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• Gonzalo Chavez Marroquin

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Capítulo 3 FUNCIÓN INYECTIVA - FUNCIÓN INVERSA Antes de convencer al intelecto, es imprescindible tocar y predisponer el corazón.

BLAISE PASCAL LOGRO DE LA SESIÓN:

Al nalizar la sesión, los estudiantes reconocen las condiciones sucientes y necesarias para determinar y hallar una función inversa

3.1. Función Inyectiva (uno a 3.2. Función Sobreyectiva uno) Decimos que una función f : A ⊂ R → B es f : A⊂R→R a, b ∈ A con f (a) = f (b),

Decimos que una función es inyectiva si para implica que

sobreyectiva si y sólo si

∀y ∈ B, ∃x ∈ Dom(f )/y = f (x).

a = b.

Ejemplo 8. Indique si es verdadera la respuesta a la pregunta:

Ran(f ) = B, o también

podemos decir que:

Esto quiere decir que todo elemento de imagen por lo menos de un elemento de

B es A.

3.3. Función Biyectiva La función

f

es biyectiva, si es inyectiva y

sobreyectiva simultáneamente.

Ejemplo

f (x ) =

x −2 x +3 ;

Solución. :

28

9.

Determine

x 6= −3 ,

si

es inyectiva

la

función

FUNCION INVERSA

3.4. Función Inversa

Ejemplo 11. Determine si f (x ) con

Si

f : A −→ B

es una función inyectiva, en-

tonces existe la función inversa de por

f −1 ,

donde

f −1 : B −→ A,

f,

denotada

denido por

x ∈ [7 ; +∞]tiene

= x 2 − 8x + 7

función inversa.

f −1 . −1 b) Gracar las funciones f y f a) Si la tuviera, halle

en un solo

plano cartesiano

f −1 (y)

=x

Es decir, si

f

si y solo si

f (x ) = y

es inyectiva y

f (x ) = y ,

Solución. : en-

tonces cuando resolvemos la ecuación anterior para

x

en términos de

inversa de

y,

obtenemos la función

f : f −1 (y).

Tener en cuenta que:

Df −1 = Rf

y

Rf −1 = Df

Propiedades: a) Si

(x, y) ∈ graf (f )

entonces

(y, x) ∈

graf (f −1 ). b) Si c) Si

y = f (x) entonces x = f −1 (y). x ∈ Dom(f ) entonces f −1 (f (x)) = x. = x 2 − 8x + 7 −1 tuviera, halle f

Ejemplo 10. Determine si f (x ) tiene función inversa. Si la

Solución. :

UTP Sede Arequipa

.

Página 29

FUNCION INVERSA

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 3

Sesión 02

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

√ f (x ) = 1 − 4x − 5 −1 tuviera, halle f

1. Determine si la función tiene inversa. Si la

2. Siendo

f (x ) =

3 −x 4 ;

mostrar que las

g(x ) = 3 − 4x . Defunciones f y g son in-

versas entre si.

Solución. :

Solución. :

Respuesta:

f es 1 − 1

la función inyectiva f (x) √ − x2 + 6x − 7 con x ∈ h−∞; −7]. −1 termine su función inversa f

3. Dada

Solución. :

Respuesta:

UTP Sede Arequipa

Respuesta:

= De-

s´ı

4. Dada la función inyectiva

ln(7 − 5x) f −1

f (x) = 4 −

. Determine su función inversa

Solución. :

Respuesta: Página 30

FUNCION INVERSA

5. Determine si

[0, 4]

f (x) = x2 − 1

donde

x ∈

tiene función inversa. Si tuviese in-

f −1

6. Sean

f

y g funciones inyectivas tax +3 f −1 (x ) = x2x −3 y g(x ) = x −3 ; si
◦ f (u) = 4 . Determine el valor de

les que

solo plano cartesiano

g −1 u

Solución. :

Solución. :

Respuesta:

Respuesta:

versa graque las funciones

f (x ) = x 3 + 2 ; g(x ) = g −1 (f −1 (−6 ))

7. Sean lar

f

Solución. :

y

en un

x −2 x +3 , calcu-

7 2

8. En cierto país, el impuesto sobre ingresos menores o iguales a $20,000 es el 10 %. Para ingresos mayores a este monto, el impuesto es $2,000 más 20 % de la cantidad que pase de $20,000

a)

Encuentre una función que de el impuesto a la renta en un ingreso x

b)

Encuentre

c)

Encuentre

f −1 .

¾Qué representa?

f −1 (10 , 000 ).

¾Qué re-

presenta?

Solución. :

Respuesta: Respuesta:

− 34

UTP Sede Arequipa

f (x ) = 51 x − 2000 ;

f −1 (x ) = 5 (x + 2000 ); f −1 (10 , 000 ) = 60 , 000

Página 31

FUNCION INVERSA

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 TAREA DOMICILIARIA 1. Un recipiente contiene

100

que el recipiente se vacíe en

galones de agua, que salen de una fuga en el fondo, lo que causa

40

minutos. La

ley de Torrichelli proporciona el volumen de

agua que permanece en el recipiente después de

V −1

Halle

f

3. Demostrar que 4. Demostrar que

V (t) = 100(1 − 0,025t)2 .

V −1 (25) √ def (x ) = 2x − 4 − 4

f

y y

g

g

son inversas entre si. Siendo

son inversas entre si. Siendo

f (x ) =

x −5 3x +4 ;

f (x ) = x 2 − 4

g(x ) =

con

5 +4x 1 −3x

x ≥0

y

g(x ) =

√ x +4

x ≥ −4

5. Hallar y gracar la función inversa si existe de 6. Determine si la función

f (x ) = x 2 − 6x + 15

8. Sean

g −1

f (x ) = 2x 2 + 8x − 1 ;

f (x ) =

f y g funciones inyectivas tales que f (x ) =
◦ f (u) = 3 . Hallar (f −1 ◦ g)(u + 2 )

f

una función inyectiva. si

valor de

f ( x +1 x )=1

0≤x ≤5

es inyectiva o no.

7. Hallar y gracar la función inversa si existe de

9. Sea

minutos como:

e indique que representa

2. Hallar la función inversa si existe

con

t

y

√

3x x −2 ;

f −1 (x ) =

7 −x +4

x 6= 2

y

g(x ) =

x +3 x −2 ;

3x 3x +1 ; para cierto real

x 6= 2

x.

. si

Hallar el

M = 4x − 5

10. Hallar y gracar la función inversa si existe de

f (x ) = e x +1

11. Por sus servicios, un investigador privado requiere una tarifa de retención de 500 soles más 80 soles por hora. represente con

x

el número de horas que emplea el investigador

trabajando en un caso.

a)

Encuentre una función que modele la tarifa del investigador

b)

Encuentre

f −1 .

¾Qué representa?

c ) Encuentre f −1 (1220 ). ¾Qué representa?

12. Dada la función inyectiva

f (x) = 3 + e4x−1 )

. Determine su función inversa

f −1

Respuestas: 1: 2: 3: 4: 5:

V −1 (25) = 20min f −1 (x) = 21 (x + 4)2 + 2 s´ı s´ı q −1 f es 1 − 1; f (x ) = x +9 2 −2

6: No es 1-1

s´ı es 1-1; f −1 (x ) = 7 − (x − 4 )2 8: −6 9: −21 10: s´ ı es 1-1; f −1 (x ) = ln(x ) − 1 −1 (x) = x−500 ; f −1 (1220 ) = 9 11: f 80 7:

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