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• Robert Flores

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FUNCION INVERSA FUNCIONES INYECTIVAS (UNO A UNO) Comparemos las funciones 𝑓 y 𝑔 cuyos diagramas se muestran en la figura. Observe que𝑓nunca toma el mismo valor dos veces (cualesquier dos números en A tienen imágenes diferentes), mientras que g toma el mismo valor dos veces (2 y 3 tienen la misma imagen, 4). En símbolos, 𝑔 2 = 𝑔 3 pero𝑓 a ≠ 𝑓(b) siempre que a ≠ b . Las funciones que tienen esta última propiedad se denominan INYECTIVAS.

𝑓 es Inyectiva

𝑔 no es Inyectiva

DEFINICION DE FUNCIONES INYECTIVAS (UNO A UNO) Una función con dominio A se denomina Inyectiva si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, esto es, a ≠ b, entonces 𝑓 a ≠ 𝑓 b . Nota: Una forma equivalente de escribir la condición para una función uno a uno es ésta: 𝑓 a = 𝑓 b , entonces a = b, .

PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL Una función es inyectiva si y sólo si al trazar una recta horizontal, ésta la puede cortar a lo más en una vez.

No es Inyectiva

Es Inyectiva

Ejemplo Determinar gráficame si las siguientes funciones son inyectivas: 𝑎)𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5

b)𝑓 𝑥 = 4 − 3𝑥

c)𝑓 𝑥 = 𝑥 2

FUNCION INVERSA Definicion: Sea f una función inyectiva con dominio A y rango B. Entonces su función inversa tiene dominio B y rango A y está definida por: 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑓 𝑥 = 𝑦 para cualquier 𝑦 en B. Esta definición dice que si 𝑓 toma 𝑥 por 𝑦, entonces 𝑓 −1 regresa 𝑦 a 𝑥. (Si 𝑓 no fuera inyectiva, entonces 𝑓 no estaría definida de manera única.) El diagrama de flechas de la figura indica que𝑓 −1 invierte el efecto de 𝑓. De la definición tenemos 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅𝑎𝑛𝑓 −1 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 −1

CÓMO HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN

1. Verificar si la función es inyectiva. 2. De 𝑦 = 𝑓(𝑥), intercambie 𝑥 por 𝑦. 3. Despejar 𝑦 en términos de 𝑥. La ecuación resultante es 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 . GRAFICA DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de 𝑓 −1 𝑥 se obtiene al reflejar la gráfica de 𝑓 en la recta 𝑦 = 𝑥.

Ejemplo: Encuentre la inversa de la función: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3. Graficarlos en un mismo plano.

Ejemplo: Encuentre la inversa de la función: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3. Graficarlos en un mismo plano. Resolución: 1. Verificamos que 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 es inyectiva (toda recta oblicua lo es). 2. De 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 2𝑥 + 3, intercambiamos 𝑥 por 𝑦: 𝑥 = 2𝑦 + 3 3. Despejar 𝑦 en términos de 𝑥. La ecuación resultante es 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 . 𝑥 = 2𝑦 + 3 ⟹ 𝑥 − 3 = 2𝑦 𝑥 3 𝑥 3 𝑦= − ⟹ 𝑓 −1 𝑥 = − 3 2 3 2 Grafica: 𝑓 𝑦=𝑥

𝑓 −1

Ejemplo: Encuentre la inversa de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3. Graficarlo junto a 𝑓. Resolución: 1. Verificamos que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 (𝑥 ≥ −3) es inyectiva (toda raíz cuadrada lo es). 2. De 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥 + 3, intercambiamos 𝑥 por 𝑦: 𝑥 = 𝑦 + 3 3. Despejar 𝑦 en términos de 𝑥. La ecuación resultante es 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 . 𝑥 = 𝑦 + 3 ⟹ 𝑥2 = 𝑦 + 3 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 2 − 3 𝑦 = 𝑥2 − 3 ⟹ Grafica:

𝑦=𝑥

𝑓 (0, 3)

𝑓 −1 (−3,0)

( 3, 0) (0, −3)

PRACTICA I. Encuentre la inversa de la función 𝑓 −1 𝑥 . Proporcionar su dominio y graficarlo junto a 𝑓 en un mismo plano. 1)𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 6

2)𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5

2𝑥 − 3 3)𝑓 𝑥 = 𝑥+1

5)𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3

6)𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2

7)𝑓 𝑥 = 𝑥 3

II)Nos dan la gráfica de una función 𝑓. (a) Encuentre el dominio y rango de 𝑓. (b) Trace la gráfica de 𝑓 −1. (c) Encuentre la rapidez de cambio promedio de 𝑓 entre 𝑥 = 2 y 𝑥 = 6. I)

II)

III)

𝑥+3 4)𝑓 𝑥 = 𝑥−2 8)𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 5