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• MARLON VELASQUEZ

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“ MÉTODO DE RIGIDEZ PARA ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES” CURSO

:

DOCENTE :

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

ING. IVAN LEON MALO

NUEVO CHIMBOTE - OCTUBRE , 2018

ARMADURAS PLANAS Las estructuras articuladas pueden considerarse una particularización de las reticuladas, en el caso de tener ambos extremos articulados. Por dicho motivo, los momentos en extremo del elemento son nulos. Si existen directamente aplicadas en las piezas, las piezas o elementos biarticulados solo sufren flexión local y los momentos flectores y esfuerzos cortantes pueden hallarse directamente estudiando las piezas aisladas como biapoyadas. Por tanto, en una estructura como de la “Figura 1” se tendrán, en primer lugar, unos esfuerzos locales de flexión y cortante debidos a la carga directamente aplicada sobre las piezas y, en segundo lugar, unas fuerzas aplicadas en los nudos, resultantes de trasladar la carga de las piezas a los nudos. Este segundo caso de carga da lugar únicamente a esfuerzos axiales en las piezas y es el que se estudia en el cálculo matricial de la estructura que queda, de esta manera muy simplificado. PL PL P P 2 2 B A A B A B PL 2

PL 2

FLEXIÓN LOCAL UNS / AE-II / IVAN

SOLO AXIALES

FIGURA 1. ESTRUCTURA ARTICULADA PLANA

I.- MATRICES DE ELEMENTO DE ARMADURA: Al desarrollar las matrices para un elemento, hay dos matrices que debe desarrollarse. Estas son la matriz de rigidez y la matriz de transformación. A) MATRIZ DE RIGIDEZ: F

1

K

2

F

F

F

Para 1:

Para 2: X1

X2

KX 1

-KX2

-KX1

KX2

Ensamblando tenemos:

F1 F2

=

K -K -K K

x

X1 X2

Pero las estructuras no están realmente compuestas de resortes. Ellas están compuestas de vigas, columnas y barras. Si usamos la ecuación para la deformación de una barra prismática cargada axialmente se tiene:

= UNS / AE-II / IVAN

FL AE

F = AE x L

………Ecuación 1

En la ecuación 1 observamos que el término (AE/L) es análogo a la constante de resorte en la ley de Hooke. (AE/L) es la rigidez de una barra axial. Por lo tanto, reemplazando en la matriz de rigidez se tiene: K=

AE AE L L AE AE L L

B) MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN: La matriz de transformación para el elemento de armadura puede desarrollarse con base en los principios de equilibrio. En cada nodo del elemento, las fuerzas resultantes que actúan en éste deben ser las mismas, expresadas ya sea en coordenadas del elemento (fa y fb) o en coordenadas globales (f1g, f2g, f3g, f4g) f4g

j

f2g

i

O

f3g

(Coordenada global en el extremo j)

fb (Coordenada local en el extremo j)

fa (Coordenada local en el extremo i) f1g

(Coordenada global en el extremo i)

FIGURA 2. COORDENADAS DE ELEMENTO – LOCALES Y GLOBALES UNS / AE-II / IVAN

Las cuatro ecuaciones siguientes pueden escribirse como se muestra en la “Figura 2”. EN FORMA MATRICIAL

f1g f2g f3g f4g

= = = =

fa cos O fa sen O fb cos O fb sen O

0 f1g cos O 0 f2g sen O fa x = 0 f3g cos O fb 0 f4g sen O

El lado izquierdo de esta ecuación es el vector de las fuerzas de extremo del elemento en coordenadas globales. El último término en el lado derecho es el vector de las fuerzas de extremo en coordenadas del elemento (coordenadas locales). El primer término en el lado derecho es la matriz que mapea las coordenadas del elemento en coordenadas globales. Esta matriz es la traspuesta de la matriz de transformación [T] para el elemento de armadura. Ecuaciones similares pueden plantearse si consideramos desplazamientos en los extremos del miembro en lugar de fuerzas. La matriz de transformación mapea fuerzas y desplazamientos de un sistema coordenado al otro; sin embargo, ella no mapea la rigidez del elemento. UNS / AE-II / IVAN

II.- MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES A COORDENADAS GLOBALES: Se tiene: [F] = [K] [D] Donde la matriz de rigidez de toda la estructura está formada por el ensamblaje de la matriz de rigidez individual de cada elemento o miembro. Se ha visto que:

yg

yL

xL

xg Sistema Global del elemento

Sistema Local del elemento

fL dL

f g dg

Debemos buscar la forma de transformar las fuerzas “f” de miembro y los desplazamientos “d” de miembro definidos en coordenadas locales a un sistema de coordenadas globales o de estructura.

yg yL UNS / AE-II / IVAN

xL O

xg

Relacionando desplazamientos, tenemos: 4L

4g

1g Sistema Global f g dg

Por tanto:

2L

3g

2g

1L

3L O

Sistema Local

fL dL

dL = Tg x dg Donde: dL: Matriz de desplazamientos de extremo en su sistema local. Tg: Matriz de transformación. dg: Matriz de desplazamientos de extremo en su sistema global.

UNS / AE-II / IVAN

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN:

Esta matriz es generada dando desplazamientos unitarios a cada GDL. 1) Para d1g = 1, resto = 0

d4L

dL =

d1L d2L d3L d4L

dL =

d1L d2L d3L d4L

d3L d2L

e 1s

d1g = 1

nO

d1L

s

o 1c

O

O

=

1cos O -1sen O 0 0

=

1sen O 1cos O 0 0

2) Para d2g = 1, resto = 0

d4L d2g = 1

1c

d3L

UNS / AE-II / IVAN

O

d1L

os

d2L

1s

O n e

O

3) Para d3g = 1, resto = 0

d4L d3L

en O

d1L

dL =

d1L d2L d3L d4L

dL =

d1L d2L d3L d4L

1s

d2L

O s o c 1 d3g = 1

O

=

0 0 1cos O -1sen O

=

0 0 1sen O 1cos O

4) Para d4g = 1, resto = 0

d4g = 1

1c

d4L

os

d3L

O

d2L d1L UNS / AE-II / IVAN

O

e 1s

n

O

PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD:

Se tiene:

yg yL

xL

d2g d2L

D

d1L

xg

d1g

Por Pitágoras: 2

2

2

2

=

d 1g d 2g

2

D = d1L + d 2L = d 1g + d2g

………Ecuación 2

Matricialmente: d 1L d 2L

x

d 1L

x

d 2L T

dL UNS / AE-II / IVAN

x

dL

d 1g d 2g

=

T

dg

x

dg

………Ecuación 3

-1

d L = Tg

Y se sabe que:

Pero:

dg

T

A = BxC

d g = Tg

T

x

dL

T

A = CxB

T

T

dL = dg

Tenemos:

x

T

x

Tg

………Ecuación 4

Reemplazando la Ecuación 4 en la Ecuación 3, se tiene: T

dL T

T

x

x

T

T

d g x Tg

dL = dg

x

dL = dg

dg -1

x

Tg

Para que la Ecuación 5 cumpla:

T

-1

Tg = Tg

UNS / AE-II / IVAN

x

dL

………Ecuación 5

III.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE MIEMBRO O ELEMENTO: -1

d L = Tg

Se sabe que:

x

dg

d g = Tg………Ecuación x dL 6

Podemos relacionar las cargas nodales y desplazamientos nodales de un sistema local mediante: f L = KL x d L ………Ecuación 7 Donde: f L : Vector de cargas del elemento o miembro. KL : Matriz de Rigidez local del elemento o miembro. d L : Matriz de desplazamiento local del elemento o miembro. Reemplazando la Ecuación 6 en la 7:

f L = KL

x

Tg

x

dg

Tg

x

f

= KL

g

f L = Tg

, pero

Tg

x

dg

x

f UNS / AE-II / IVAN

x

f

g

= KL

-1

g

= Tg

x

KL

x

Tg

x

Tg

-1

x

x

d g Tg

dg

f

g

………Ecuación 8

Si a la Ecuación 8 le multiplicamos:

Tg

x

f

-1

g

= Tg

x

KL

x

Tg

x

d g , En otras palabras:

-1

Kg = Tg

x

KL

Kg T

Tg = Tg

Por Ortogonalidad, se tiene: T

Kg = Tg

x

KL

-1

Tg

x

………Ecuación 9

Donde:

KL =

1 -1

1

AE L

2

2

3

1

4

4

1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0

1

0 0 0

4

0

UNS / AE-II / IVAN

1

AE L -1 1

Pero:

KL =

2

2

1

2

2 3

1

3

x

Tg

Así que, operando la Ecuación 9, tenemos:

Kg =

AE L

1cos O -1sen O 0 0 1sen O 1cos O 0 0 0 0 1cos O -1sen O 0 0 1sen O 1cos O

1cos O 1sen O 0 0 -1sen O 1cos O 0 0 0 0 1cos O 1sen O 0 0 -1sen O 1cos O

1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0

Resulta: 2

cos O

Kg =

AE L

sen O cos O 2

-cos O -sen O cos O

UNS / AE-II / IVAN

sen O cos O 2

sen O -sen O cos O 2

-sen O

2

-cos O -sen O cos O 2

cos O sen O cos O

-sen O cos O 2

-sen O sen O cos O 2

sen O

EJERCICIO N°1: Hallar las reacciones y desplazamientos del sistema siguiente:

AE = Constante 2 A = 5.806 x 10-3 m 2 E = 703 069.62 Kg/Cm L = 3.00m

L

10tn L

Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.

4g

3

3g

5g

1

1 , 2 , 3 : Elemento 1g , 2 g , 3 g , 4g , 5g , 6 g : GDL

2

2g

T

1g UNS / AE-II / IVAN

6g

Kg = Tg

x

KL

x

Tg

4g

Para el elemento 1:

3g cos O = cos 90º = 0 sen O = sen 90º = 1

O=90°

1 2g 1g

cos O sen O 0 -sen O cos O 0 Tg = 0 0 cos O 0 0 -sen O

KL =

Kg =

AE L

-1 0 0 0

UNS / AE-II / IVAN

0 0 0 1

0 0 -1 0

0 -1 = 0 0

1 0 -1 0 AE 0 0 0 0 L -1 0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 sen O cos O

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 -1

T

Kg = Tg

x

KL

x

Tg

0 0 0

1 0 -1

0 -1 0 0 0 0 0 1 0

0

0 0 0

0 -1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 -1

0 0 1 0

Kg =

AE L

1g

2g

3g

4g

0 0 0 0

0 1 0 -1

0 0 0 -1 0 0 0 1

1g 2g 3g 4g

6g

Para el elemento 2:

5g O=45°

2

2g

cos O = cos 45º = 2/2 sen O = sen 45º = 2/2

1g

cos O sen O 0 -sen O cos O 0 Tg = 0 0 cos O 0 0 -sen O

KL =

AE 2L

Kg =

AE x 2 2L 2

x 2 2

UNS / AE-II / IVAN

-1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 -1 1

1 -1 = 2 2 0 0

1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 sen O cos O

0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 0 -1

T

Kg = Tg

x

KL

x

Tg

0 0 0

1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0

1 -1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 -1

0 0 1 1

Kg =

AE L

1g

2g

5g

2/4 2/4 - 2/4 - 2/4

2/4 2/4 - 2/4 - 2/4

- 2/4 - 2/4 2/4 2/4

6g

- 2/4 - 2/4 2/4 2/4

1g 2g 5g 6g

Para el elemento 3: 4g 3g

3

O

0 0 sen O cos O

=

1 0 0 0

1 0 -1 0 AE 0 0 0 0 L -1 0 1 0 0

=0°

5g

cos O sen O 0 -sen O cos O 0 Tg = 0 0 cos O 0 0 -sen O

KL =

6g

0 1 0 0

cos O = cos 0º = 1 sen O = sen 0º = 0

0 0 1 0

0 0 0 1

T

Kg = Tg

x

KL

x

0 0 0 3g

Kg =

AE L

1 0 0 0

0 1 0 0

UNS / AE-II / IVAN

0 0 1 0

0 0 0 1

Tg

1 0 -1

0 -1 0 0 0 0 0 1 0

0

0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Kg =

AE L

4g

5g

6g

1 0 -1

0 -1 0 0 0 0 0 1 0

3g

0

0 0 0

6g

4g 5g

Ahora procedemos a ensamblar (expandir) la matriz del sistema. 1g

K=

AE L

2g

3g

4g

2/4 2/4 0 2/4 1+ 2/4 0 0 0 1

0 -1 0

0

1

-1 0

0 1+ 2/4 2/4 0 2/4 2/4

0

-1

- 2/4 - 2/4 - 2/4 - 2/4

5g

6g

- 2/4 - 2/4 - 2/4 - 2/4 -1 0 0

0

1g 2g 3g 4g 5g 6g

Operando se tiene: 1g

K=

4810.71 4810.71 0 0 -4810.71 -4810.71

UNS / AE-II / IVAN

2g

3g

4g

5g

4810.71 18417.45 0

0 0 13606.74

0 -13606.74 0

-4810.71 -4810.71 -13606.74

-4810.71 -4810.71 0

-13606.74

0

13606.74

0

0

-4810.71 -4810.71

-13606.74 0

0 0

18417.45 4810.71

4810.71 4810.71

6g 1g 2g

Tn/m

3g 4g 5g 6g

Aplicando la Ley de Hooke, se tiene:

F=K xD 10 0 F3 F4 F5 F6

=

4810.71 4810.71 0 0 -4810.71 -4810.71

4810.71 18417.45 0

0 0 13606.74

0 -13606.74 0

-4810.71 -4810.71 -13606.74

-4810.71 -4810.71 0

-13606.74

0

13606.74

0

0

0 0

-4810.71 -4810.71

-13606.74 0

0 0

18417.45 4810.71

4810.71 4810.71

0 0

D1 D2

…Ecuación 1

Se puede apreciar que la Ecuación 1 es un poco dificultosa el poder resolverla y esto se complica mas aún cuando la estructura o sistema tiene mas Número de nodos y con ello mas número de GDL. Pero podemos simplificar el cálculo de la siguiente manera: 1g

3g 6g

1g

3g

4g

5g

KLR

6g 1g 2g 3g

K= KRL

2g

UNS / AE-II / IVAN

KLL

5g

4g

2g

KRR

4g 5g 6g

El Vector de Fuerzas:

F1 F2

F =

El Vector de Desplazamientos:

F3 F4 F5 F6

D =

F Restringidas = FRR

Así que tenemos:

FLL

KLL

KLR x

KRL

DLibres = D LL

D3 D4 D5 D6

DRestringidas = D RR

Multiplicando tenemos:

=

FRR

D1 D2

F Libres = FLL

KRR

D LL

FLL = KLL x D LL + KLR x D RR

D RR

FRR = KRL x D LL + KRR x D RR

Pero se sabe que el o los desplazamientos en los apoyos es cero “0”. Por tanto se tiene:

FLL = KLL x D LL UNS / AE-II / IVAN

y

FRR = KRL x D LL

Así que: Los desplazamientos nodales globales lo podemos determinar con la siguiente Ecuación: -1

..…Ecuación 2

D LL = KLL x FLL

Las reacciones del sistema se calcula con la siguiente Ecuación:

FLL = KLL x D LL

y

FRR = KRL x D LL

..…Ecuación 3

Así que, volviendo a la Ecuación 1, tenemos:

KLR

KLL

FLL FRR

10 0 F3 F4

=

F5 F6

4810.71 4810.71 0 0 -4810.71 -4810.71

4810.71 18417.45 0

0 0 13606.74

0 -13606.74 0

-4810.71 -4810.71 -13606.74

-4810.71 -4810.71 0

-13606.74

0

13606.74

0

0

0 0

-4810.71 -4810.71

-13606.74 0

0 0

18417.45 4810.71

4810.71 4810.71

0 0

KRL UNS / AE-II / IVAN

KRR

D1 D2

D LL D RR

Utilizando la Ecuación 2, obtenemos los desplazamientos: -1

D1 D2

-1

D LL = KLL x FLL

4810.71 4810.71

=

4810.71 18417.45

x

10 0

D1 D2

0.00281m -0.000735 m

=

Asimismo utilizando la Ecuación 3, obtenemos las reacciones: F3 F4 F5 F6

=

0

0

0

-13606.74

-4810.71 -4810.71

-4810.71 -4810.71

Graficando Los Desplazamientos

F3 x

F4

0.00281 -0.000735

F5 F6

0 =

10 -10 -10

Graficando Las Reacciones F4 = 10 tn

F6 = 10 tn F5 = 10 tn

D2 = 0.000735 m UNS / AE-II / IVAN

D1 = 0.00281 m

Tn

10 tn

AHORA TE TOCA A TI: HALLAR REACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS

EXITOS!!!! UNS / AE-II / IVAN

HALLAR REACCIONES, DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS AXIALES DE LAS SIGUIENTES ESTRUCTURAS:

UNS / AE-II / IVAN

EXITOS!!!!

ARMADURAS ESPACIALES La formulación o procedimiento para solucionar una armadura espacial es la misma que para armaduras planas. Aquí se debe tener en cuenta que ahora tenemos 3 grados de libertad por nudo. El desarrollo se presentará mediante un ejercicio. EJERCICIO N°2: Hallar las reacciones, desplazamientos y fuerzas axiales del sistema siguiente: Z

Z

60KN

80KN

60KN

80KN

AE = Constante 2

A = 0.001 m

8

2

E = 2.00 x 10 KN/m Y

10.00m

Y

10.00m 3.00m

O 4.00m

4.00m

UNS / AE-II / IVAN

3.00m

3.00m

X

O 4.00m

4.00m

3.00m

X

Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo. Z

Z

3

2

(0, 0, 10)

1

3

1 15 14

Y

11 10

13 6

5

O 4

9

4

12

(-4, 3, 0)

X

8

2 Y (4, 3, 0)

X

O

7 (-4, -3, 0)

GRADOS DE LIBERTAD

(4, -3, 0)

DIRECCIÓN DE ANÁLISIS

Para hallar la longitud de la barra se debe aplicar la fórmula conocida: L = √((Xf-Xi)²+(Yf-Yi)²+(Zf-Zi)²), donde: Xf y Xi son la coordenada final e inicial en el eje "X" respectivamente. Así también con los ejes "Y" y "Z“, por tanto: L = 11.18m. UNS / AE-II / IVAN

Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.

UNS / AE-II / IVAN

HALLAR REACCIONES, DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA ESPACIAL:

Z 40KN

10KN

1600KN Perfil: W10x12 E: 200000000KN/m2 No considerar Peso Propio 12.00m

Y 4.00m

O 5.00m

UNS / AE-II / IVAN

4.00m

X

5.00m

EXITOS!!!!