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• Ana Rodriguez

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ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Semana 03 - Sesión 02

TEMA DE LA SESIÓN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante calcula e interpreta las medidas de tendencia central para datos agrupados.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son valores representativos que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son:

• MEDIA ARITMÉTICA • MEDIANA • MODA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

EJEMPLO 1 Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una semana. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente:

Solución: Número de defectos (𝒙𝒊 )

Numero de radios (𝒇𝒊 )

𝒙 𝒊 𝒇𝒊

0

12

0

Número de defectos

Numero de radios

1

15

15

0

12

2

17

34

1

15

3

6

18

2

17

Total

50

67

3

6

Total

Calcule e interprete la media.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

67 𝑥= = 1.34 50 Interpretación: El número promedio de defectos de los 50 radios examinados es aproximadamente uno.

EJEMPLO 2 La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180 personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo. Duración de llamadas (minutos)

Numero de personas

[1 , 8[

36

[8 , 15[

42

[15 , 22[

48

[22 , 29[

24

[29 , 36[

18

[36 , 43[

12

Total

Calcule la duración media de dichas llamadas.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Solución:

Duración de llamadas (minutos)

Marca de clase (𝒙𝒊 )

Número de personas (𝒇𝒊 )

𝒙 𝒊 𝒇𝒊

[1 , 8[

4.5

36

162

[8 , 15[

11.5

42

483

[15 , 22[

18.5

48

888

[22 , 29[

25.5

24

612

[29 , 36[

32.5

18

585

[36 , 43[

39.5

12

474

180

3204

Total

3204 𝑥= = 17.8 180 La duración media de dichas llamadas es de 17.8 minutos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS: Discreto

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

EJEMPLO 3 Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una semana. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente: Número de defectos

Numero de radios

0

12

1

15

2

17

3

6

Total

Calcule e interprete la mediana.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Solución: Número de defectos (𝒙𝒊 )

Numero de radios (𝒇𝒊 )

𝑭𝒊

0

12

12

1

15

27

2

17

44

3

6

50

Total

50

50 2

= 𝟐𝟓 𝒚 12 ≤ 𝟐𝟓 < 27 𝑀𝑒 = 1 Interpretación: El 50% de las 50 radios examinadas tienen un defecto o menos. Posición:

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS: Continuo

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

EJEMPLO 4 La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180 personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo. Duración de llamadas (minutos)

Numero de personas

[1 , 8[

36

[8 , 15[

42

[15 , 22[

48

[22 , 29[

24

[29 , 36[

18

[36 , 43[

12

Total

Calcule e interprete la mediana. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Solución: Número de personas (𝒇𝒊 )

𝑭𝒊

[1 , 8[

36

36

[8 , 15[

42

78

[15 , 22[

48

126

[22 , 29[

24

150

[29 , 36[

18

168

[36 , 43[

12

180

Total

180

Duración de llamadas (minutos)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Posición:

180 2

= 𝟗𝟎 𝑦

78 ≤ 𝟗𝟎 < 126

Entonces, 𝑀𝑒 ∈ [15 , 22[

Usando la formula de mediana tenemos: 90 − 𝟕𝟖 𝑀𝑒 = 15 + 7 = 16.75 48

Interpretación: El 50% de las 180 personas realizan una llamada telefónica cuya duración es menor o igual a 16.75 minutos.

MODA PARA DATOS AGRUPADOS: Discreto

EJEMPLO 5: Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una semana. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente: Número de defectos

Numero de radios

0

12

1

15

2

17

3

6

Total

Calcule e interprete la moda MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Solución: Como la mayor frecuencia absoluta es 𝑓𝑖 = 17, Entonces: 𝑀𝑜 = 2 Interpretación: El número de defectos mas frecuente que tienen las 50 radios examinadas es dos.

MODA PARA DATOS AGRUPADOS: Continuo

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

EJEMPLO 6 La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180 personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo. Duración de llamadas (minutos)

Numero de personas

[1 , 8[

36

[8 , 15[

42

[15 , 22[

48

[22 , 29[

24

[29 , 36[

18

[36 , 43[

12

Total

Calcule e interprete la moda. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Solución: Duración de llamadas (minutos)

Numero de personas (𝒇𝒊 )

[1 , 8[

36

[8 , 15[

42

[15 , 22[

48

[22 , 29[

24

[29 , 36[

18

[36 , 43[

12

Total

180

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Como la mayor frecuencia absoluta es 𝑓𝑖 = 48, Entonces: 𝑀𝑜 ∈ [15 , 22[ Aplicando la formula de moda: 𝑑1 = 48 − 42 = 6 𝑑2 = 48 − 24 = 24 𝑀𝑜 = 15 + 7

𝟔 = 16.4 6 + 24

Interpretación: La duración de llamadas más frecuente realizada por las 180 personas es 16.4 minutos.

EJEMPLO 7 En el siguiente histograma: Sueldos mensuales de 200 empleados de la empresa MARVISUR 70

a. Indique la variable y el tipo de variable.

60

N° de empleados

50

b. ¿Cuál es el sueldo más frecuente? 40

c. ¿Cuál es el sueldo medio de los empleados de la empresa?

30 20

d. ¿Cual es el sueldo mínimo del 50% de los empleados que ganan más?

10 0 900

1100

1300

1500

Sueldos mensuales (S/.)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1700

1900

c. 𝑥 =? Reconstruyendo la tabla de distribución de frecuencias:

Solución: a. Variable: Sueldo mensual (soles) de un empleado. Tipo de variable: Cuantitativa continua.

b. 𝑀0 =? Observando el histograma se tiene que: 𝑀𝑜 ∈ [1000 , 1200[ Usando la formula de moda: 𝑑1 = 60 − 40 = 20 𝑑2 = 60 − 50 = 10 𝑀𝑜 = 1000 + 200

𝟐𝟎 = 1133.3333 20 + 10

El sueldo más frecuente es de 1133.3 soles. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

𝒙𝒊

𝒇𝒊

𝒙𝒊 𝒇𝒊

[800 , 1000[

900

40

36000

[1000 , 1200[

1100

60

66000

[1200 , 1400[

1300

50

65000

[1400 , 1600[

1500

20

30000

[1600 , 1800[

1700

20

34000

[1800 , 2000[

1900

10

19000

200

250000

Sueldo

Total

250000 𝑥= = 1250 200 El sueldo medio de los empleados de la empresa es 1250 soles.

Solución:

𝑑. 𝑀𝑒 =?

.

Posición:

Sueldo

𝒇𝒊

𝑭𝒊

[800 , 1000[

40

40

[1000 , 1200[

60

100

[1200 , 1400[

50

150

[1400 , 1600[

20

170

[1600 , 1800[

20

190

[1800 , 2000[

10

200

Total

200

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

200 2

= 𝟏𝟎𝟎 𝑦

100 ≤ 𝟏𝟎𝟎 < 150

Entonces, 𝑀𝑒 ∈ [1200 , 1400[ Usando la formula de mediana tenemos: 𝑀𝑒 = 1200 + 200

100 − 𝟏𝟎𝟎 = 1200 50

El sueldo mínimo del 50% empleados que ganan más es de 1200 soles.

1. ¿Cómo se calculan medidas de tendencia central para datos agrupados? 2. ¿Para qué sirve una medida de tendencia central?

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

TAREA: S03.s2 - Resolver el ejercicio Una empresa que se dedica a preparar dietas proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa. Los empleados de la compañía se presentaron como voluntarios para dicha dieta. Se realizó un muestreo de 45 empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados del chequeo de los pesos (en kg.) se muestran en el histograma. ¿Cuál es el peso más frecuente de los empleados? (Antes de responder debe indicar la variable)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL