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• Juan Espinoza Conislla

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Índice

Enunciado del Problema....................................................................2 Solución.............................................................................................3 Grados de Libertad Nodales..............................................................4 Vector Carga......................................................................................5 Matriz de Rigidez................................................................................7 Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno..................................8 Esfuerzos...........................................................................................9 Resultados........................................................................................11 Diagrama de Flujo.............................................................................12 Uso de Matlab...................................................................................13 Conclusiones................................................................................... 13 Relación bibliográfica....................................................................... 14 Anexos.............................................................................................. 14

1

SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA (TRACCION CON DEFORMACION TERMICA)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA Dado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo considerando que hay incremento de temperatura de 110ºC. Utilizar n elementos finitos.

1200mm PAP

A

mm

600 mmm

1500mm Considerar: PA

= 20KN

t (espesor)

= 150 mm

E

= 3.0x105 N/mm2

γ

= 8.0gr-f/cm3

2

= 78,45x10-6 N/mm3

α

= 11*10-6 ºC-1

SOLUCION: 1. MODELADO DEL CUERPO REAL Para 5 elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos se considera longitudes de: 300, 300 , 200, 200 y 200mm, respectivamente. Y los espesores se calcula tomando el punto medio de cada elemento finito:

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente: Y las áreas se calculan de la siguiente relación: A1  b1 x t

Cuadro de conectividad: NODOS

GDL

le

Ae

e

1°

2°

1°

2°

(mm)

(mm2)

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5

Q1 Q2 Q3 Q4

Q2 Q3 Q4 Q5

300 300 200 200

196875 140625 93750 56250

3

5

5

6

Q5

Q6

200

18750

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento) A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales: Luego el vector de desplazamiento será: Q

0  Q 2    Q 3    Q 4  Q 5    Q 6   



mm 

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

3. VECTOR CARGA Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

4

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

4. MATRIZ DE RIGIDEZ Calculando a continuación la matriz de Rigidez Global, mediante la siguiente ecuación:

5

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

6

Finalmente: K

i



 10

5

x

19 6 8.7 5    19 6 8.75   0   0   0  0  



19 6

337

14 0 6.2 0 0 0

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación: Fi  K i  Q 

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:



10

5

x

1968 .7 5   1968 .7 5   0   0   0  0  

 1968 .7 3375 1 4 06.2 5 0 0 0

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz: 10 213346.53  85 30202.77   68 07426.75   68 06838.38 3403272.09 



10

5

x

       

3375  1968. 5

       

 1968 .75 3375  1406 .25 0 0

0 0 0

 14 

5

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene: Q2  0.31258 mm Q3  0.70517 mm Q4  0.81685 mm Q5  1.01952 mm Q6  1.32021 mm

Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz: 

35 7 30 4 95 .7 7 

R1



 1 05

x1 9 68.75

 19 6 8.7 5

Resolviendo obtenemos: R1  - 1000 7.0642 N

6. ESFUERZOS

7

0

0

0

0

0 Q  Q



Q Q  Q 

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación: e

 Q  E  e      1 1  i   ( E ) e T l Qi  1

Donde: ( E ) e T = (3*105*11*10-6)*110=363

N mm 2

Obteniéndose lo siguiente:  3 x105     1  1    250 1

 0  N 1    363   1  0.0985277 2 0.31258 mm  

 3 x10 5     1  2    250  2

0.31258 N 1    363   2  0.114394 2 0.70517 mm  

 3 x10 5     1  3    166.667  3

 0.70517  N 1   363   3  0.017004  mm 2 0.81685 

 3 x 10 5     1  4    166.667  3

 0.81685 N 1    363   4  0.010899 mm 2 1.01952  

 3 x105     1  5    166.667  3

 1.01952 N 1    363   5  0.006539 mm 2 1.32021  

7. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla: R1  - 1000 7.0642 N N  1  0.0985277 mm 2 N  2  0.114394 mm 2 N  3  0.017004 mm 2 N  4  0.010899 mm 2 N  5  0.006539 mm 2

8. DIAGRAMA DE FLUJO

8

INICIO

INGRESO DE DATOS CONSTANTES : E, f, t, ∆T VECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

  AL1  R1   2   2 1  AL   AL     2 2 3 2  AL  AL     PA   2  2  3 AL      2

;

 EA1  L1  1  EA  L1 K=   0   0 

EA1 L1 EA 2 EA1  1 L2 L EA 2  2 L 

0

0 EA 2  2 L EA3 EA 2  2 L3 L 3 EA  3 L

 0   0   3 EA  3  L  EA3  L3 

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

EA    1 AL1     L1 2    2 1 2 1  AL   AL    0 EA  EA  = L2 L1 2 2  AL3 AL2    EA 2   P  2  A  0 2 L  2   3 AL     0    0 2  1

0 EA 2  2 L EA3 EA 2  2 L3 L 3 EA  3 L

 0  R  1  Q  2 0    Q3  3  Q  4 EA  3  Q  L   5 EA3  Q6  L3 

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 , Q6 , Esf1 , Esf 2 , Esf 3 , Esf 4 , Esf 5

9

FIN

9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB clc %constantes format long; E = 300000; f=8*9.81*(10^-6); t=150; dt=110; x=11*(10^-6); %condicion de contorno contorno=[1]; n=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la primera parte (n) :'); m=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la segunda parte (m) :'); %calculo de numero de nodos nnodos=[1:n+m+1]; %calculo del vector L L=[(500/n).*ones(1,n),(500/m).*ones(1,m)] %calculo del vector H HN1=[1200-300/n:-600/n:600+300/n]; HN2=[600-300/m:-600/m:0+300/m]; h=[HN1,HN2] %calculo del vector P P=zeros(1,n+m+1); P(n+1)=10000 %calculo del vector h A=t.*h; %Calculo del vector fuerza masica pesoe=f*0.5.*A.*L; pesoglobal=[pesoe,0]+[0,pesoe] %calculo del vector fuerzapor deformacion termica dtele=(x*dt*E).*A; dtglobal=-[dtele,0]+[0,dtele] %calculo de vector fuerza total F=pesoglobal+P+dtglobal %Calculo de la matriz de rigidez kele=E.*A./L; kglobal=diag([kele,0]+[0,kele])-diag(kele,1)-diag(kele,-1) %resolucion de la ecuacion matricial [F]=[K].[Q] %introduccion de las condiciones de contorno ncon=setdiff(nnodos,contorno); KM=kglobal(ncon,ncon); FM=F(ncon); QM=inv(KM)*(FM)'; %calculo de los dezplazamientos Q=zeros(size(nnodos,2),1); Q(ncon)=QM %calculo de esfuerzos esf=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dt R=kglobal*Q-F'

10

RESULTADO DEL PROGRAMA: Ingrese el Nº de elementos finitos de la primera parte (n):2 Ingrese el Nº de elementos finitos de la segunda parte (m):3 L= 1.0e+002 * 2.500000000000000 2.500000000000000 1.666666666666667 1.666666666666667 1.666666666666667 h= 1050

750

500

300

100

P= 0

0

10000

0

0

0

pesoglobal = 1.0e+003 * 1.5450750 2.64870 1.5941250 0.78480 0.39240

0.098100

dtglobal = -57172500

16335000

13612500

10890000

10890000

5445000

F= 1.0e+007 * -5.7170954925 1.63376487 1.3624094125 1.08907848 1.08903924 0.54450981 kglobal = 1.0e+005* 1890 -1890

0

-1890 3240 -1350 0

-1350 2700

0

0

-1350

0

0

0

0

0

0

Q= 0

11

0

0

0

0

0

0

-1350

0

0

2160

-810

0

-810 1080 -270 0

-270

270

0.302582106481481 0.605177435555555 0.806853548888889 1.008526271111111 1.210196571111111 esf = 0.098527777777747 0.114394888888626 0.017004000000043 0.010899999999992 0.006539999999973 R= 1.0e+004 * -1. 000070631999895 0.000000000001304 -0.000000000004284 0.000000000000745 0.000000000001490 -0.000000000000466 10. CONCLUSIONES 1.

La fuerza másica total del cuerpo en este caso particular no varía por el número de nodos. Esto ocurre porque el cuerpo es de forma triangular. En cuerpos que presentan geometrías no triangulares o no rectangulares el número de elementos si afecta al cálculo del volumen total. 2. La variación de temperatura no afecta al valor de la reacción. De los resultados para una variación de temperatura de 0 y 110 grados centígrados.

Para Tº=0; Q = [0

0.052939 0.127034 0.127044 0.127050 0.127053] esf = [ 0.06352 0.08891 0.00001 0.000011 0.0000065] R = 1.0e+004 * [-1.00070632 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000] Para Tº= 110 Q = [ 0 0.302582106481481 0.605177435555555

12

0.806853548888889

1.008526271111111

1.210196571111111] esf

=

[0.098527777777747

0.114394888888626

0.017004000000043

0.010899999999992

0.006539999999973 ] R

= 1.0e+004 *[ -1.00070632 -0.0000 -0.0000 0.0000]

0.0000

Se obtiene una misma Reacción (-1.00070632) y esto sucede porque el cuerpo tiene un solo nodo fijo (Q1=0). Si el cuerpo tendría dos nodos fijos entonces las reacciones variarían por efecto de la variación de temperatura. 3. Los resultados de Matlab presentan un margen de error en el cálculo de reacciones. Veamos las reacciones que se obtiene para cinco elementos finitos R = [ -1. 00070631999895

0.000000000001304

-0.000000000004284

0.000000000000745

0.000000000001490

-0.000000000000466]

Se plantea que el error se arrastra por los redondeos que se realizan en cada una de las operaciones. 4. A medida que se toma mayor número de elementos finitos mejor será el resultado encontrado, tal y como vemos en los resultados de 3 y 4 elemento finitos 5. El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor deformación por ende de los esfuerzos en 1000 veces más, por tanto, es muy necesario hacer un estudio con análisis con elementos finitos a una pieza mecánica si este va a trabajar a constantes cambios de temperatura.

RELACION BIBLIOGRAFICA

13

ANEXOS

14