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ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE VARIABLES SEPARABLES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DADA LA ECUACION DIFERENCIAL 5

d y d y dy + 18  3  = 8 x +  2  dx  dx   dx  3

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¿De qué tipo es? ¿De qué orden es? ¿Cuál es su grado? ¿Es lineal?

2

7

DADA LA ECUACION DIFERENCIAL

( xy − 4 x)dx + ( x y + y )dy = 0 2

• ¿Cómo separar sus variables? • ¿Cómo hallar su solución?

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LOGRO DE LA SESIÓN Al

término

de

la

sesión

de

aprendizaje, el estudiante reconoce el orden y grado de una ecuación

diferencial

ordinaria

en

forma

analítica, y resuelve problemas de EDO

de

realizando

variables los

separables

procedimientos

ordenada y coherentemente.

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SABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS)

CONTENIDO DE LA SESIÓN

 Antiderivadas  Métodos de integración

 Definición de una ecuación diferencial (ED) y su clasificación.  Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de variables separables  Aplicaciones de las EDO de variables separables

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¿ QUÉ ES UNA ECUACION DIFERENCIAL ?  Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas. Variable 𝑑𝑦 dependiente = 0.2𝑥𝑦 𝑑𝑥 Variable independiente Para referirnos a las ecuaciones diferenciales, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DIAPOSITIVA N° 6

Ecuaciones Diferenciales Tipo Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Contiene únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente.

Orden Ecuación Diferencial Parcial (EDP) Contiene derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales), es igual al de la derivada de mayor orden en la ecuación

Grado Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica

EJEMPLO Indique el orden, el grado, la variable dependiente e independiente de cada una de las siguientes EDOs:

1. 2. 3.

2

3

𝑑 𝑥 𝑑𝑥 3 2 +4 + 9𝑥 = 2 cos 3𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 3 2 − 2𝑥 + 2𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑦 ′′′ + 𝑥 + 1 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0

𝑑𝑦 𝑦 2 − 3𝑥 4. = 𝑑𝑥 𝑥 1 − 3𝑦 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DIAPOSITIVA N° 8

ECUACIÓN LINEAL Se dice que una EDO de orden 𝑛: 𝑑𝑛 𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑥 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑛 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 es lineal, si cumple con dos condiciones: i. La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado ii. Lo coeficientes 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 dependen sólo de la variable independiente 𝑥 o son constantes

Si una ecuación diferencial ordinaria no cumple ambas condiciones, se dice que es NO LINEAL.

EJEMPLO Determine si las siguientes EDOs son lineales o no. Explique su respuesta en cada caso

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦 1. + + 𝑥𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 ′′ ′ 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 1 𝑦 −𝑦 =0 2. 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 1 − 𝑦 2 + 2𝑥 =0 3. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 = 𝐶 , donde 𝐶 es una constante 4. 𝑦 1 + 𝑑𝑥 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL  Una solución de una ED es una función que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad. Si una solución de una ED es una función explícita, se dice que es una solución explícita. Análogamente, si la función está dada en la forma implícita, se dice que es una solución implícita.  Ejemplo. Determine si la función 𝑦 = 2𝑒 3𝑥 − 𝑒 2𝑥 es una solución de la ED: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑦 = −2𝑒 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

La forma general de una EDO de primer orden es: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0 Si en esta expresión es posible despejar 𝑦′ , se obtiene 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 Otra forma de expresar una EDO de primer orden es 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 La solución general de la EDO dada es una función: 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 que satisface la EDO de primer orden para cualquier valor de 𝐶. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

EDO DE VARIABLES SEPARABLES  Son las ecuaciones diferenciales de la forma

𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0

las cuales se pueden reescribir como:

𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 cuya solución general se obtiene integrando en ambos lados de la ecuación

න 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

OBSERVACIÓN:  La EDO de la forma:

f1 ( y) g1 ( x)dx = f 2 ( y) g2 ( x)dy  Se denomina EDO de variables separables, puesto que es posible hacer una reescritura como una EDO con variables separadas:

f 2 ( y) g1 ( x) dy = dx f1 ( y ) g 2 ( x) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

OBSERVACIÓN:  La misma que se puede escribir de la siguiente forma:

f ( y )dy = g ( x)dx

Donde: 𝒇(𝒚) es una función exclusivamente de 𝑦 𝒈(𝒙) es una función exclusivamente de 𝑥 Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

 f ( y ) dy =  g ( x ) dx DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

EDO DE VARIABLES SEPARABLES Ejemplo. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ′ 4𝑦𝑦 +𝑥 =0 1.

𝑑𝑦 1 − 𝑥 2 = 2. 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑦 3. = 𝑦 2 + sen 𝑥 𝑑𝑥 4. sen 3𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 cos 2 3𝑥𝑑𝑦 = 0 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

CONCLUSIONES  ¿Qué diferencia existe entre una EDO y EDP?  ¿Cómo identificas el orden, el grado y la linealidad en una ecuación diferencial?  ¿Cuál es la interpretación geométrica a la solución general de una EDO?  ¿Cómo identificas si una EDO es de variable separable? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DIAPOSITIVA N° 17

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 Bronson R. y Costa G. Ecuaciones Diferenciales.  Nagle - Saft - Snider. Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera.  Zill G. y Cullen M. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DIAPOSITIVA N° 18