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Matemáticas II

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 2000 – 2007

José Antonio Ríos ies Salvador de Madariaga

Índice general Pruebas de Selectividad Junio 2007 . . . . . . Septiembre 2007 . . . Junio 2006 . . . . . . Septiembre 2006 . . . Junio 2005 . . . . . . Septiembre 2005 . . . Junio 2004 . . . . . . Septiembre 2004 . . . Junio 2003 . . . . . . Septiembre 2003 . . . Junio 2002 . . . . . . Septiembre 2002 . . . Junio 2001 . . . . . . Septiembre 2001 . . . Junio 2000 . . . . . . Septiembre 2000 . . .

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1 1 2 3 5 6 7 8 9 11 11 12 13 14 15 16 17

Problemas Resueltos 19 Álgebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Análisis Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Pruebas de Selectividad Junio 2007 Álgebra lineal 1.

a) (Problema 3.) Sean F1 , F2 , F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada M de orden 3 , con det(M) = −2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1 − F2 , 2F1 , F2 + F3 . ! 1 1 b) (Problema 7.) Dada la matriz C = , halla dos matrices X e Y que 2 1 verifican  X + Y −1 = C X − Y −1 = C t

siendo C t la matriz traspuesta de C. 2. (Problema 30.) a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   mx + y + z = 0    x − my − z = 1    2x + y + z = 0 b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 2.

Geometría 1.

a) Los puntos A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) y C(−1, 0, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. Calcula las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo.

b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto B(0, 1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(1, 1, 0) y C(−1, 0, 1). 2. Dadas las rectas   x=1    x y +1 z+2 = = ; s: r: y =2+λ  1 2 2   z = 2 + 2λ a) Estudia su posición relativa. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las dos rectas. 1

2

Septiembre 2007

Análisis 1.

a) Dada la función f (x) =

 ax 2 + 1

si x < 2

e2−x + 2

si x ≥ 2

calcula a para que f (x) sea continua en x = 2. Para el valor obtenido de a, ¿es derivable en x = 2? b) Dada g(x) = ax 4 + bx + c, calcula los valores de a, b, c para que g(x) tenga en el punto (1, −1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de g(x), en x = 0, sea paralela a la recta y = 4x.

2.

c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la funRx 2 ción F (x) = 0 e−t dt, ¿tiene F (x) puntos de inflexión? Justifica la respuesta. a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle. b) Dada f (x) = x 3 −9x, calcula para f (x): puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. c) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OX y la curva y = x 3 − 9x.

Septiembre 2007 Álgebra lineal 1. Dada la matriz



m   A=0 0

0 0 −1

 0  m   m+1

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A

2.

b) Para m = −1, calcula la matriz X que verifica X · A + A = 2I, siendo I la matriz unidad de orden 3. a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales   x + my + mz = 1    x + my + mz = m     my + mz = 4m b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 1.

Geometría 1.

a) Calcula m para que los puntos A(2, 1, −2), B(1, 1, 1), C(0, 1, m) estén alineados. b) Calcula el punto simétrico del punto P (−2, 0, 0) respecto de la recta que pasa por los puntos (2, 1, −2) y B(1, 1, 1).

Pruebas de Selectividad

3

2. Dadas las rectas r:

x y −1 z−2 = = ; 1 −1 −3

  x =1+λ    y = 3 + 2λ    z = 1 + λ

a) Estudia su posición relativa. b) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

Análisis 1.

ex sen x − x . x→0 2x 2 + x 4 b) Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima que se puede construir de modo que su base esté sobre el eje OX y los vértices del lado opuesto estén sobre la parábola y = −x 2 + 12. a) Calcula l´ım

c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la Rx   ecuación de la recta tangente a la gráfica de F (x) = 0 2 + cos(t 2 ) dt, en el punto x = 0. 2.

a) Enunciado del teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que la gráfica de f (x) = x 5 + 2x 4 − 4 corta el eje OX en algún punto del intervalo (1, 2)? b) Dada la función

 √ 0 si x à − 2 g(x) = −x 2 + 2 si x > −√2

√ √ ¿Es g(x) continua en x = − 2? ¿Es derivable en x = − 2? c) Calcula el área de la región del plano limitada por las gráficas de g(x) y h(x) = |x|.

Junio 2006 Álgebra lineal 1. (Problema 8.) Dada la matriz 

m   A= 1 0

0 0 −1

 1  m  0

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa. b) Para m = 0, calcula A3 y A25 . c) Para m = 0,calcula la matriz X que verifica X · A = B,  siendo B = 0 −1 −1 . 2. (Problema 29.)

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Junio 2006

a) Descute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetros m, el sistema   2x − y + z = 0    x − 2y + z = m    mx − y + z = 0 b) Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.

Geometría 1. (Problema 39.) a) Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores libres de R3 . b) Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores ~ = (1, −2, 2) y v ~ = (1, 0, 1). u c) Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el ~ = (1, −2, 2) y v ~ = (1, 0, 1). punto (1, 1, 1) y los vectores u 2. (Problema 54.) Dado el plano π : 2x + λy + 3 = 0 y la recta  x + 2y − 2z + 6 = 0 r: 7x − y − 2z = 0 a) Calcula el valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese valor de λ, calcula la distancia entre r y π . b) ¿Para algún valor de λ, la recta r está contenida en el plano π ? Justifica la respuesta. c) ¿Para algún valor de λ, la recta y el plano π son perpendiculares? Justifica la respuesta.

Análisis 1. (Problema 64.) a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = (x + 1)ex en el punto de corte de f (x) con el eje OX. b) Calcula, para f (x) = (x + 1)ex : intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad. c) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial. 2. (Problema 71.) a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial. b) De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima. c) Calcula el valor de m para que el área del recinto limitado por la recta y = mx y la curva y = x 3 , sea 2 unidades cuadradas.

Pruebas de Selectividad

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Septiembre 2006 Álgebra lineal 1. (Problema 6.) a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A · B · C es una matriz 3 × 2 y el producto A · C t es una matriz cuadrada, siendo C t la traspuesta de C. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C. ! −1 0 b) Dada M = , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es 1 −1 decir, verifican X · M = M · X. c) Calcula la matriz Y que verifica M · Y + M −1 · Y = I, siendo M la matriz dada en el apartado anterior, M −1 la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2. 2. (Problema 20.) a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango de la matriz de los coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es compatible? Razona la respuesta. b) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:   y + mz = 0    x +z =0    mx − y =m c) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0.

Geometría 1. (Problema 45.) ~ = (1, 0, −1), v ~ = (1, 1, 0), calcula los vectores unitarios a) Dados los vectores u de R3 que son ortogonales a los dos vectores dados. ~ = b) Sea π el plano determinado por el punto P (2, 2, 2) y por los vectores u ~ = (1, 1, 0). Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta (1, 0, −1) y v que pasa por los puntos O(0, 0, 0) y Q(2, −2, 2). c) Calcula el punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto al plano x − y + z − 2 = 0. 2. (Problema 47.) Los lados de un triángulo están sobre las rectas

x−1 y −1 z+1 r1 : = = ; 1 −1 2

   x = 2 + t  r2 : y = 2 + t    z = −1

;

 x − y − z − 1 = 0 r3 : x −z =0

a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta. b) Calcula la ecuación del plano π que contiene el triángulo. Calcula la intersección del plano π con los ejes OX, OY y OZ.

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Junio 2005

Análisis 1.

a) (Problema 69.) Calcula los valores de a y b para que   la gráfica de f (x) = b 1 ax + tenga un mínimo relativo en el punto , 4 . Para esos valores de a x 2 y b, calcula: asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x). x 2 ex x→0 cos2 x − 1

b) (Problema 77.) Calcula l´ım

c) Definición de primitiva e integral indefinida de una función. Enunciado de la regla de Barrow. 2.

a) (Problema 59.) Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de x2 discontinuidad tiene en x = 0 la función f (x) = ? |x| b) (Problema 72.) Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectángulo de modo que la base mida el doble de la altura. Calcula las longitudes de las partes en que se ha de dividir el alambre para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. c) (Problema 87.) Calcula el área del recinto limitado por la recta y = 2 − x y la curva y = x 2 .

Junio 2005 Álgebra Lineal   1. (Problema 4.) Halla todas las matrices A = aij , cuadradas de orden 3, tales que a21 = a32 = 0 y A + At = 4I, siendo I la matriz identidad de orden tres y At la matriz traspuesta de A, de las que además se sabe que su determinante vale 10. 2. (Problema 27.) Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro m, el siguiente sistema:   −x + y − z = −1    4x − 2y + 2z = 2m    −3x − 2y + mz = −4

Geometría 1. (Problema 56.) Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones r: x =

y −1 z−4 = , 3 7

s: x −2 =

y −2 z−3 = 3 4

2. (Problema 31.) Demuestre que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) y S = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.

Pruebas de Selectividad

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Análisis 1.

a) Enunciado e interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral para funciones continuas. b) (Problema 84.) Sea f : [−2, 2] ⊂ R -→ R continua en [−2, 2] tal que Z −1

Z2 f (t) dt =

−2

f (t) dt 1

¿se puede asegurar que existen b y c en [−2, 2] tales que b à −1, c á 1 y f (b) = f (c)? Justifique su respuesta. 2.

a) Enunciado de la Regla de L’Hôpital. b) (Problema 65.) Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la función f : R -→ R definida por  ax  e − 1 2x f (x) =  b

si x ≠ 0 si x = 0

Bloque 4 1.

a) Definición de cota superior de una sucesión de números reales. Definición de sucesión acotada inferiormente. 4n − 1 es b) (Problema 57.) Demuestre que la sucesión de término general an = n+1 creciente y halle una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).

2.

a) Explique, brevemente, el método de integración de funciones racionales P (x)/Q(x), en el caso de que el denominador, Q(x) tenga sólo raíces reales. Z 2x − 1 b) (Problema 79.) Calcule dx. x(x + 1)2

Septiembre 2005 Álgebra 1. (Problema 11.) Resuelva la ecuación matricial A · X + C = B, siendo A=

4 −1

! 1 , 0

B=

1 −2

2 −1

0 1

! −1 , 0

C=

0 1

−1 0

2 −3

! 1 0

2. (Problema 28.) Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso   2x − 3y + z = 0    x − αy − 3z = 0    5x + 3y − z = 0

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Junio 2004

Geometría 1.

a) ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones generales de dos planos para que sean perpendiculares? b) (Problema 50.) Halle el ángulo que forman los planos π : 2x − y + z − 7 = 0 y σ : x + y + 2z = 11.

2.

a) Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Puede ocurrir que el producto mixto de tres vectores sea cero sin ser ninguno de los vectores el vector nulo? Razone la respuesta. ~ v, ~ w, ~ tres vectores en el espacio tales que u ~ = 2, b) (Problema 36.) Para u, v ~ =3y w ~ = 5, halle los valores mínimo y máximo del valor absoluto de su producto mixto.

Análisis 1.

a) Continuidad lateral de una función en un punto. b) (Problema 76.) Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la función f dada por  x 2 −1   si x < 0  x f (x) =    cos(x) si x ≥ 0 x2 + 1

2.

a) Teorema fundamental del cálculo integral para las funciones continuas. Enunciado e interpretación geométrica. Rx b) (Problema 78.) Sea F (x) = 0 sen(t 2 ) dt. Calcule la segunda derivada de la función F (sin intentar calcular la integral).

Bloque 4 p  1. (Problema 58.) Calcule: a) l´ım n2 − 5n + 4 − n , n→∞ Z 3 x +x+2 dx. 2. (Problema 80.) Calcule x2 + 3

 b) l´ım

n→∞

 2n − 8 . 2n+1

Junio 2004 Álgebra 1. (Problema 25.) Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho. 2. (Problema 2.) Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Pruebas de Selectividad

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Geometría 1.

a) Distancia entre dos rectas que se cruzan. b) (Problema 52.) Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones     x = α x =1+β       r : y = −1 s: y =2       z = 1 − α z = 2β

2.

a) Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad. b) (Problema 48.) Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los z−2 y −1 = . puntos A(1, 0, −1) y B(0, 1, −2) y la recta de ecuación x = 2 −1

Análisis 1. (Problema 74.) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? 4 2. (Problema 88.) Demuestre que la función f dada por f (x) = 2 es estricx +x−2 tamente positiva en [2, +∞) y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 3.

Bloque 4 1.

2.

a) Escriba los distintos casos de indeterminación que pueden presentarse al calcular límites de sucesiones de números reales y ponga un ejemplo sencillo (sin resolverlo) de, por lo menos, cuatro de los casos. √ √
√ b) (Problema 60.) Calcule l´ımn→∞ n + 7 − n 3n + 5 indicando el tipo de indeterminación (o indeterminaciones) que se presentan al intentar resolver este límite. a) Explique brevemente (en cinco líneas como máximo) como se aplica el método de Gauss para calcular el rango de una matriz. b) (Problema 5.) Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la matriz siguiente.   2 −1 0 7   1 0 1 3   3 2 7 7   1 1 1 1

Septiembre 2004 Álgebra Lineal 1.

a) Enunciado de la Regla de Cramer.

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Septiembre 2004

2.

b) Determine los coeficientes del polinomio de grado dos tal que su gráfica pasa por los puntos (0, 5), (1, 7) y (−1, 5). ¿Puede haber otro polinomio de segundo grado que pase por esos tres puntos? Razone la respuesta. a) Exprese la condición que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda hallarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, ¿qué condición deben cumplir las matrices? b) (Problema 10.) Dadas las matrices A=

1 2

! 2 , −1

B=

5 5

!

Halle una matriz X tal que AX + B = 0.

Geometría 1. Compruebe que los puntos A = (1, 0, 3), B = (−2, 5, 4), C = (0, 2, 5) y D = (−1, 4, 7) son coplanarios. De todos los triángulos que se pueden construir teniendo como vértices tres de los cuatro puntos, ¿cuál es el de mayor área? Obtenga el valor de dicha área. y −1 x−1 = = 2. Halle la ecuación general del plano π que contiene a la recta r : 2 4 z y es paralelo a la recta s que pasa por los puntos P = (2, 0, 1) y Q = (1, 1, 1). 2 Calcule la distancia de s a π .

Análisis 1.

2.

a) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. x3 b) Determine las abscisas de los puntos de la curva y = − x 2 − 3x + 1 en los 3 que la recta tangente forma un ángulo de 135◦ con el sentido positivo del eje de abscisas. a) Definición de función continua en un punto. Explique brevemente los tipos de discontinuidades que existen. b) Estudie la continuidad en toda la recta real de la función f dada por    sen(x) x f (x) =  x + 1

si x > 0 si x ≤ 0

Bloque 4 1. Dejamos caer una pelota desde una altura de 4 metros y, tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará la pelota tras cada uno de los cinco primeros rebotes? ¿Y tras el rebote vigésimo? ¿Y tras el n-ésimo rebote? Si an representa la altura alcanzada tras el n-ésimo rebote, obtenga una cota superior Z y otra inferior de esta sucesión. Calcule l´ımn→∞ an . 3x − 2 2. (Problema 81.) Calcule dx. x2 + x + 1

Pruebas de Selectividad

11

Junio 2003 Álgebra Lineal 3 7

! 2 y 0

1. (Problema 12.) Se consideran dos matrices A y B que verifican A + B = ! 2 3 A−B = . Calcule la matriz A2 − B 2 . −1 0 2. (Problema 18.) Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante siguiente. b c 2 + a a 2+b c a b 2 + c

Geometría 1.

a) Definición de módulo de un vector. Propiedades.

2.

b) (Problema 38.) Determine los valores de a y b (a > 0) para que los vectores ~1 = (a, b, b) v ~2 = (b, a, b) y v ~3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dos v a dos. a) Ángulo que forman una recta y un plano. b) (Problema 49.) Determine el ángulo que forman el plano π : x +2y −3z +4 = 0 y la recta  2x − y = 0 3y + 2z = 12

Análisis Matemático 1.

a) ¿Qué es un punto de inflexión de una función?

2.

b) (Problema 66.) Halle la condición que debe cumplir λ para que el polinomio x 4 + x 3 + λx 2 sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ. a) Enunciado e interpretación geométrica del Teorema de Bolzano. b) (Problema 62.) ¿Se puede asegurar, utilizando el Teorema de Bolzano que la función f (x) = tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π /4, 3π /4]? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de f en ese intervalo.

Septiembre 2003 Álgebra Lineal ! 2 1 1. (Problema 17.) Demuestre que la matriz A = verifica una ecuación del tipo 1 2 A2 + αA + βI = 0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de A.

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Junio 2002

2. (Problema 23.) Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro α el sistema de ecuaciones   3x − y = αx    5x + y + 2z = αy    4y + 3z = αz

Geometría 1.

2.

a) ¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente independientes? ~ 1 = (1, 2, 1), u ~ 2 = (1, 3, 2), v ~1 = (1, 1, 0) b) (Problema 32.) Dados los vectores u ~2 = (3, 8, 5), demuestre que los vectores u ~1 y u ~ 2 dependen linealmente yv ~1 y v ~2 . Determine la ecuación general del plano que pasa de los vectores v ~1 y v ~2 , y determine la posición relativa por el origen y contiene los vectores v ~1 y u ~ 2 respecto a ese plano. de los vectores u a) Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica. b) (Problema 44.) Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta  2x + y − z = 0 r : x − y + 3z = 0 Interprete geométricamente el resultado obtenido.

Análisis Matemático 1. (Problema 68.) Dada la parábola f (x) = ax 2 + bx + c, determine los valores de a, b y c sabiendo que f tiene un máximo en el punto de abscisa x = −1/2 y la recta tangente a f en el punto (1, 3) es y = −3x + 6. 2. (Problema 90.) Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f (x) = x 2 + x + 5, el eje OX y la rectas x = −1/2 e y = x + 6.

Junio 2002 Álgebra Lineal 1.

a) Definición de producto de matrices.

2.

b) (Problema 1.) Dadas tres matrices A, B y C se sabe que A · B · C es una matriz de orden 2 × 3 y que B · C es una matriz de orden 4 × 3, ¿cuál es el orden de A? Justifíquelo. a) Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius. b) (Problema 19.) ¿Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones?   3x + 2z = 2    5x + 2y =1     x − 2y + 4z = 3

Pruebas de Selectividad

13

Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución este sistema.

Geometría 1. (Problema 55.) Halle la distancia del plano π : 4x − 10y + 2z = 1 al plano   x = 2λ + 3µ    σ : y =λ+µ    z = λ − µ ~ = (a, b, c) (con a > 0, 2. (Problema 34.) Determine el vector (o vectores) unitarios v ~ = (1, 1, 1) y un b > 0, c > 0), que forman un ángulo de π6 radianes con el vector u π ~ = (2, 0, 2). ángulo de 4 radianes con w

Análisis Matemático 1. (Problema 85.) Dibuje la gráfica de f (x) = |x 2 − 4| en el intervalo [−3, 3] y calcule su integral en ese intervalo. x 2 − 2x + 2 2. (Problema 67.) Dada F (x) = , escriba la ecuación de la secante a F x−4 que une los puntos (−2, F (−2)) y (2, F (2)). ¿Existe un punto c en el intervalo [−2, 2] verificando que la tangente a la gráfica de F en (c, F (c)) es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqué no existe.

Septiembre 2002 Álgebra Lineal 1. (Problema 22.) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.   x+y +z =α−1    αx + 2y + z = α     x + y + αz = 1 2. (Problema 13.) Halle, si existe, una matriz X que verifique la ecuación B 2 X − BX = B, siendo ! 2 −1 B= 0 3

Geometría 1.

a) Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un plano determinado por un punto y dos vectores directores.

14

Junio 2001

2.

b) (Problema 46.) Dados los puntos P (3, 4, 1) y Q(7, 2, 7), determine la ecuación general del plano que es perpendicular al segmento P Q y que pasa por el punto medio de ese segmento. a) Definición e interpretación geométrica de producto vectorial de dos vectores. ~ = (−2, 0, 4) y v ~ = (−1, 0, α), ¿para qué b) (Problema 35.) Dados los vectores u

~+v ~ × u ~−v ~ vale 4? valores de α el módulo del vector u

Análisis Matemático 1. (Problema 73.) Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tal que el área triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima. 2. (Problema 91.) Calcule el número positivo α tal que el valor del área de la región limitada por la recta y = α y la parábola y = (x − 2)2 sea 36.

Junio 2001 Álgebra Lineal 1.

a) Propiedades del producto de matrices. b) (Problema 14.) Sean



0   M = 0 0

2.

1 0 0

 1  1  0

y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3, calcule N 2 y M 2 . ¿Son N o M inversibles? Razone la respuesta. a) Propiedades de los determinantes. b) (Problema 16.) Sean F1 , F2 , F3 , F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4 × 4, tal que su determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de P , el valor del determinante αP , donde α denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que sus filas son 2F1 − F4 , F3 , 7F2 y F4 .

Geometría 1.

2.

a) ¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen ningún punto en común? b) (Problema 42.) Determine la posición relativa de los planos π : x − 2y + 3z = 4, σ : 2x + y + z + 1 = 0 y ϕ : −2x + 4y − 6z = 0. a) Ángulo que forman dos rectas. b) (Problema 43.) Determine el ángulo que forman la recta r , que pasa por el ~ = (−2, 0, 1) y la recta s de punto (1, −1, 0) y tal que su vector dirección es v ecuación y +6 z x−7 = = 4 4 2

Pruebas de Selectividad

15

Análisis Matemático 1. (Problema 70.) Sabiendo que P (x) es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión en (1, 0) y con P 000 (1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio R0 en ese punto es horizontal, calcule −1 P (x) dx. 2. (Problema 89.) Dadas  3x si x ≤ 0 x − |x| f (x) = , g(x) = x 2 si x > 0 2 calcule

R0

−1 x

2

(g ◦ f )(x) dx. (g ◦ f denota la composición.)

Septiembre 2001 Álgebra Lineal 1. (Problema 24.) Calcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor y explique la interpretación geométrica del sistema y de su solución.   x + 2y − z = 0    2x + y − αz = 0     x−y −z =0 2. (Problema 15.) Calcule los valores del parámetro α para los que la matriz M no tiene inversa. Calcule la matriz inversa para α = 2, si es posible.   1 0 −1   3 M = 0 α  4 1 −α

Geometría 1.

2.

~yv ~ dos vectores. Compruebe que si u ~+v ~ a) (Problema 37.) Sean u ~ = |v|. ~ 0 entonces |u|





~−v ~ = u

~ = b) Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u ~ = (−2, 1, 0). (−3, 4, 1) y v a) Definición de la distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posibles. b) (Problema 53.) Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por ecuaciones r : x = 3y = 5z y la recta s pasa por los puntos A(1, 1, 1) y B(1, 2, −3).

Análisis Matemático 1.

a) ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan igual función derivada? Si la respuesta es afirmativa, ponga un ejemplo. Si, por el contrario, la respuesta es negativa, razónela.

16

Junio 2000

2.

b) (Problema 63.) Calcula la derivada de la función f (x) = |x −2| en x = 2, si es posible. Represente la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta. a) Enunciado del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. b) (Problema 83.) Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo Rb Rb [a, b], que verifican que a f = a g. Demuestre que existen α, β ∈ [a, b] tales que f (α) = f (β).

Junio 2000 Álgebra Lineal 1. (Problema 9.) Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n × n, son semejantes si existe una matriz inversible P , tal que B = P −1 AP , donde P −1 denota la matriz inversa de P . Determine si son semejantes las matrices ! ! 1 2 1 0 A= y B= 0 1 0 −1 2. (Problema 21.) Discuta, según los valores de α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales e interprételo geométricamente.   x−y +z =0    αy + 2z = 4     2y + αz = 4

Geometría 1. (Problema 41.) Calcule el volumen del tetraedro de vértices el punto P (1, 1, 1) y los puntos de corte del plano π : 2x +3y +z −12 = 0 con los ejes de coordenadas. Calcule también el punto de corte del plano π y la recta perpendicular a π que pasa por el punto P . 2. (Problema 40.) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A = (1, 0, 0), B(2, −1, 2) y C(5, −1, 1). Calcule la distancia del punto P (2, 7, 3) al plano.

Análisis Matemático 1.

a) Definición de una función continua en un punto. Definición de derivada de una función en un punto. b) (Problema 61.) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función  2   x − 9 si x 6= 3 f (x) = x − 3  6 si x = 3

2.

en el punto x = 3. a) Enunciado de la Regla de Barrow. Rx b) (Problema 82.) Sea f (x) = 1 1t dt, y sean a, b ∈ R+ . Demuestre que f (a.b) = f (a) + f (b).

Pruebas de Selectividad

17

Septiembre 2000 Álgebra Lineal 1.

a) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo, z = a + bi, y el opuesto del conjugado del mismo número? Razona la respuesta. b) Calcular los números reales x e y de modo que 3 − xi = y + 2i 1 + 2i

2.

a) Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y determinado? En caso afirmativo ponga un ejemplo. b) Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema (Problema 26.)   x + y + αz = 1  2x + αy + z = 2

Geometría 1. (Problema 33.) Calcule α para que los puntos A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 2), C(5, −2, 2) y D = (2, 1, α) sean coplanarios. Calcule el área del polígono ABCD. 2. (Problema 51.) Dado el plano π1 : 3x + αy + z = 6. Calcule α para que la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y es perpendicular al plano π1 sea paralela al plano π2 : x − y = 3. Calcule la distancia de la recta r al origen.

Análisis Matemático 1.

2.

a) ¿Puede una función polinómica de grado dos tener un punto de inflexión? Razone la respuesta. b) (Problema 75.) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la ln x . función f (x) = x Rb a) Si f es un función continua en [a, b], ¿puede ser a f (t) = 0? Razone la respuesta con un ejemplo. Z √3 p b) (Problema 86.) Calcule x 1 + x 2 dx. 0

Problemas Resueltos Álgebra Lineal

1.

Dadas tres matrices A, B y C se sabe que A · B · C es una matriz de orden 2 × 3 y que B · C es una matriz de orden 4 × 3, ¿cuál es el orden de A? Justifíquelo.

Solución Para que las matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de la matriz A tiene que coincidir con el número de filas de la matriz B, y el número de columnas de B tiene que coincidir con el número de filas de C. Sea, entonces, A de orden m × n, B de orden n × p y C de orden p × q. El producto de matrices tiene el mismo número de filas que la primera y el mismo número de columnas que la última. Por tanto, el producto A · B · C será de orden m × q y como sabemos que es una matriz 2 × 4 deducimos que m = 2. Análogamente, el producto B · C será de orden n × q y como sabemos que es una matriz 4 × 3, deducimos que A es una matriz de orden 2 × 4.

2.

Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Solución Sea A una matriz cuadrada de orden 3 

a  11  A = a21 a31

a12 a22 a32

 a13  a23   a33

Queremos escribir esta matriz como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Una matriz es simétrica si lo es con respecto a la diagonal principal. Una matriz es antisimétrica si los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal principal son opuestos. Es decir estamos buscando una igualdad del tipo 

a  11 a21  a31

a12 a22 a32

  a13 x   11   a23  = x12 a33 x13

x12 x22 x23 19

  x13 y   11   x23  + −y12 x33 −y13

y12 y22 −y23

 y13  y23   y33

20

Álgebra Lineal

Tenemos que hallar los valores de xij y de yij . Igualando coeficientes tenemos que resolver un conjunto de sistemas de ecuaciones del tipo  a12 = x12 + y12 a = x − y 21

12

12

(Análogamente para x13 , y13 y para x23 , y23 .) El sistema se resuelve fácilmente, por ejemplo sumando y restando las ecuaciones. Llegamos a x12 = (a12 + a21 )/2, y12 = (a12 − a21 )/2 Para cada elemento de la diagonal principal se tiene una ecuación con dos incógnitas a11 = x11 + y11 . Podemos tomar x11 = a11 , y11 = 0. Nota. Es evidente que el hecho de que la matriz sea de orden 3 no tiene ninguna influencia, el resultado es válido para cualquier matriz cuadrada. Además, si nos fijamos en el resultado obtenido podríamos seguir un camino más general: dada una matriz A, cuadrada de orden n, entonces:
a) La matriz X = 12 A + At es simétrica. (¿Por qué?)
b) La matriz Y = 12 A − At es antisimétrica. (¿Por qué?)
c) Se verifica A = X + Y = 12 A + At + A − At

3.

Sean F1 , F2 , F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada M de orden 3 , con det(M) = −2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1 − F2 , 2F1 , F2 + F3 .

Solución Aplicando las propiedades de los determinantes tenemos det(F1 − F2 , 2F1 , F2 + F3 = det(F1 − F2 , 2F1 , F2 ) + det(F1 − F2 , 2F1 , F3 ) = 0 + det(F1 − F2 , 2F1 , F3 ) = det(F1 , 2F1 , F3 ) − det(F2 , 2F1 , F3 ) = −2 det(F2 , F1 , F3 ) = −4   Halle todas las matrices A = aij , cuadradas de orden 3, tales que a21 = a32 = 0 y A + At = 4I, siendo I la matriz identidad de orden tres y At la matriz traspuesta de A, de las que además se sabe que su determinante vale 10.

4.

Solución En primer lugar escribimos una matriz A, cuadrada de orden 3, y su traspuesta     a11 a12 a13 a11 a21 a31       A= At =  a21 a22 a23  , a12 a22 a32  a31 a32 a33 a13 a23 a33 Teniendo en cuenta que a21 = a32 = 0   a11 a12 a13   a22 a23  A=  0 , a31 0 a33



a  11 t  A = a12 a13

0 a22 a23

 a31  0   a33

Problemas Resueltos

21

De la igualdad A + At = 4I se deduce 

a12 2a22 a23

2a11  t  A + A =  a12 a31 + a13

  a13 + a31 4     a23  = 0 2a33 0

0 4 0

 0  0  4

Igualando términos tenemos a11 = 2, a12 = 0, a31 + a13 = 0 (es decir a13 = −a31 ), a22 = 2, a23 = 0, a33 = 2. Es decir 

2  0 A=  −a13

0 2 0

 a13  0   2

Como det(A) = 10 se deduce 8 + 2a213 = 10, es decir a213 = 1. Por tanto a13 = ±1. Por tanto, hay dos soluciones 

2  A=  0 −1

5.

0 2 2



 1  0  0

2  A= 0 1

0 2 2

 −1  0  0

Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la matriz siguiente  2  1  3  1

−1 0 2 1

0 1 7 1

 7  3  7  1

Solución  2  1  3  1

−1 0 2 1

0 1 7 1

  7 1    3 1. 1  -→  3 7  1 2  1   0 3. -→  0  0

1 0 2 −1 1 −1 0 0

   1 1 1 1 1    3 0 2 2.  0 −1  -→  0 −1 7 4 4    7 0 −3 −2 5    1 1 1 1 1 1    0 2 0 2 4.   -→ 0 −1  0 4 2 0 −2 −1    −14 −7 0 0 0 0

1 1 7 0

1. Cambiamos el orden de las filas: (F1 , F2 , F3 , F4 ) → (F4 , F1 , F3 , F2 ) 2. F2 − F1 → F2 ; F3 − 3F1 → F3 ; F4 − 2F1 → F4 3. F4 − 3F3 → F4 4. 7F3 + 2F4 → F4 Se deduce que el rango de la matriz es 3.

22

Álgebra Lineal

6.

a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A · B · C es una matriz 3 × 2 y el producto A · C t es una matriz cuadrada, siendo C t la traspuesta de C. Calcula, razonando la respuesta, ! las dimensiones de A, B y C. −1 0 , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es decir, b) Dada M = 1 −1 verifican X · M = M · X. c) Calcula la matriz Y que verifica M · Y + M −1 · Y = I, siendo M la matriz dada en el apartado anterior, M −1 la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.

Solución a) Recordemos dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda y el producto tiene el mismo número de filas que la primera y el mismo número de columnas que la segunda. Sea A de orden m × n, B de orden n × p y C de orden p × q entonces sabemos que C t es de orden q × p y A · B · C es de orden m × q y como sabemos que es de orden 3 × 2 deducimos m = 3 y q = 2. Por otra parte para poder hallar el producto A · C t debemos tener n = q = 2 y el producto es de orden m × p. Finalmente por ser cuadrada p = m = 3. b) Para poder calcular los dos productos X·M y M ·X la matriz X tiene que ser cuadrada de orden 2. ! a b M= c d Entonces a c

! b −1 d 1

! 0 = −1

−1 1

! 0 a −1 c

! b d

Desarrollando e igualando llegamos al sistema    −a + b = −a    −b = −b   −c + d = a − c     −d = b − d Se deduce a = d y b = 0 y las matrices que conmutan son ! a 0 c a donde a y c son dos números reales cualesquiera. c) Despejamos Y    −1 M · Y + M −1 · Y = M + M −1 Y = I =⇒ Y = M + M −1 Calculamos la inversa de M (teniendo en cuenta que det(M) = 1) ! ! ! −1 0 −1 1 −1 0 -→ -→ = M −1 1 −1 0 −1 −1 −1

Problemas Resueltos

23

M +M

−1

=

−2 0

! 0 = −2I −2

−1  = Y = M + M −1

7.

1 2

Dada la matriz C =

−1/2 0

! 0 −1/2

! 1 , halla dos matrices X e Y que verifican 1  X + Y −1 = C X − Y −1 = C t

siendo C t la matriz traspuesta de C.

Solución Sumando las dos ecuaciones tenemos 2X = C +C t de donde X = 21 (C +C t ). Restando tenemos 2Y −1 = C − C t de donde Y −1 = 12 (C + C t ). t

C +C =

8.

1 2

! 1 1 + 1 1

! 2 = 1

2 3

! 3 , 2

0 0 −1

 1  m  0

X=

1 3/2

! 3/2 1

Dada la matriz  m   A= 1 0

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa. b) Para m = 0, calcula A3 y A25 .  c) Para m = 0, calcula la matriz X que verifica X · A = B, siendo B = 0

−1

 −1 .

Solución a) Desarrollando por la tercera fila tenemos m det(A) = 1

1 = m2 − 1 m

Entonces det(A) = 0 ⇒ m2 − 1 = 0 ⇒ m = ±1 Como la condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que el determinante sea distinto de cero, se deduce que la matriz A tiene inversa ∀m ∈ R, m 6= ±1. b) En el caso m = 0  0   A = 1 0

0 0 −1

 1  0  0

24

Álgebra Lineal

Y tenemos  0  2  A = 1 0

0 0 −1

 1 0    0  1 0 0

0 0 −1

  1 0     0 =  0 0 −1

−1 0 0

 0  1  0

−1 0 0

 0 0    1 1 0 0

0 0 −1

  1 −1     0 =  0 0 0

0 −1 0

 0  0  = −I −1



0  3 2  A = A · A 0 −1

Donde I representa la matriz unidad de orden 3. A partir de se deduce que A6 = A3 · A3 = (−I)(−I) = I.
4 Finalmente A25 = A24 · A = A6 · A = I · A = A. c) Para m = 0 det(A) = −1. Hallamos la inversa    0 −1 0 1 0    t t    0 A -→ A = 0 0 −1 -→ Adj(A ) =  0 −1 0 1 0 0 

A−1

0   = 0 1

1 0 0

la igualdad anterior

 0  1  0

 0  −1  0

Resolvemos la ecuación matricial: X = B · A−1   0 1 0    X = (0 − 1 − 1) ·  0 0 −1 = (−1 1 0 0

0

1)

9.

Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n × n, son semejantes si existe una matriz inversible P , tal que B = P −1 AP , donde P −1 denota la matriz inversa de P . Determine si son semejantes las matrices ! 2 1

1 0

A=

y

B=

1 0

0 −1

!

Solución Como P es inversible, a partir de B = P −1 AP tenemos P B = AP . Se trata, entonces, de hallar una matriz ! x y P= z t que verifica x z

y t

!

! 0 = −1

1 0

1 0

! 2 x 1 z

y t

De donde x z

−y −t

! =

x + 2z z

y + 2t t

!

!

Problemas Resueltos

25

Igualando los términos correspondientes tenemos el sistema   x = x + 2z      −y = y + 2t   z=z     −t = t Entonces −t = t =⇒ t = 0, sustituyendo en la segunda y = 0, además x + 2z = x =⇒ z = 0. Ahora bien, la matriz ! x 0 0 0 tiene determinante 0. Por tanto no es inversible y las matrices no son semejantes. Nota. Hay otra forma de llegar al resultado. Como det(A·B) = det(A)·det(B). Entonces si existe la matriz P inversible (es decir det(P ) 6= 0), se verifica     −1 = det(B) = det P −1 AP = det P −1 det(A) det(P ) =

1 · 1 · det(P ) = 1 det(P )

lo cual es absurdo. Por tanto no puede existir la matriz P .

10.

Dadas las matrices A=

1 2

! 2 , −1

! 5 5

B=

Halle una matriz X tal que AX + B = 0.

Solución Teniendo en cuenta las propiedades de las matrices tenemos AX = −B y, por tanto, X = A−1 (−B) Como det(A) = −5, la matriz A tiene inversa y su inversa es 1 2

! 2 -→ −1

−1 −2

X=

! −2 ; 1 1/5 2/5

X=

11.

A

−1

=

1/5 2/5

2/5 −1/5

!

! ! 2/5 −5 −1/5 −5 ! −3 −1

Resuelva la ecuación matricial A · X + C = B, siendo A=

4 −1

! 1 , 0

B=

1 −2

2 −1

0 1

! −1 , 0

C=

0 1

−1 0

2 −3

! 1 0

26

Álgebra Lineal

Solución Teniendo en cuenta las propiedades de la suma y el producto de matrices tenemos A · X + B = C -→ A · X = B − C -→ X = A−1 (B − C) Calculamos B − C B−C =

1 −3

3 −1

! −2 0

−2 4

Para hallar la inversa de la matriz A calculamos sucesivamente la traspuesta de A (At ) y la adjunta de la traspuesta que coincide con la inversa puesto que det(A) = 1 ! ! ! 4 1 4 −1 0 −1 -→ -→ −1 0 1 0 1 4 Finalmente 0 1

X=

X=

12.

! −1 1 4 −3 3 −11

3 −1

1 −1

−2 4

−4 14

−2 0

!

! 0 −2

Se consideran dos matrices A y B que verifican A+B =

3 7

! 2 y A−B = 0

Calcule la matriz A2 − B 2 .

Solución      3 2     A+B =    7 0     2 3     A−B =    −1 0 Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos ! 5 5 2A = ; A= 6 0

5/2 3

5/2 0

Si restamos las ecuaciones tenemos ! 1 −1 2B = ; 8 0

1/2 4

! −1/2 0

Entonces 2

A = B2 =

! ! ! 5/2 5/2 5/2 55/4 25/4 = 0 3 0 15/2 15/2 ! ! ! −1/2 1/2 −1/2 −7/4 −1/4 = 0 4 0 2 −2

5/2 3

1/2 4

B=

!

2 −1

! 3 . 0

Problemas Resueltos

27

Finalmente 2

2

A −B =

! 13/2 19/2

31/2 11/2

Nota. No es posible utilizar la igualdad A2 − B 2 = (A + B)(A − B), ya que no es válida si A y B son matrices. ! ! ! ! 31/2 13/2 3 2 2 3 4 9 2 2 = A − B 6= (A + B)(A − B) = = 11/2 19/2 7 0 −1 0 14 21 Si desarrollamos el producto (A+B)(A−B) = A2 −AB +AB −B 2 , como el producto de matrices no es conmutativo, los términos intermedios no se anulan. Es decir A2 − B 2 ≠ (A + B)(A − B) si A y B son matrices.

13.

Halle, si existe, una matriz X que verifique la ecuación B 2 X − BX = B, siendo B=

2 0

! −1 3

Solución
Por la propiedad distributiva, si B 2 X − BX = B entonces B 2 − B X = B. 2 0

2

B =

! −1 2 3 0

! −1 = 3

2

2 0

B −B =

4 0

! −5 9

! −4 6


Entonces det B 2 − B = 12. Calculamos la inversa ! 4 = 2

1/2 0

1/2 0

! 1/3 2 1/6 0

! −1 3

X=

1 0

 −1 1 B2 − B = 12 Finalmente X=

14.

6 0

1/2 1/2

! 1/3 1/6

!

Sean  0   M = 0 0

1 0 0

 1  1  0

y N = M + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3, calcule N 2 y M 2 . ¿Son N o M inversibles? Razone la respuesta.

28

Álgebra Lineal

Solución Tenemos

 0  N= 0 0

Por tanto

1 0 0

  1 1   0 1 +   0 0

0 1 0

  0 1   0 0 =   1 0

1 1 0

 1  1  1



    0 1 1 0 1 1 0 0 1          M2 =  0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      1 1 1 1 1 1 1 2 3          N2 =  0 1 1 0 1 1 = 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Además det(M) = 0 y det(N) = 1. Por tanto M no es inversible y N si tiene inversa.

15.

Calcule los valores del parámetro α para los que la matriz M no tiene inversa. Calcule la matriz inversa para α = 2, si es posible.  1  M = 0 4

0 α 1

 −1  3  −α

Solución La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que el determinante de la matriz sea distinto de cero. Tenemos det(M) = −α2 +4α−3, por tanto la matriz no tiene inversa para los valores de α que verifican la ecuación −α2 + 4α − 3 = 0. Resolviendo la ecuación obtenemos α=1 y α=3 Si α = 2 entonces det(M) = 1 y la inversa es 

1  0  4

0 2 1

  −1 1    0 3 -→   −2 −1

0 2 3

  4 −7    12 1 -→   −2 −8

−1 2 −1

 2  −3  2

16. Sean F1 , F2 , F3 , F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4 × 4, tal que su determinante vale 3. Calcule razonadamente el valor del determinante de la inversa de P , el valor del determinante αP , donde α denota un número real no nulo, y el valor del determinante de la matriz tal que sus filas son 2F1 − F4 , F3 , 7F2 y F4 . Solución Teniendo en cuenta que det(A · B) = det(A) · det(B) se deduce que 1 = det(I) = det(P · P −1 ) = det(P ) · det(P −1 )

Problemas Resueltos

29

Por tanto det(P −1 ) = 1/3 . Para calcular el determinante de αP , recordemos que si multiplicamos una matriz por un escalar se multiplica por cada término, es decir αP = (αF1 , αF2 , αF3 , αF4 ). Sin embargo las propiedades de los determinantes actúan por filas o columnas, es decir det(αP ) = α det(F1 , αF2 , αF3 , αF4 ) = · · · = α4 det(F1 , F2 , F3 , F4 ) = 3α4 Sabemos que det(F1 , F2 , F3 , F4 ) = 3. Y por las propiedades de los determinantes det(2F1 − F4 , F3 , 7F2 , F4 ) = det(2F1 , F3 , 7F2 , F4 ) − det(F4 , F3 , 7F2 , F4 ) (Este último determinante es nulo por tener dos filas iguales) = 2 det(F1 , F3 , 7F2 , F4 ) = 2 · 7 det(F1 , F3 , F2 , F4 ) (Si cambiamos dos filas en un determinante, cambia el signo) = −14 det(F1 , F2 , F3 , F4 ) = −42

! 2 1 17. Demuestre que la matriz A = 1 2 verifica una ecuación del tipo A2 +αA+βI = 0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de A.

Solución 2

A =

2 1

! 1 2 2 1

! 1 = 2

5 4

! 4 5

!

0 0

Tenemos entonces 5 4

! 4 2α + 5 α

! α β + 2α 0

0 β

=

! 0 0

Igualando los elementos correspondientes tenemos el sistema de ecuaciones   5 + 2α + β = 0      4 + α = 0  4 + α = 0     5 + 2α + β = 0

es decir

 5 + 2α + β = 0 4 + α = 0

De la segunda tenemos α = −4 Sustituyendo en la primera tenemos β = 3 Para utilizar esta fórmula en el cálculo de la inversa, recordemos que la inversa de una matriz A, es una matriz A−1 tal que A · A−1 = I (y A−1 · A = I). Ahora bien de A2 + αA + βI = 0 tenemos A(A + αI) = −βI.

30

Álgebra Lineal

1 Sustituyendo: A(A − 4I) = −3I. Es decir − A(A − 4I) = I. Por tanto 3 ! !! 2 1 1 0 1 1 −1 −4 A = − (A − 4I) = − 1 2 0 1 3 3 Finalmente, tenemos −1

A

=

2/3 −1/3

−1/3 2/3

!

18.

Calcule mediante transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante 2 + a b c a 2 + b c a b 2 + c

Solución Si sumamos a la primera columna, la segunda y la tercera, tenemos b c 2 + a + b + c 2 + a + b + c 2 + b c = 2 + a + b + c b 2 + c Todos los elementos de la primera columna son múltiplos de 2 + a + b + c. Por tanto b c 1 c (2 + a + b + c) = 1 2 + b 1 b 2 + c Si restamos a la segunda y a la tercera filas la 1 (2 + a + b + c) 0 0

primera, tenemos b c 2 0 0 2

Este último determinante es triangular y, por tanto, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal b c 2 + a a 2+b c = 4(2 + a + b + c) a b 2 + c

19.

¿Es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones?   3x + 2z = 2    5x + 2y =1     x − 2y + 4z = 3

Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución este sistema.

Problemas Resueltos

31

Solución La matriz del sistema es



2   5  1

0 2 −2

2 0 4

 2  1   3

Tenemos 3 0 = 6 6= 0 5 2 3 5 1

0 2 −2

2 3 0 = 5 4 6

0 2 0

2 0 (Sumando a la tercera fila la segunda: F3 ← F3 + F2 ) 4

= 0 (La primera y la tercera fila son proporcionales) 3 5 1

0 2 −2

2 3 1 = 5 3 6

0 2 0

2 1 (Sumando a la tercera fila la segunda: F3 ← F3 + F2 ) 4

= 0 (La primera y la tercera fila son proporcionales) Es decir rg A = rg A∗ = 2. El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.

20.

a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, el rango de la matriz de los coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es compatible? Razona la respuesta. b) Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:   y + mz = 0    x +z =0    mx − y =m c) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0.

Solución a) Si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas entonces la matriz del sistema es una matriz cuadrada de orden 3 y la matriz ampliada es una matriz 3 × 4. Se deduce que si rg(A) = 3 entonces rg(A∗ ) = 3 ya que el rango no puede ser menor por contener la matriz A y no puede ser 4 ya que tiene 3 filas. Por tanto rg(A) = rg(A∗ ) = nº incógnitas y, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado (tiene solución única). b) La matriz del sistema es   0 1 m 0    1 0 1 0    m −1 0 m

32

Álgebra Lineal

Tenemos

por tanto rg(A) á 2. Además

0 1

0 1 m

1 0 −1

1 6= 0 0

0 0 = −m m

Se deduce Si m = 0 entonces rg(A) = rg(A∗ ) = 2 =⇒ sci. Si m 6= 0 entonces rg(A) = rg(A∗ ) = 3 =⇒ scd.

21.

Discuta, según los valores de α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales e interprételo geométricamente.   x−y +z =0    αy + 2z = 4     2y + αz = 4

Solución La matriz del sistema es



1   0  0 Tenemos

Se deduce que rg(A) á 2 1 0 0

1 0

−1 α 2

−1 α 2

1 2 α

 0  4   4

−1 = 2 6= 0 2

1 α 2 = 2 α

2 = α2 − 4 α

Si α2 − 4 = 0 entonces α = 2 o α = −2. Si α 6= 2 y α 6= −2 entonces rg(A) = 3, por tanto rg(A∗ ) = 3 scd, el sistema tiene solución única. Son tres planos que se cortan en un punto. Si α = 2 entonces rg(A) = 2 y es fácil ver que, también, rg(A∗ ) = 2 (la segunda y la tercera ecuaciones son iguales). Por tanto el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. La segunda y la tercera ecuación corresponden al mismo plano. Por tanto tenemos dos planos coincidentes y un plano no paralelo (se cortan en una recta). Si α = −2, la matriz del sistema es   1 −1 1 0    0 −2 2 4    0 2 −2 4

Problemas Resueltos

33

1 0 0

−1 −2 2

0 4 = −16 4

Por tanto rg(A) = 2, rg(A∗ ) = 3, el sistema es incompatible. La segunda y la tercera ecuación representan dos planos paralelos y distintos 2 4 porque −2 2 = −2 6= 4 . La primera ecuación corresponde a un plano no paralelo con los otros dos. Por tanto tenemos dos planos paralelos y uno que corta cada uno de los otros en una recta.

22.

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado   x+y +z =α−1    αx + 2y + z = α     x + y + αz = 1

Solución La matriz del sistema es



1   α  1 Tenemos 1 1 α 2 1 1

1 2 1

1 1 α

 α−1  α   1

1 1 = (Restando a la primera columna la segunda: C1 ← C1 − C2 ) α 1 1 0 1 1 = −(α − 2)(α − 1) = α − 2 2 1 = −(α − 2) 1 α 0 1 α

Si α 6= 2 y α 6= 1 entonces rg(A) = rg(A∗ ) = 3 scd. El sistema tiene solución única. Si α = 2. La matriz del sistema es   1 1 1 1   1 1  2 2 1 2  = −1 6= 0   2 1 1 1 2 1 La cuarta columna es igual a la primera así que rg(A) = rg(A∗ ) = 2 sci. El sistema tiene infinitas soluciones. Tenemos que resolver el sistema  y + z = 1 − x 2y + z = 2 − 2x

y=

1−x 2 − 2x −1

1 1

z=

1 2

1−x 2 − 2x −1

34

Álgebra Lineal

Las soluciones paramátricas son   x=λ    y =1−λ    z = 0 Si α = 1. La matriz del sistema es  1 1 1   1 2 1  1 1 1 Tenemos

1 1 1

1 2 1

 0  1  ; 1

0 1 1 = 1 1 1

1 1

0 1 0

1 =1 2 0 1 =1 1

Por tanto rg(A) = 2 y rg(A∗ ) = 3 si. El sistema no tiene solución.

23.

Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro α el sistema de ecua-

ciones   3x − y = αx    5x + y + 2z = αy    4y + 3z = αz

Solución Si transponemos términos el sistema que tenemos que discutir es el siguiente    (3 − α)x − y = 0  5x + (1 − α)y + 2z = 0     4y + (3 − α)z = 0 La matriz del sistema es 

3−α   5  0

−1 1−α 4

0 2 3−α

 0  0   0

El sistema es homogéneo y, por tanto, compatible. Tenemos que calcular el determinante −1 0 3 − α
2 5 1−α 2 = (3 − α) (1 − α) − 8(3 − α) − 5(3 − α) = 0 4 3 − α
(3 − α) (3 − α)(1 − α) − 3 = (3 − α)(α2 − 4α) = (3 − α)α(α − 4). El determinante se anula para α = 0, α = 3 y α = 4. Para cualquier otro valor de α el determinante es distinto de cero, y rg(A) = 3 = rg(A∗ ). Es decir el sistema tiene solución única: x = 0, y = 0, z = 0. Geométricamente son tres planos que se cortan en el origen de coordenadas.

Problemas Resueltos

Si α = 0, la matriz del sistema queda   3 −1 0 0    5 1 2 0    0 4 3 0

35

3 5

−1 6= 0 1

Entonces rg(A) = rg(A∗ ) = 2 sci. El sistema tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Geométricamente son tres planos que se cortan en una recta que pasa por el origen. Si α = 3. Entonces   0 −1 0 0   0 −1  5 −2 2 0  6= 0   5 −2 0 4 0 0 Se deduce rg(A) = rg(A∗ ) = 2, sci. El sistema tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro, además vemos que la primera y la tercera ecuación representan el mismo plano (y = 0). Es decir hay dos planos coincidentes y otro plano que corta al anterior en una recta que pasa por el origen. Si α = 4 entonces la matriz queda   −1 −1 0 0   −1 −1  5 −3 6= 0 2 0    5 −3 0 4 −1 0 Entonces rg(A) = rg(A∗ ) = 2, sci. Este caso es análogo al caso α = 0.

24.

Calcule α para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor y explique la interpretación geométrica del sistema y de su solución.   x + 2y − z = 0    2x + y − αz = 0     x−y −z =0

Solución El sistema es un sistema homogéneo, por tanto es siempre compatible. Cada una de las ecuaciones corresponde a un plano que pasa por el origen. La matriz del sistema es   1 2 −1 0    2 1 −α 0    1 −1 −1 0 Hallamos el determinante de la matriz de los coeficientes 2 −1 1 2 1 −α = 6 − 3α 1 −1 −1 Si α 6= 2 el determinante es distinto de cero. Es decir rg(A) = 3 = rg(A∗ ) scd y el sistema tiene solución única. Como el sistema es homogéneo es la solución trivial. (Geométricamente son tres planos que se cortan en el origen.)

36

Álgebra Lineal

Si α = 2 entonces como

1 1

2 6= 0 −1

tenemos rg(A) = 2 = rg(A∗ ) sci. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema que tenemos que resolver es  x + 2y = z x − y = z Resolviendo tenemos y = 0, x = z, es decir    x = λ  y =0    z = λ Geométricamente son tres planos que se cortan en una recta.

25.

Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho.

Solución Si llamamos x, y y z a los tres números, tenemos que resolver el sistema   1    5x − 5y − z = 0   x−y = z     5 2x − y − z = 6 es decir 2x − 6 = y + z         x − 3y + 2z = 8 3y − 2z = x − 8 Tenemos 

2   2  1

−5 −1 −3

−1 −1 2

 0  6   8

5 2

−5 ≠ 0, −1

5 2 1

−5 −1 −3

−1 −1 =5≠0 2

Es decir rg(A) = 3, por tanto rg(A∗ ) = 3 y el sistema es compatible determinado (tiene solución única). Resolviendo mediante la regla de Crámer 0 −5 −1 6 −1 −1 8 −3 2 110 x= = = 22 5 5 5 0 −1 2 6 −1 1 8 −2 90 y= = = 18 5 5 5 −5 0 2 −1 6 1 −3 8 100 z= = = 20 5 5

Problemas Resueltos

26.

37

Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema   x + y + αz = 1  2x + αy + z = 2

Solución La matriz del sistema es 1 2 Tenemos

1 2

1 α

α 1

1 2

!

1 =α−2 α

Se presentan dos casos Si α 6= 2 entonces el menor anterior es distinto de cero y rg(A) = rg(A∗ ) = 2 y como el número de incógnitas es 3 y el sistema es compatible indeterminado (sci). Resolvemos el sistema  x + y = 1 − αz 2x + αy = 2 − z

x=

1 − αz 2−z

1 α

α−2

=

(α − 2) + (α − α2 )z ; α−2

y=

1 2

1 − αz 2−z α−2

Haciendo z = λ obtenemos las soluciones paramétricas   α − α2   x =1+ λ    α−2  2α − 1  y= λ   α−2    z = λ Si α = 2, entonces la matriz del sistema es 1 2 Entonces como

1 2

1 2

2 1

1 2

!

2 = −3 6= 0 1

también en este caso rg(A) = rg(A∗ ) = 2, sci. La solución es  x + 2z = 1 − y 2x + z = 2 − 2y

=

(2α − 1)z α−2

38

Álgebra Lineal

x=

1−y 2 − 2y −3

2 1

=

−3 + 3y = 1 − y; −3

z=

1 2

1−y 2 − 2y −3

=0

Las soluciones paramétricas son   x =1−µ    y =µ    z = 0

27.

Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro m, el siguiente sistema:   −x + y − z = −1   4x − 2y + 2z = 2m    −3x − 2y + mz = −4

Solución Escribimos la matriz del sistema  −1   4  −3 Tenemos

−1 4

1 −2 −2

−1 2 m

 −1  2m   −4

1 = 2 − 4 6= 0 −2

Por tanto rg(A) á 2. Por otra parte 1 −1 1 −1 −1 −1 1 4 −2 0 0 2 = 2 = −2 −2 −3 −2 m −3 −2 m

−1 = −2(m − 2) = −2m + 4 m

(En la primera igualdad hemos sumado a la segunda fila el doble de la primera.) Si −2m + 4 = 0 =⇒ m = 2 y, por tanto Si m 6= 2 entonces rg(A) = 3 =⇒ rg(A∗ ) = 3, el sistema es compatible determinado. Geométricamente son tres planos que se cortan en un punto. Si m = 2, entonces rg(A) = 2, además 1 −1 −1 4 −2 4 = −26 6= 0 −3 −2 −4 Es decir rg(A∗ ) = 3 es sistema es incompatible. Además vemos que los planos correspondientes no son paralelos (para que fueran paralelos, los coeficientes tendrían que ser proporcionales). Por tanto los planos se cortan dos a dos en una recta.

Problemas Resueltos

39

28.

Discuta y resuelva, según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso   2x − 3y + z = 0    x − αy − 3z = 0    5x + 3y − z = 0

Solución El sistema es un sistema homogéneo por tanto es compatible independientemente del valor del parámetro α. La matriz del sistema es 

2   1  5

−3 α 3

1 −3 −1

 0  0   0

Calculamos los siguientes determinantes 2 5

−3 = 21 6= 0; 3

2 1 5

−3 −α 3

1 −3 = 7α + 63 −1

Si igualamos el determinante anterior a 0 tenemos: 7α + 63 = 0, α = −63/7 = −9. Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius tenemos Si α 6= −9 entonces rg(A) = 3, rg(A∗ ) = 3 scd. El sistema tiene solución única, como es un sistema homogéneo la solución es x = 0, y = 0, z = 0. Geométricamente son tres planos que se cortan en el origen de coordenadas. Si α = −9 entonces rg(A) = 2, sci. Teniendo en cuenta el menor de orden 2 distinto de cero calculado anteriormente, la solución es  2x − 3y = −z 5x + 3y = z Resolviendo mediante la Regla de Cramer −z −3 z 3 x= =0 21 2 −z 5 z 7z z y= = = 21 21 3 Las soluciones paramétricas son x = 0, y = λ/3, z = λ . Geométricamente son tres planos que se cortan en una recta que pasa por el origen de coordenadas.

40

Álgebra Lineal

29. Discute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetros m, el sistema   2x − y + z = 0    x − 2y + z = m    mx − y + z = 0 Resuélvelo, si es posible, para los casos m = 0 y m = 2.

Solución La matriz del sistema es



2   1  m Teniendo en cuenta 2 2 −1 1 = −3, 1 −2 m

−1 −2 −1

1 1 1

 0  m   0

los determinantes −1 1 −2 1 = −4 − 1 − m − (−2m − 2 − 1) = m − 2 = 0 =⇒ m = 2 −1 1

Por tanto Si m 6= 2 =⇒ rg(A) = 3 =⇒ scd. Geométricamente son tres planos que se cortan en un punto. Si m = 2, tenemos que calcular el rango de la matriz ampliada. Para ello calculamos el siguiente determinante 2 −1 0 1 −2 2 = 0 (tiene dos filas iguales) 2 −1 0 Se deduce que rg(A∗ ) = 2 =⇒sci. El sistema tiene infinitas soluciones, geométricamente son tres planos que se cortan en una recta. Puesto que la primera y tercera ecuación son iguales representan el mismo plano. Por tanto, tenemos dos planos que se cortan en una recta. Si m = 0 sabemos que el sistema tiene solución única (se deduce de la discusión que acabamos de hacer). El sistema es   2x − y + z = 0    x − 2y + z = 0    −y + z = 0 Es decir, es un sistema homogéneo con solución única por lo que se deduce que la solución es x = 0, y = 0, z = 0 (la solución trivial). Si m = 2 el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). A partir del menor de orden 2 calculado anteriormente, tenemos que resolver el sistema  2x − y = −z x − 2y = 2 − z

Problemas Resueltos

41

Por la regla de Crámer tenemos

x=

y=

−z 2 − z 2 1

−1 −2

−3 −z 2 − z −3

=

=

2+z −3

4−z −3

Las soluciones paramétricas son  2   x =− −λ    3   4 y =− +λ   3     z = 3λ

30.

a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   mx + y + z = 0    x − my − z = 1    2x + y + z = 0

b) Resuélvelo, si es posible, en el caso m = 2.

Solución a) La matriz del sistema es 

m   1  2

1 −m −1

1 −1 1

 0  1  = 0

A partir de los determinantes siguientes 1 −1 6= 0 2 1 m 1 2

1 −m 1

1 m − 2 −1 = 1 1 2

0 −m + 1 0

1 m −1 = (−m + 1) 2 1

1 = (−m + 1)(m − 2) 1

(A la segunda columna le restamos la tercera) Si m 6= 1 y m 6= 2 entonces rg(A) = 3 y, por tanto, rg(A∗ ) = 3 scd. Si m = 1, rg(A) = 2, la matriz del sistema es  1 1 1 0   1 −1 −1 1  2 1 0

   

42

Geometría

Como el determinante

entonces rg(A∗ ) = 3, si Si m = 2 como

1 1 2

1 −1 1

0 1 6= 0 0

2 1 2

1 −2 1

1 1 =0 0

Por tanto rg(A) = rg(A∗ ) = 2, sci.

Geometría

31.

Demuestre que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) y S = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.

Solución

------→ ---→ ----→ Tenemos P Q = (3, 3, −1), P R = (2, 3, 0), P S = (3, 0, −3). Calculamos el producto mixto 3 2 3 3 3 0 =0 −1 0 −3 Como el producto mixto es cero, los vectores son coplanarios. La ecuación del plano que determinan es 3 2 x y 3 3 =0 z − 4 −1 0 Desarrollando tenemos 3x − 2y + 3z − 12 = 0

32.

~ 1 = (1, 2, 1), u ~ 2 = (1, 3, 2), v ~1 = (1, 1, 0) y v ~2 = (3, 8, 5), Dados los vectores u ~1 y u ~ 2 dependen linealmente de los vectores v ~1 y v ~2 . Deterdemuestre que los vectores u ~1 y mine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores v ~2 , y determine la posición relativa de los vectores u ~1 y u ~ 2 respecto a ese plano. v

Solución ~ 1 depende linealmente de v ~1 y v ~2 podemos escribir u ~ 1 = αv ~1 + Para demostrar que u ~2 y hallar α y β (α = 2/5, β = 1/5). Análogamente podemos escribir u ~ 2 = λv ~1 + µ v ~2 βv y calcular λ y µ (λ = −1/5, µ = 2/5). Un método más sencillo consiste en utilizar las propiedades de los determinantes: tres vectores son linealmente dependientes si el determinante es cero. O, dicho de otra manera, si el producto mixto es nulo. Es decir, son linealmente dependientes por ser nulos los siguientes determinantes. 1 2 1 1 3 2 1 1 0 = 0 ; 1 1 0 = 0 3 8 5 3 8 5

Problemas Resueltos

43

Para hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vec~1 y v ~2 , calculamos tores v x y z 1 1 0 = 0 ; 5x − 5y + 5z = 0 3 8 5 ~1 y u ~2 Simplificando tenemos x − y + z = 0 . De la primera parte se deduce que u son vectores de dirección del plano.

33.

Calcule α para que los puntos A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 2), C(5, −2, 2) y D = (2, 1, α) sean coplanarios. Calcule el área del polígono ABCD.

Solución Los puntos son coplanarios si los vectores ----→ -----→ ------→ AB = (2, −1, 1), AC = (4, −3, 1), AD = (1, 0, α − 1) son linealmente independientes o, dicho de otra forma, si el producto mixto es 0. 1 2 −1 4 −3 1 = −2α + 4 1 0 α − 1 Por tanto −2α + 4 = 0, de donde α = 2 y D(2, 1, 2). ----→ -----→ Ahora bien tenemos BC = (2, −2, 0) = −2(−1, 1, 0) = −2BD, es decir los puntos B, C, D están alineados. El polígono ABCD es, en realidad, un triángulo como vemos en la figura siguiente A

D

B C

-----→ ------→ - El área del polígono es igual al área del triángulo ACD, S = AC × AD /2 ~ ı ~ k ~ -----→ ------→ = −3~ ~ AC × AD = ı − 3~  − 3k 4 3 −1 1 0 1 √ ------→ - 1 3 3 -----→ 1p 27 = ≈ 2,6 S = AC × AD = 2 2 2

44

Geometría

34. Determine el vector (o vectores) unitarios v~ = (a, b, c) (con a > 0, b > 0, c > 0), ~ = (1, 1, 1) y un ángulo de π4 que forman un ángulo de π6 radianes con el vector u ~ = (2, 0, 2). radianes con w Solución Tenemos que hallar a, b y c, por tanto necesitamos tres ecuaciones. ~ es unitario tenemos a2 + b2 + c 2 = 1. Las otras dos ecuaciones las Como el v obtenemos a partir de los ángulos √   π |a + b + c| 3 √ = cos =√ 2 6 a2 + b 2 + c 2 3 √ Despejando, teniendo en cuenta que a2 + b2 + c 2 = 1, tenemos |a + b + c| = 3/2. Por otra parte √   π |2a + 2c| 2 √ = cos = 2 4 1 8 Despejando tenemos 2 = 2|a + c|, es decir |a + c| = 1. Tenemos que considerar dos casos a + c = 1 y a + c = −1. Si a + c = 1, sustituyendo en |a + b + c| = 3/2, y teniendo en cuenta que b > 0, tenemos b = 1/2 . Sustituyendo en la primera ecuación tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a + c = 1 y a2 + c 2 = 3/4. Resolviendo el sistema, obtenemos dos soluciones: √ 2− 2 , a= 4

1 b= , 2

√ 2+ 2 c= 4

√ 2+ 2 a= , 4

1 b= , 2

√ 2− 2 c= 4

Si a + c = −1, sustituyendo en |a + b + c| = 3/2, tenemos b = 5/2 y, por tanto de a2 + b2 + c 2 = 1 obtenemos que a2 + c 2 < 0, que no tiene soluciones reales. Por tanto las únicas soluciones son las anteriores.

35.

~ = (−2, 0, 4) y v ~ = (−1, 0, α), ¿para qué valores de α el Dados los vectores u

~−v ~ vale 4? ~+v ~ × u módulo del vector u

Solución ~+v ~ = (−3, 0, α + 4); Tenemos u ı ~

~+v ~ × u ~−v ~ = −3 u −1

~−v ~ = (−1, 0, 4 − α). Entonces u ~ ~ k  = (0, 16 − 4α, 0) 0 α − 4 = (16 − 4α)~ 0 4 − α

Para que el vector tenga módulo 4 hay dos posibilidades  16 − 4α = 4 16 − 4α = −4 Por tanto hay dos soluciones: α = 3 y α = 5

Problemas Resueltos

45

36.

~ v, ~ w, ~ tres vectores en el espacio tales que u ~ = 2, v ~ = 3 y w ~ = 5, Para u, halle los valores mínimo y máximo del valor absoluto de su producto mixto.

Solución ~yv ~×w ~ y β al ángulo que forman Llamando α al ángulo que forman los vectores u ~ y w. ~ Entonces v v ~×w ~ = |v| ~ |w| ~ sen(β) Teniendo cuenta la definición de producto mixto tenemos
[u, ~ · |v ~ × w| ~ cos(α) = |u| ~ |v| ~ |w| ~ cos(α) sen(β) ~×v ~ = |u| ~ v, ~ w ~ ] = u ~· u Entonces el mínimo es 0 (si los tres vectores son linealmente dependientes). El máximo es 2.3.5 = 30 que se alcanza cuando | cos(α)| = | sen(β)| = 1, geométricamente los tres vectores son perpendiculares.

37.

~ = (−3, 4, 1) y v ~= Calcule los vectores unitarios perpendiculares a los vectores u (−2, 1, 0).

Solución Tenemos

~ ı ~ k ~ = −~ ~ = (−1, −2, 5) ~×v ~= ı − 2~  + 5k u −3 4 1 −2 1 0 √ √ ~ × v| ~ = 1 + 4 + 25 = 30 Por tanto los vectores son Además |u 1 √ (−1, −2, 5) 30

1 − √ (−1, −2, 5) 30

38. Determine los valores de a y b (a > 0) para que los vectores v~1 = (a, b, b) v~2 = ~3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dos a dos. (b, a, b) y v Solución Dos vectores son ortogonales si el producto escalar es igual a 0. Si hallamos el producto escalar de dos cualesquiera de los vectores anteriores obtenemos 2ab + b2 . Por otra parte un vector es unitario si el módulo es igual a 1. El módulo de cualquiera de los vectores anteriores es a2 + 2b2 . Tenemos, por tanto, que resolver el sistema  2ab + b2 = 0 a2 + 2b2 = 1 De la primera ecuación obtenemos b(2a + b) = 0. Tenemos dos posibilidades Si b = 0. Sustituyendo en la segunda a2 = 1. Como a > 0 tenemos a = 1. a = 1,

b=0

46

Geometría

Si 2a+b = 0 entonces b = −2a. Sustituyendo en la segunda ecuación a2 +8a2 = 1, es decir 9a2 = 1. Como a > 0, tenemos a = 1/3, b = −2/3. a=

1 , 3

b=−

2 3

39.

~ = (1, −2, 2) y Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores u ~ = (1, 0, 1). v Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1, 1, 1) ~ = (1, −2, 2) y v ~ = (1, 0, 1). y los vectores u

Solución ~yv ~ son u ~×v ~ y −u ~ × v. ~ Los vectores perpendiculares a u ı ~ ~ ~×v ~ = 1 −2 u 1 0

~ k ~ ı + ~ + 2k 2 = −2~ 1

√ ~ × v| ~ = 4+1+4=3 El módulo es |u Los vectores unitarios son 1 2~ 2 ı + ~ + k, − ~ 3 3 3

y

2 1 2~ ~ ı − ~ − k 3 3 3

Para hallar la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto ~ = (1, −2, 2) y v ~ = (1, 0, 1) empezamos calculando la ecuación (1, 1, 1) y los vectores u del plano x − 1 1 1

y −1 −2 0

z − 1 2 = −2(x − 1) + (y − 1) + 2(z − 1) = 0 1

Desarrollando tenemos la ecuación del plano π : − 2x + y + 2z − 1 = 0. La distancia es |1| d= √ = 1/3 4+1+4

40.

Determine las ecuaciones vectoriales, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A = (1, 0, 0), B(2, −1, 2) y C(5, −1, 1). Calcule la distancia del punto P (2, 7, 3) al plano.

Solución La ecuación vectorial queda determinada por un punto, A(1, 0, 0), y dos vectores de ----→ -----→ ~ = AB = (1, −1, 2), v ~ = AC = (4, −1, 1) dirección u π : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 2) + µ(4, −1, 1)

Problemas Resueltos

47

Las ecuaciones paramétricas se obtienen a partir de las anteriores   x = 1 + λ + 4µ    π : y = −λ − µ    z = 2λ + µ La ecuación general se obtiene eliminando los parámetros x − 1 y z 1 −1 2 = 0 =⇒ π : x + 7y + 3z − 1 = 0 4 −1 1 La distancia del punto P al plano π es d(P , π ) =

p |2 + 49 + 9 − 1| 59 √ =√ = 59 ≈ 7, 68 1 + 49 + 9 59

41.

Calcule el volumen del tetraedro de vértices el punto P (1, 1, 1) y los puntos de corte del plano π : 2x + 3y + z − 12 = 0 con los ejes de coordenadas. Calcule también el punto de corte del plano π y la recta perpendicular a π que pasa por el punto P .

Solución Hallamos los puntos de corte del plano π con los ejes: Eje X: Si y = 0 y z = 0 entonces x = 6, A(6, 0, 0) Eje Y : Si x = 0, z = 0 entonces y = 4, B(0, 4, 0) Eje Z: Si x = 0, y = 0 entonces z = 12, C(0, 0, 12) ----→ -----→ ----→ -Tenemos P A = (5, −1, −1), P B = (−1, 3, −1), P C = (−1, −1, 11). 5 −1 −1 h ----→ -- ---→ -- i -- ----→ 3 −1 P A, P B, P C = −1 = 144 −1 −1 11 Por tanto

h 1 ----→ -- ---→ -- i -- ----→ = 1 · 144 = 24 u3 V = P A, P B, P C 6 6 La recta perpendicular a π que pasa por P tiene como vector director el vector normal al plano por tanto r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 3, 1) = (1 + 2λ, 1 + 3λ, 1 + λ) El punto de corte, Q, es un punto que verifica la ecuación de la recta y la ecuación del plano 2(1 + 2λ) + 3(1 + λ) + (1 + λ) − 12 = 0 Es decir 14λ − 6 = 0 de donde λ = 3/7. Sustituyendo tenemos 13 16 10 , , Q 7 7 7 



48

Geometría

42.

Determine la posición relativa de los planos π : x−2y +3z = 4, σ : 2x+y +z+1 = 0 y ϕ : −2x + 4y − 6z = 0.

Solución Los planos π y ϕ son paralelos y distintos puesto que −2 4 −6 0 = = 6= 1 −2 3 4 Por otra parte el plano σ no es paralelo a los anteriores porque sus coeficientes no son proporcionales. Por tanto tenemos dos planos paralelos y un plano que corta a cada uno de los otros en una recta.

43.

Determine el ángulo que forman la recta r , que pasa por el punto (1, −1, 0) y tal ~ = (−2, 0, 1) y la recta s de ecuación que su vector dirección es v x−7 y +6 z = = 4 4 2

Solución ~ = (4, 4, 2). Por tanto La recta s pasa por el punto (7, −6, 0) y tiene como dirección v √ | − 8 + 2| 1 5 cos(α) = cos(r , s) = √ √ =√ = 5 5 5 36 Por tanto el ángulo que forman las rectas es arc cos

44.

√ 5 ≈ 63◦ 260 600 5

Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta  2x + y − z = 0 r : x − y + 3z = 0

Interprete geométricamente el resultado obtenido.

Solución ~ de la recta mediante el producto En primer lugar hallamos el vector de dirección u ~ 1 = (2, 1, −1) y v ~2 = (1, −1, 3) vectorial de los vectores u ~ ı ~ k ~ ~ = (2, −7, −3) ~=u ~1 × u ~ 2 = 2 1 −1 u ı − 7 ~ − 3 k = 2~ 1 −1 3 ~ = (x, y, z) ortogonales a la recta son los que verifican Por tanto los vectores w ~w ~ = 0. Es decir u. 2x − 7y − 3z = 0 Geométricamente corresponde a un plano que pasa por el origen de coordenadas.

Problemas Resueltos

49

45.

~ = (1, 0, −1), v ~ = (1, 1, 0), calcula los vectores unitarios a) Dados los vectores u de R3 , que son ortogonales a los dos vectores dados. ~ = (1, 0, −1) y b) Sea π el plano determinado por el punto P (2, 2, 2) y los vectores u ~ = (1, 1, 0). Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta que pasa por los v puntos O(0, 0, 0) y Q(2, −2, 2). c) Calcula el punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto al plano x − y + z − 2 = 0.

Solución ~yv ~ son a) Los vectores ortogonales a u ı ~ ~×v ~ = 1 u 1 ~ × v| ~ = Ademas |u vectores dados son

~×v ~ y −u ~×v ~ u ~ ~ k ~ ı − ~ + k 0 −1 =~ 1 0

√ 3. Por tanto los vectores unitarios y ortogonales a los √ √ 3 3 (1, −1, 1) y − (1, −1, 1) 3 3

~ = (1, 0, −1) y v ~ = b) El plano determinado por el punto P (2, 2, 2) y los vectores u ~ =u ~ ×v ~ = (1, −1, 1). (1, 1, 0) tiene como vector normal (característico) el vector w Por tanto el plano tiene por ecuación 1(x − 2) − 1(y − 2) + 1(z − 2) =, es decir π : x − y + z − 2 = 0. Por otra parte, la recta que pasa por los puntos O y Q tiene -------→ como vector de dirección OQ = (2, −2, 2). -------→ ~ y OQ son proporcionales tienen la misma dirección y por tanto Puesto que w la recta y el plano son perpendiculares. c) Para hallar el simétrico de O respecto al plano comenzamos hallando la recta que pasa por O y es perpendicular al plano:   x=λ    r : y = −λ    z = λ Hallamos el punto de corte de la recta y el plano sustituyendo en la ecuación del plano: λ − λ + λ − 2 = 0 =⇒ λ = 2. El punto de corte es el punto M(1, −1, 1) y es el punto medio entre O(0, 0, 0) y su simétrico O 0 (x 0 , y 0 , z0 ). Por tanto x0 y0 z0 = 1, = −1, = 1 =⇒ O 0 (2, −2, 2) 2 2 2

46.

Dados los puntos P (3, 4, 1) y Q(7, 2, 7), determine la ecuación general del plano que es perpendicular al segmento P Q y que pasa por el punto medio de ese segmento.

Solución ------→ El vector P Q = (4, −2, 6) es perpendicular al plano perpendicular al segmento P Q. El punto medio es M(5, 3, 4).

50

Geometría

Por tanto el plano buscado pasa por el punto M y tiene como vector normal el vector ~ = 21 (4, −2, 6) = (2, −1, 3). Es decir π : 2(x − 5) − (y − 3) + 3(z − 4) = 0. Desarrollando n 2x − y + 3z − 19 = 0

47.

Los lados de un triángulo están sobre las rectas

x−1 y −1 z+1 r1 : = = ; 1 −1 2

  x =2+t    r2 : y = 2 + t    z = −1

;

 x − y − z − 1 = 0 r3 : x −z =0

a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta. b) Calcula la ecuación del plano π que contiene el triángulo. Calcula la intersección del plano π con los ejes OX, OY y OZ.

Solución a) El vértice A es el punto de corte de r1 y r2 . A partir de las ecuaciones de r2 tenemos z = −1 sustituyendo en las ecuaciones de r1 hallamos x e y, obteniendo A(1, 1, −1). El vértice B será el punto de corte de r1 y r3 . De la segunda ecuación de r3 se deduce x = z. Sustituyendo en las ecuaciones de r1 x+2 y −1 x−1 = =⇒ x = 3, z = 3 =⇒ = 2 =⇒ y = −1 1 2 −1 Por tanto el vértice B es el punto (3, −1, 3). El vértice C es el punto de corte de r2 y r3 . Teniendo en cuenta que z = −1 y que x = z llegamos fácilmente a C(−1, −1, −1). Ahora tenemos dos formas de comprobar si es un triángulo rectángulo de dos formas: o bien si se cumple el teorema de Pitágoras o bien si dos de los tres ----→ - -----→ - ----→ vectores AB, AC, BC son perpendiculares. √ √ √ ----→ -----→ ----→ El teorema de Pitágoras de deduce de que |AB| = 24, |AC| = 8, |BC| = 32 √ 2 √ 2 √ 2 y 32 = 24 + 8 . La perpendicularidad de los vectores se deduce de ----→ -----→ AB · AC = 0 b) Para hallar el plano π que contiene a los puntos A, B, C, tenemos el punto A y los ----→ -----→ ~ = AB = (2, −2, 4) y v ~ = AC = (−2, −2, 0) vectores de dirección u x − 1 y − 1 z + 1 2 −2 4 = 8(x−1)−8(y−1)−8(z+1) = 0 =⇒ π : x − y − z − 1 = 0 −2 −2 0 Para hallar el punto de corte con los ejes  y = 0 OX : =⇒ x = 1 =⇒ (1, 0, 0) z = 0

Problemas Resueltos

51

 x = 0 OY : z = 0

=⇒ y = −1 =⇒ (0, −1, 0)

 x = 0 OZ : y = 0

=⇒ z = −1 =⇒ (0, 0, −1)

48.

Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los puntos A(1, 0, −1) y y −1 z−2 B(0, 1, −2) y la recta de ecuación x = = 2 −1

Solución ----→ ~ = AB = (−1, 1, −1) y v ~ = (1, 2, −1). Por tanto Los vectores de dirección son u √ ~ · v| ~ 2 2 |u | − 1 + 2 + 1| 2 √ √ =√ = √ = cos(α) = = ~ · |v| ~ |u| 3 3 6 18 3 2 Es decir

49.

√ 2 ≈ 61◦ 520 2800 α = arc cos 3

Determine el ángulo que forman el plano π : x + 2y − 3z + 4 = 0 y la recta  2x − y = 0 3y + 2z = 12

Solución Vamos a pasar la ecuación de la recta a forma paramétrica. Para eso despejamos y (en la primera ecuación) 2x = y y z (en la segunda) z = (12 − 3y)/2 = (12 − 6x)/2 = 6 − 3x. Por tanto las ecuaciones paramétricas son:   x=λ    y = 2λ    z = 6 − 3λ ~ = (1, 2, −3) y un vector de Tenemos entonces: un vector normal del plano π es n ~ = (1, 2, −3). Por tanto la recta y el plano son perpendiculares. dirección de la recta es u

50.

Halle el ángulo que forman los planos π : 2x − y + z − 7 = 0 y σ : x + y + 2z = 11.

Solución Los vectores normales a los planos son ~ π = (2, −1, 1); n

~ σ = (1, 1, 2) n

52

Geometría

Por tanto cos(∠π , σ ) =

n ~π · n ~σ 3 |2 − 1 + 2| 1 √ = = =√ ~ π | |n ~σ | |n 6 2 4+1+1 1+1+4

El ángulo que forman los planos es: arc cos 1/2 = 60◦ .

51.

Dado el plano π1 : 3x + αy + z = 6. Calcule α para que la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y es perpendicular al plano π1 sea paralela al plano π2 : x − y = 3. Calcule la distancia de la recta r al origen.

Solución La recta, r , que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π1 , tiene como vector de dirección el vector normal al plano. La ecuación vectorial es r : (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(3, α, 1) Como es paralela a π2 , el vector de dirección de la recta y el vector normal a π2 , ~ 2 = (1, −1, 0), son perpendiculares n 3 − α = 0 =⇒ α = 3 Para hallar la distancia del origen a la recta -----→ ~ |OP × u| d(O, r ) = ~ u ~ ı ~ k ~ -----→ = −5~ ~= ı + 5~  = (−5, 5, 0) OP × u 1 1 2 3 3 1 √ √ -----→ ~ = 25 + 25, |u| ~ = 9+9+1 Por tanto |OP × u| √ 50 d= √ ≈ 1, 62 19

52.

Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones     x=α x =1+β       s: y =2 r : y = −1       z = 2β z = 1 − α

Solución ~ = La recta r está determinada por el punto A(0, −1, 1) y el vector de dirección u ~ = (1, 0, 2). (1, 0, −1). La recta s está determinada por el punto B(1, 2, 0) y el vector v ----→ Entonces AB = (1, 3, −1). Tenemos 1 3 −1 1 −1 ----→ = −9 ~ v) ~ = 1 0 −1 = −3 (AB, u, 1 2 1 0 2

Problemas Resueltos

53

~ ı ~ k ~ = −3~ ~×v ~=  = (0, −3, 0); u 1 0 −1 1 0 2

~ × v| ~ =3 |u

----→ −9 ~ v)| ~ |(AB, u, d(r , s) = = 3 = 3 ~ × v| ~ |u

53.

Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por ecuaciones r : x = 3y = 5z y la recta s pasa por los puntos A(1, 1, 1) y B(1, 2, −3).

Solución A partir de las ecuaciones r : x = 3y = 5z, dividiendo por 15 obtenemos r :

x y z = = 15 5 3

Deducimos que la recta r pasa por el punto O(0, 0, 0) y tiene como vector director ~ = (15, 5, 3). u Por su parte la recta s pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vector director ----→ ~ = AB = (0, 1, −4) v 1 1 1 h ------→ i 3 ~ v ~ = OA, u, = 52 15 5 0 1 −4 ~ ı ~ k ~ ~ ~×v ~ = 15 5 ı + 60~  + 15k u 3 = −23~ 0 1 −4 √ ~ × v| ~ = 4354 Entonces |u Por tanto h ------→ i OA, u, ~ v ~ d= ~ × v| ~ |u 52 d= √ ≈ 0,79 4354

54.

Dado el plano π : 2x + λy + 3 = 0; y la recta  x + 2y − 2z + 6 = 0 r: 7x − y − 2z = 0

a) Calcula el valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese valor de λ, calcula la distancia entre r y π . b) ¿Para algún valor de λ, la recta r está contenida en el plano π ? Justifica las respuestas. c) ¿Para algún valor de λ, la recta y el plano π son perpendiculares? Justifica la respuesta.

54

Geometría

Solución Escribimos la matriz del sistema  2   1  7

λ 2 −1

0 −2 −2

 −3  −6   0

a) La recta y el plano son paralelos si el rango de la matriz de los coeficientes es 2 es decir si el siguiente determinante es nulo 2 1 7

λ 2 −1

0 −2 = −8 − 14λ − (4 − 2λ) = −12λ − 12 −2

Por consiguiente el plano y la recta son paralelos si λ = −1 . Cuando la recta y el plano son paralelos la distancia entre la recta y el plano es igual a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano. Necesitamos un punto de la recta. b) La recta está contenida en el plano si el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada es 2. Por tanto tiene que ser λ = −1 y además el siguiente determinante tendría que ser nulo (para que el sistema fuera compatible) 2 1 7

0 −2 −2

−3 −6 = −60 6= 0 0

Por tanto para ningún valor de λ la recta está contenida en el plano. c) Hallamos un vector de dirección de la recta calculando el producto vectorial ı ~ ~ ~= u 1 2 7 −1

~ k ~ ı − 12~  − 15k −2 = −6~ −2

1 ~ = − u ~ = (2, 4, 5). El vector normal Un vector de dirección de la recta es w 3 ~ = (2, λ, 0). La recta y el plano son perpendiculares si w ~ y n ~ son al plano es n proporcionales, es decir 2 λ 0 = = 2 4 5 lo cual es imposible. Por tanto la recta y el plano no son perpendiculares para ningún valor de λ.

55.

  x = 2λ + 3µ    Halle la distancia del plano π : 4x − 10y + 2z = 1 al plano σ : y = λ + µ    z = λ − µ

.

Problemas Resueltos

55

Solución ~ = (2, 1, 1) y El plano σ está determinado por el punto (0, 0, 0) y los vectores u ~ = (3, 1, −1). Su ecuación implícita es v x 2 3

y 1 1

z 1 =0 −1

4 −10 2 Desarrollando: σ : 2x − 5y + z = 0. Por tanto los planos son paralelos ( 2 = −5 = 1 ). Entonces la distancia entre los planos es igual a la distancia del origen ((0, 0, 0)) al plano π. |−1| 1 d(π , σ ) = √ = √ 16 + 100 + 4 120

56.

Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones r: x =

y −1 z−4 = , 3 7

s: x −2 =

y −2 z−3 = 3 4

Demuestre que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) y S = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.

Solución ~ = (1, 3, 7). La recta r pasa por el punto A(0, 1, 4) y tiene como vector de dirección u ~ = (1, 3, 4). La recta s pasa por el punto B(2, 2, 3) y tiene como vector de dirección v Las rectas no son paralelas (los vectores de dirección no son proporcionales). Por tanto la distancia viene dada por la fórmula ----→ [AB, u, ~ v] ~ d= ~×v ~ u ----→ Tenemos AB = (2, 1, −1), 2 ----→ ~ ~ [AB, u, v] = 1 1 ı ~ ~ ~×v ~= u 1 3 1 3

1 3 3

−1 7 = −15 4

~ k ı + 3~ , 7 = −9~ 4

Por tanto 15 d= √ 90

p u ~×v ~ = 90

56

Análisis Matemático

Análisis Matemático Cálculo Diferencial

57.

Demuestre que la sucesión de término general an =

una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).

4n − 1 es creciente y halle n+1

Solución Una sucesión es creciente si an+1 á an para todo n. Una forma de comprobar esta desigualdad es comprobando que an+1 − an á 0 para todo n. Tenemos 4(n + 1) − 1 4n + 3 an+1 = = (n + 1) + 1 n+2 Entonces

4n + 3 4n − 1 − n+2 n+1 (4n + 3)(n + 1) − (4n − 1)(n + 2) = (n + 2)(n + 1)
2 4n + 7n + 3 − 4n2 + 7n + 2 = (n + 2)(n + 1) 5 >0 = (n + 2)(n + 1)

an+1 − an =

Por tanto la sucesión es creciente. (La última desigualdad se debe a que en una sucesión n toma valores positivos, y, por tanto, la última fracción es el cociente de dos números positivos.) Puesto que la sucesión es creciente, el primer término de la sucesión es una cota inferior (a1 à an para todo n). Es decir, una cota inferior es a1 = 3/2

58.

Calcule: a) l´ım

n→∞

p

 n2 − 5n + 4 − n ,

 b) l´ım

n→∞

 2n − 8 . 2n+1

Solución a) l´ım

n→∞

p

√  √  n2 − 5n + 4 − n n2 − 5n + 4 + n √  n→∞ n2 − 5n + 4 + n

 n2 − 5n + 4 − n = l´ım

4 n  = l´ım s = l´ım √ n→∞ n→∞ 5 4 n2 − 5n + 4n 1− + 2 +1 n n −5 +

−5n + 4

= −

5 2

b)  l´ım

n→∞

2n − 8 2n+1



 = l´ım

n→∞

1 8 − n+1 2 2

 =

1 2

Problemas Resueltos

59.

57

¿Qué tipo de discontinuidad tiene en x = 0 la función f (x) =

x2 ? |x|

Solución Teniendo en cuenta que  x |x| = −x tenemos l´ım−

x→0

si x < 0

x2 x2 = l´ım− = l´ım− (−x) = 0 x→0 |x| x→0 −x

l´ım+

x→0

si x á 0

x2 x2 = l´ım+ = l´ım+ (x) = 0 x→0 |x| x→0 x

Por tanto existe límite cuando x tiende a 0 y se trata de una discontinuidad evitable. √ √
√ n + 7 − n 3n + 5 indicando el tipo de indeterminación (o Calcule l´ımn→∞ indeterminaciones) que se presentan al intentar resolver este límite.

60.

Solución √ √ p n + 7 − n 3n + 5 = (∞ − ∞)∞ n→∞ √ √
√ √
√ n+7− n n + 7 + n 3n + 5 √ √
= l´ım n→∞ n+7+ n √   7 3n + 5 ∞ √
= = l´ım √ n→∞ ∞ n+7+ n s 5 7 3+ √ n = l´ım s (dividiendo por n) n→∞ 7 √ 1+ + 1 n √ 7 3 = ≈ 6,06 2 l´ım

61.

Estudie la continuidad y derivabilidad de la función  2   x − 9 si x 6= 3 f (x) = x − 3  6 si x = 3

en el punto x = 3.

Solución La función es continua en el punto x = 3 si l´ımx→3 f (x) = f (3). Por una parte, sabemos que f (3) = 6, por otra parte  x2 − 9 (x + 3) (x−3) l´ım f (x) = l´ım = l´ım =6  x→3 x→3 x − 3 x→3 (x−3) 

58

Análisis Matemático

La función es continua en x = 3. Para estudiar la derivabilidad en x = 3 tenemos que calcular, si existe, l´ımx→3 f 0 (x). Ahora bien si x 6= 3 entonces, como acabamos de ver, f (x) = x + 3, y por tanto f 0 (x) = 1. Es decir l´ımx→3 f 0 (x) = l´ımx→3 1 = 1. La función es derivable en x = 3 y f 0 (3) = 1.

62.

¿Se puede asegurar, utilizando el Teorema de Bolzano que la función f (x) = tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π /4, 3π /4]? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de f en ese intervalo.

Solución La función f (x) = tg(x) no es continua en x = π /2 y por tanto no podemos aplicar el Teorema de Bolzano en ese intervalo. La gráfica de la función en el intervalo se representa en la figura siguiente.

1

π 4

π 2

3π 4

−1

63.

Calcula la derivada de la función f (x) = |x−2| en x = 2, si es posible. Represente la gráfica de la función y, sobre ella, razone su respuesta.

Solución La gráfica de la función f (x) = |x − 2| la podemos construir a partir de la gráfica de la función f (x) = |x| (es la misma gráfica, desplazada 2 unidades a la derecha), o teniendo en cuenta  −x + 2 si x à 2 f (x) = |x − 2| = x − 2 si x > 2 Es decir es la gráfica consta de dos semirrectas

Problemas Resueltos

59

2

Por tanto la función no es derivable en el punto x = 2, ya que la gráfica no tiene tangente en ese punto. a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = (x + 1)ex en el punto de corte de f (x) con el eje OX. b) Calcula, para f (x) = (x + 1)ex , intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad. c) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.

64.

Solución a) Hallamos en primer lugar el punto de corte con eje OX: f (x) = 0 =⇒ (x + 1)ex = 0 =⇒ x + 1 = 0 =⇒ x = −1 (la función exponencial no se anula para ningún valor de x.) La derivada es f 0 (x) = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex . La pendiente de la recta tangente es f 0 (−1) = e−1 = 1/e. Finalmente sustituimos en la ecuación de la recta tangente y −f (x0 ) = f 0 (x)(x− x0 ) 1 y = (x + 1) e b) Para estudiar los intervalos de crecimiento, hallamos en primer lugar los valores para los que se anula la derivada f 0 (x) = 0 =⇒ (x + 2)ex = 0 =⇒ x = −2 Como la función exponencial es siempre positiva el signo de la derivada coincide con el signo del término x + 2, es decir x y0 y

−−− &

−2 0

+++ %

La función tiene un mínimo para x = −2. Para estudiar la concavidad, convexidad, puntos de inflexión, hallamos la derivada segunda f 00 (x) = ex + (x + 2)ex =

60

Análisis Matemático

(x + 3)ex . Para encontrar los posibles puntos de inflexión igualamos la derivada segunda a cero f 00 (x) = 0 =⇒ (x + 3)ex = 0 =⇒ x = −3 Teniendo en cuenta, análogamente al razonamiento hecho para el crecimiento, el signo de la dervidada segunda coincide con el signo de x + 3 x y 00 y

−−− _ cóncava

−3 0

+++ ^ convexa

Por tanto la función tiene un punto de inflexión para x = −3.

65.

Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la función f : R -→ R definida por  ax   e − 1 si x ≠ 0 2x f (x) =  b si x = 0

Solución La función f es continua si x 6= 0 por ser el cociente de dos funciones continuas. Además es continua en x = 0 si l´ımx→0 f (x) = f (0) = b. Calculamos el límite (aplicando la regla de L’Hôpital)   eax − 1 0 a a eax l´ım f (x) = l´ım = = = l´ım x→0 x→0 x→0 2x 0 2 2 Se deduce que a = 2b . Halle la condición que debe cumplir λ para que el polinomio x 4 + x 3 + λx 2 sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ.

66.

Solución La función es cóncava si f 00 (x) < 0. Tenemos f 0 (x) = 4x 3 + 3x 2 + 2λx

f 00 (x) = 12x 2 + 6x + 2λ

La derivada segunda es una función de segundo grado, el coeficiente principal (a = 12) es positivo por lo que es una parábola convexa.

Problemas Resueltos

61

Para que sea negativa en algún intervalo, es necesario que tenga dos raíces reales. Es decir el discriminante tiene que ser positivo (∆ = b2 −4ac > 0). Tenemos ∆ = 36−96λ > 0, 36 > 96λ, 3/8 > λ. El polinomio será cóncavo en algún intervalo si λ
0 y es un mínimo. 1 Por tanto la solución es y − 1 = − (x − 3). Despejando tenemos 3 1 y =− x+2 3

74.

Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

Solución Como la velocidad es constante el tiempo es t = e/v. Si el hombre abandona la costa en un punto que dista x km de A tenemos la situación que aparece en la figura siguiente B

13

A

x

y 12 − x

12

5

C

66

Análisis Matemático

Llamando T al tiempo total necesario x y 1 + = (3x + 5y) 5 3 15 p √ Por el teorema de Pitágoras y = 25 + (12 − x)2 = x 2 − 24x + 169. Sustituyendo T =

T =

 p 1  3x + 5 x 2 − 24x + 169 15

Derivando T0 =

    1 5 (2x − 24) 1 5(x − 12) 3+ √ = 3+ √ 15 15 2 x 2 − 24x + 169 x 2 − 24x + 169

Para que el tiempo sea mínimo T 0 = 0. Sumamos e igualamos el numerador a 0 p 3 x 2 − 24x + 169 + 5x − 60 = 0 Despejando p 3 x 2 − 24x + 169 = 60 − 5x Elevando al cuadrado   9 x 2 − 24x + 169 = 3600 − 600x + 25x 2 Llegamos a la ecuación de segundo grado 16x 2 − 384x + 2079 = 0 cuyas raíces son x = 63/4 y x = 33/4. La primera es mayor que 12. Por tanto la solución es 33/4 km

75.

Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función f (x) =

ln x . x

Solución Hallamos la primera y la segunda derivada de la función f 0 (x) =

1 x

· x − ln x x2

1

f 00 (x) =

− x · x 2 − 2x(1 − ln x) x4

=

=

1 − ln x x2

x(−3 + 2 ln x) −3 + 2 ln x = 4 x x3

Si f 00 (x) = 0 entonces −3 + 2 ln x = 0 =⇒ ln x = 3/3, por tanto la derivada segunda se anula para x = e3/2 . Ahora bien, la función ln x está definida para x > 0 y es creciente siempre. Por tanto el denominador es positivo (x 3 > 0) y el numerador es negativo si x < e3/2 y positivo para x > e3/2 . En definitiva x = e3/2 es un punto de inflexión. Si x < e3/2 entonces f 00 (x) < 0 y la función es cóncava (_). Si x > e3/2 entonces f 00 (x) > 0 y la función es convexa (^).

Problemas Resueltos

76.

67

Analice la continuidad, en el punto x = 0, de la función f dada por  x 2 −1    x f (x) =  cos(x)   x2 + 1

si x < 0 si x á 0

Solución Una función es continua en un punto a si se verifica l´ımx→a f (x) = f (a). Además, cuando la función está definida a trozos existe el límite en un punto si l´ımx→0− f (x) = l´ımx→0+ f (x). En este caso tenemos, por una parte, f (0) = cos(0)/1 = 1. Por otra parte tenemos 2x − 1 0 = (aplicando L’Hôpital) x→0 x 0 2x ln 2 = l´ım− = ln 2 x→0 1

l´ım− f (x) = l´ım−

x→0

y l´ım+

x→0

cos(x) =1 x2 + 1

Por tanto no existe l´ımx→0 f (x) y, por tanto, la función no es continua en x = 0.

77.

x 2 ex x→0 cos2 x − 1

Calcula l´ım

Solución Aplicamos la Regla de L’Hôpital   0 x 2 ex = es de la forma x→0 cos2 x − 1 0 2xex + x 2 ex (x 2 + 2x)ex = l´ım = l´ım xto0 −2 sen x cos x x→0 − sen 2x (2x + 2)ex + (x 2 + 2x)ex 2 = l´ım = = −1 x→0 −2 cos 2x −2 l´ım

Cálculo Integral Rx Sea F (x) = 0 sen(t 2 ) dt. Calcule la segunda derivada de la función F (sin intentar calcular la integral).

78.

Solución Por el Teorema fundamental del Cálculo Integral tenemos F 0 (x) = sen(x 2 ). Si derivamos F 0 (x) obtenemos la derivada segunda F 00 (x) = 2x cos(x 2 )

79.

Z Calcule

2x − 1 dx. x(x + 1)2

68

Análisis Matemático

Solución El grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, por tanto no hay que dividir. El denominador está descompuesto en factores por lo que podemos pasar directamente a la descomposición en fracciones simples. Tenemos una raíz real simple (x = 0) y una raíz real doble (x = −1). Por tanto necesitamos tres sumandos (uno para la raíz simple y dos para la raíz doble). B C 2x − 1 A A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx + + = = x(x + 1)2 x x + 1 (x + 1)2 x(x + 1)2 Si x = 0 obtenemos A = −1. Si x = −1, entonces −3 = −C, es decir C = 3. Finalmente si x = 1 entonces 1 = −4 + 2B + 3, por tanto B = 1. Integrando Z Z Z Z 2x − 1 dx dx dx = − + + 3 (x + 1)−2 dx x(x + 1)2 x x+1 3 = − ln |x| + ln |x + 1| − +K x+1

80.

Z Calcule

x3 + x + 2 dx. x2 + 3

Solución Como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, dividimos

x3 + x + 2 −x 3 − 3x − 2x + 2 Si P = Q · C + R entonces Z

81.

Z Calcule

x2 + 3 x

R P = C + . Y tenemos Q Q

x3 + x + 2 dx = x2 + 3

−2x + 2 x dx + dx x2 + 3 Z Z 1 2x dx dx ! +2 = x2 −   2 x2 + 3 x 2 √ 3 +1 3     2p 1 x = x 2 − ln x 2 + 3 + 3 arc tg √ +C 2 3 3 Z

Z

3x − 2 dx. x2 + x + 1

Solución El grado del numerador es 1, el grado del denominador es 2, así que no es necesario dividir. El denominador (de grado 2) no tiene raíces reales, por tanto no se puede descomponer.

Problemas Resueltos

69

 1 2 3 + . La integral se descompone en un logaritmo 2 4 neperiano y un arco tangente. La derivada del denominador es 2x + 1. 

Tenemos x 2 + x + 1 =

Z

x+

= =

=

=

82.

2 Z 2x + 1 − 1 − 2 3 3 3 dx dx = x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 Z Z  3 2x + 1 5 dx dx − 2 x2 + x + 1 3 x2 + x + 1 5Z 3 dx ln x 2 + x + 1 −   2 2 1 2 3 x+ + 2 4 Z 3 2 dx 5 4 ln x + x + 1 − ·   2 2 3 x + 1/2 2 √ +1 3/2   10 √3 x + 1/2 3 √ ln x 2 + x + 1 − arc tg +K 2 3 2 3/2

3x − 2 dx = 3 2 x +x+1

Sea f (x) =

Rx

1 1 t

Z

x−

dt, y sean a, b ∈ R+ . Demuestre que f (a.b) = f (a) + f (b).

Solución Como f (x) =

Rx

1 1 t

dt = [ln t]x 1 = ln x − ln 1 = ln x, tenemos Z a.b 1 f (a.b) = dt = ln(a.b) − ln 1 t 1 = ln a + ln b = f (a) + f (b)

83.R que

b a

Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [a, b], que verifican Rb f = a g. Demuestre que existen α, β ∈ [a, b] tales que f (α) = f (β).

Solución Por el teorema del valor medio del cálculo integral sabemos que Rb a) Existe α tal que R a f = f (α)(b − a) b b) Existe β tal que a g = g(β)(b − a) Igualando tenemos que existen α y β tal que f (α) = g(β).

84.

Z −1 Sea f : [−2, 2] ⊂ R -→ R continua en [−2, 2] tal que

Z2 f (t) dt =

−2

f (t) dt, 1

¿se puede asegurar que existen b y c en [−2, 2] tales que b à −1, c á 1 y f (b) = f (c)? Justifique su respuesta.

Solución Aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral a la función f en el intervalo [−2, −1], existe un punto b ∈ [−2, −1] (es decir −2 à b à −1) tal que Z −1 f (t) dt = f (b)(−1 − (−2)) = f (b) −2

70

Análisis Matemático

Aplicando el teorema al intervalo [1, 2], existe c tal que 1 à c à 2 tal que Z2 f (t) dt = f (c)(2 − 1) = f (c) 1

Por hipótesis las dos integrales son iguales, por tanto f (b) = f (c). Dibuje la gráfica de f (x) = |x 2 − 4| en el intervalo [−3, 3] y calcule su integral en ese intervalo.

85.

Solución Las raíces de la ecuación x 2 − 4 = 0 son x = 2 y x = −2 y por tanto y = x 2 − 4 es negativa en el intervalo (−2, 2). De donde  x 2 − 4 si x à 2 o x á 2 f (x) = |x − 4| = −x 2 + 4 si − 2 < x < 2 2

La gráfica de la función se obtiene a partir de la gráfica de y = x 2 − 4 que es una parábola convexa que corta al eje X en los puntos (−2, 0) y (2, 0).

Para calcular la integral en ese intervalo vamos a utilizar que la función es par (simétrica respecto al eje Y ). Por tanto. Z3

Z2

Z3   −x + 4 dx + x 2 − 4 dx

!

1 f (x) dx = 2 =2 − x 3 + 4x 3 −3 0 2      8 8 16 16 =2 − +8−0+9−8− −8 =2 − +8 = 3 3 3 3

86.

2

Z √3 p Calcule x 1 + x 2 dx 0



2

1 3 + x − 4x 3 0 

3 ! 2

Problemas Resueltos

71

Solución Teniendo en cuenta que (1 + x 2 )0 = 2x la integral es inmediata Z √3  Z √3 p 1/2 i√3 1h 2 2 3/2 2 dx = x 1 + x dx = x 1+x (1 + x ) 0 3 0 0   7 1 3/2 4 −1 = = 3 3

87.

Calcula el área del recinto limitado por la recta y = 2 − x y la curva y = x 2 .

Solución Hallamos los puntos de corte 2 − x = x 2 =⇒ x 2 + x − 2 = 0 cuyas soluciones son x = 1 y x = −2. Es fácil ver que la recta está por encima de la parábola entre esos dos valores (por ejemplo para x = 0 la recta toma el valor y = 2 y la parábola el valor y = 0). El área es Z1  1   1 1 S= 2 − x − x 2 dx = 2x − x 2 − x 3 2 3 −2 −2   1 1 8 9 = 2 − − − −4 − 2 + = u2 2 3 3 2 4 es estrictamente posix2 + x − 2 tiva en [2, +∞) y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 3.

88.

Demuestre que la función f dada por f (x) =

Solución El numerador de f es positivo y el denominador es un polinomio de segundo grado cuyas raíces son  √ x = 1 −1 ± 9 x 2 + x − 2 = 0; x = = x = −2 2 Como el coeficiente de x 2 es positivo la parábola es convexa y, por tanto, solo es negativa en el intervalo (−2, 1). Es decir f (x) es positiva en el intervalo [2, +∞). El área buscada es igual a la integral. Z3 S= 2

x2

4 dx +x−2

Hallamos la descomposición en fracciones simples

x2

4 A B A(x + 2) + B(x − 1) = = = +x−2 x−1 x+2 (x − 1)(x + 2)  Si x = 1 ⇒ 4 = 3A ⇒ A = 4/3 Si x = −2 ⇒ 4 = −3B ⇒ B = −4/3

72

Análisis Matemático

Finalmente S= =

i3
4 4h ln |x − 1| − ln |x + 2| = ln 2 − ln 5 − (0 − ln 4) 2 3 3 4 (3 ln 2 − ln 5) u2 3

(En la última igualdad se utiliza ln 4 = ln 22 = 2 ln 2.)

89.

Dadas  3x g(x) = x 2

x − |x| f (x) = , 2 calcule

R0

−1 x

2

si x à 0 si x > 0

(g ◦ f )(x) dx. (g ◦ f denota la composición.)

Solución Teniendo en cuenta la definición de la función valor absoluto tenemos  x − |x| x = f (x) = 0 2

si x à 0 si x > 0

Si −1 à x à 0 entonces x es negativo y, por tanto, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x) = 3x. Por tanto Z0

2

Z0

x (g ◦ f )(x) dx = −1

" 2

x 3x dx = −1

3x 4 4

#0 =0− −1

3 3 = − 4 4

90. Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f (x) = x 2 + x + 5, el eje OX y la rectas x = −1/2 e y = x + 6. Solución Hallamos los puntos en los que se cortan la parábola y la recta  y = x + 6 y = x 2 + x + 5

 x = 1 =⇒ x + 6 = x 2 + x + 5 =⇒ x 2 = 1 =⇒ x = −1

El punto de corte de la recta con el eje X se obtiene haciendo y = 0. Es decir x = −6.

Problemas Resueltos

73

−6

−1

1

El área del recinto consta de un triángulo y del recinto comprendido entre x = −1 y x = −1/2. Tenemos Z −1/2   −1/2  25 1 3 1 2 1 x 2 + x + 5 dx = + x + x + 5x S = 5·5+ 2 2 3 2 −1 −1    25 1 1 5 1 1 25 29 = + − + − − − + −5 = + 2 24 8 2 3 2 2 12 =

179 2 u 12

91. Calcule el número positivo α tal que el valor del área de la región limitada por la recta y = α y la parábola y = (x − 2)2 sea 36. Solución Hallamos los puntos de corte de la parábola y la recta √ √ (x − 2)2 = α =⇒ x − 2 = ± α =⇒ x = 2 ± α Entonces Z 2+√α  2+√α   1 2 3 α − (x − 2) dx = αx − (x − 2) 36 = √ √ 3 2− α 2− α   √ √
3 √ 1 √
3 1 = α(2 + α) − α − α(2 − α) − − α 3 3 4 √ = α α 3 √ De donde α α = 27. Elevando al cuadrado α3 = 272 = 36 . Finalmente α = 9