥 + 28 = 48

1  C.S   4

5. Resuelva la siguiente inecuación lineal y determina su conjunto solución:

𝑥+11 3

−

4𝑥+10 6

≥

2𝑥 − 3

Solución:

𝑥+11 3

−

4𝑥+10 6

≥

2𝑥 − 3

6(𝑥 + 11) − 3(4𝑥 + 10) ≥ 2𝑥 − 3 3×6 6𝑥 + 66 − 12𝑥 − 30 ≥ 2𝑥 − 3 18 −6𝑥 + 36 ≥ 18(2𝑥 − 3) −6𝑥 + 36 ≥ 36𝑥 − 54 −6𝑥 − 36𝑥 ≥ −36 − 54 −42𝑥 ≥ −90 15 𝑥≤ 7

C.S x ;

15   7 

6. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales: a. 4𝑥 + 30 ≥ 9𝑥 Solución: 4𝑥 − 9𝑥 > −30 −5𝑥 > −30 −30 𝑥< −5 𝑥 5(−6)

−4𝑥 > −30 − 6 −4𝑥 > −36 −36 −4 𝑥

8. Resuelva la siguiente inecuación lineal: 3𝑥 − 2 < 7𝑥 − 10 ≤ 2𝑥 – 5

3𝑥 − 2 < 7𝑥 − 10 3𝑥 − 7𝑥 < −10 + 2 −4𝑥 < −8 −8 𝑥 > −4 𝑥>2

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

7𝑥 − 10 ≤ 2𝑥 − 5 7𝑥 − 2𝑥 ≤ −5 + 10 5𝑥 ≤ 5 5 𝑥≤5 𝑥≤1

𝑥=𝜙 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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EVALUACIÓN / SÍNTESIS 9. Un publicista dedicado a los spots publicitarios proyecta ganar en un determinado mes $14 000. Para lograrlo debe realizar 260 spots publicitarios mensuales. Si su costo total mensual se define según la ecuación 𝐶t = 54q + 3160. Determina el precio de venta de cada spot publicitario para lograr esa utilidad. Solución: 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝐺 = 14000

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎: 𝑞 = 260

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝐼 = 𝑝. 260 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝐶𝑡 (𝑞) = 54𝑞 + 3160 𝐶(260) = 54 × 260 + 3160 = 17200 𝐺 = 𝐼 − 𝐶𝑡 14000 = 𝑝260 − 17200 14000 + 17200 = 260𝑝 120 = 𝑝 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑝𝑜𝑡𝑠 𝑝𝑢𝑏𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 120 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 .

10. Para que una empresa logre su punto de equilibrio, debe vender cada producto a $380, su costo fijo debe ser de $1200 y el costo de producción por unidad debe ser de $350 ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para lograr su punto de equilibrio? Solución: 𝑞: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑝 = 380 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠;

𝐶𝑓 = 1200 dólares;

𝐶𝑣 = 350 × 𝑞;

𝐸𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝐶𝑡 = 𝐼 350 × 𝑞 + 1200 = 380 × 𝑞 1200 = 30 × 𝑞 40 = 𝑞 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 40 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜.

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11. Un contador analiza los costos de un consultorio nutricional, encontrando que los costos fijos ascienden a S/ 9 000, además la inversión que realizan por atender a cada persona es de S/40. Si el precio de cada consulta es de S/ 70, determina: a. La ecuación ingreso total b. La ecuación costo total c. La ecuación de utilidad d. El número de consultas que debe atender para lograr el punto de equilibrio. Solución: 𝐶𝒇 = 9000;

𝐶𝑣 = 40 × 𝑞;

𝑝 = 70

𝑎. 𝐼 = 70𝑞;

𝑏. 𝐶𝑡= 9000 + 40𝑞; 𝑐. 𝑈(𝑞) = 𝐼 − 𝐶𝑡 𝑈(𝑞) = 70𝑞 − (9000 + 40𝑞) 𝑈(𝑞) = 70𝑞 − 9000 − 40𝑞 𝑈(𝑞) = 30𝑞 − 9000

𝑑. 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑈(𝑞) = 0 𝑈(𝑞) = 30𝑞 − 9000 = 0 30𝑞 − 9000 = 0 30𝑞 = 9000 𝑞 = 300

𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑒 300

12. Una fábrica paga a sus representantes de venta S/.10 por artículo vendido más un sueldo fijo de S/. 700; mientras que la fábrica de la competencia paga S/. 15 por artículo vendido y S/. 500 de sueldo fijo a cada representante de ventas. ¿Cuántos artículos debe vender el agente de la competencia para ganar más dinero que el primero, vendiendo la misma cantidad de artículos?

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Solución: 𝑞: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 1 𝑝𝑎𝑔𝑎 = 10𝑞 + 700 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 2 𝑝𝑎𝑔𝑎 = 15𝑞 + 500 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 2 𝑝𝑎𝑔𝑎 > 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 1 𝑝𝑎𝑔𝑎 15𝑞 + 500 > 10𝑞 + 700 15𝑞 − 10𝑞 > 700 − 500 5𝑞 > 200 𝑞 > 40

𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 40 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑟 𝑚á𝑠 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓á𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 1

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