• Author / Uploaded
• Manuel Arrue

Citation preview

CUARTO GRADO

FICHA Nº 13- 4º SECUNDARIA “TOMANDO DECISIONES SOBRE LA CANASTA FAMILIAR” Las menestras son una gran fuente de proteína vegetal, que representan una ventaja respecto a las carnes, debido a que estas vienen desprovistas de las grasas saturadas y el colesterol. Las menestras contienen minerales, especialmente hierro, el cual proporciona energía y ayuda a combatir problemas como la debilidad y la anemia. La mamá de Roberto y Alberto tiene un comedor escolar. Ella decidió preparar 2 tipos de menestras durante la semana. Roberto va a la bodega y compra 5 kg de frejol canario y 3 kg de pallares, por lo que paga S/ 27 en total. La siguiente semana, Alberto va a la misma bodega y compra 2 kg de frejol canario y 6 kg de pallares, y paga S/ 30 en total. ¿Cuánto cuesta el kilogramo de frejol y el kilogramo de pallar? Si deben comprar, a la semana, 8 kilogramos de menestras, ¿Cuál sería la compra adecuada a fin de que ahorren dinero?

Responde las siguientes preguntas: a) Identifica y completa los datos conocidos: - _________________________________________ - _________________________________________ b) Identifica y define dos variables que representen los datos desconocidos. 𝑥: ________________________________________________________________ 𝑦 : ________________________________________________________________ c) Utilizando las variables que representan los datos desconocidos expresa algebraicamente: La compra que realizó Roberto: ________________________________________ La compra que realizó Alberto: _________________________________________ d) Escribe en cada caso una ecuación que exprese: Gasto total en las compras de Roberto: __________________________________ Gasto total en las compras de Alberto: ___________________________________

1

CUARTO GRADO

e) Dadas las dos ecuaciones, completa la siguiente tabla determinando los valores de “𝑦” para cada valor de “𝑥” dado y luego escribe el par ordenado de la forma (𝑥; 𝑦) Ecuación 1: 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟕 Ecuación 2: 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟑𝟎 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8

𝑦

(𝑥; 𝑦)

𝑥

𝑦

(𝑥; 𝑦)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Punto de intersección de las dos ecuaciones

(

;

)

Usando los valores de tabla anterior, grafica en el siguiente sistema de coordenadas la Ecuación 1 y la Ecuación 2

Escribe las coordenadas del punto de intersección de las gráficas: El par ordenado ( ; ) resuelve la Ecuación 1 y también resuelve la Ecuación 2

(

;

)

¿Qué relación tiene el punto de intersección de las gráficas con el problema propuesto? ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2

CUARTO GRADO

APRENDEMOS Respecto a la situación anterior, sabemos que Roberto compró 5 kg de frejol canario y 3 kg de pallares a S/ 27 en total. Alberto compró 2 kg de frejol canario y 6 kg de pallares a S/ 30 en total. Lo que no sabemos es cuánto cuesta el kilogramo de frejol canario que simbolizaremos por “𝑥”, tampoco sabemos cuánto cuesta el kilogramo de pallares que simbolizaremos por “𝑦”. Si atendemos a la compra de Roberto tendremos que en total gastó S/27 entre frejoles y pallares, es decir: 5𝑥 + 3𝑦 = 27, esta ecuación da un conjunto de soluciones: 5+22=27; 10+17=27; 15+12=27;…………. Si atendemos a la compra de Alberto tenemos que este asciende a exactamente S/ 30, es decir: 2𝑥 + 6𝑦 = 30. Notamos que hay muchas soluciones: 2+28=30; 4+26=30; 6+24=30;………… La idea es encontrar un par ordenado (𝑥;𝑦) que verifique las dos ecuaciones: 5𝑥 + 3𝑦 = 27 { 2𝑥 + 6𝑦 = 30 Esto es lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales. Para encontrar este par ordenado (𝑥;𝑦) que satisfaga el sistema de ecuaciones se requiere tomar en cuenta lo siguiente: SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

SISTEMA INCOMPATIBLE

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

 



 

La solución es única. Analíticamente se obtiene un valor para "𝒙" y un valor para "𝒚" Gráficamente las rectas se cortan en un punto. Las rectas tienen distinta pendiente.





Tiene infinitas soluciones. Analíticamente se llega a la expresión: 0. 𝑥 = 0 o bien 0. 𝑦 = 0 Gráficamente las rectas están superpuestas. Las rectas tienen igual pendiente e igual ordenada al origen.

SISTEMA INCOMPATIBLE  

 

No tiene solución. Analíticamente se llega a la expresión: 0. 𝑥 = 𝑎 o bien 0. 𝑦 = 𝑎, siendo 𝑎≠0 Gráficamente las rectas son paralelas. Las rectas tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen.

3

CUARTO GRADO

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN - Para la interpretación de problemas es muy útil utilizar cualquiera de estos métodos. Veamos con un ejemplo, los distintos tipos de resolución.

- La profesora María, para financiar sus gastos de viaje de Nazca a Chincha, rompió su alcancía, encontrando 30 monedas que sumó en total S/ 78. Todas son de S/ 5 o de S/ 2 ¿Cuántas monedas de cada clase había en la alcancía? 𝒙→ Cantidad de monedas de S/ 5 INTERPRETACIÓN 𝒚 → Cantidad de monedas de S/ 2 DEL 𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟎 { PROBLEMA 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕𝟖

MÉTODO DE REDUCCIÓN - Consiste en multiplicar las ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. - Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. - Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación.

Multiplicando la primera ecuación por -2:

{

−2𝑥 − 2𝑦 = −60 5𝑥 + 2𝑦 = 78

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación:

3𝑥 = 18 → 𝑥 = 6 Sustituyendo 𝑥 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene: 6 + 𝑦 = 30 → 𝑦 = 24

MÉTODO DE IGUALACIÓN - Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita. (por ejemplo 𝒙 ) - Igualar ambas incógnitas y trabajar con una ecuación con una sola incógnita (en este caso será 𝒚) Calcular su valor. - Calcular el valor de la otra incógnita.

{

𝑥 = 30 − 𝑦 78 − 2𝑦 𝑥= 5

30 − 𝑦 =

78−2𝑦 5

→ 𝑦 = 24

Sustituyendo 𝑦 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene:

𝑥 + 24 = 30 → 𝑥 = 6

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones. (por ejemplo 𝒙) - Reemplazar la incógnita despejada en la otra ecuación. - Resolver la ecuación con una incógnita que nos quedó planteada (en este caso quedaría para calcular 𝒚 ) Calcular la otra incógnita.

𝑥 = 30 − 𝑦 5𝑥 − 2𝑦 = 78 → 5(30 − 𝑦) + 2𝑦 = 78 𝑦 = 24 Sustituyendo y en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene:

𝑥 + 24 = 30 → 𝑥 = 6

4

CUARTO GRADO

MÉTODO GRÁFICO

- Despejar de ambas ecuaciones a 𝒚 es decir, escribir las ecuaciones de las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones planteadas de forma explícita. - Graficar ambas rectas en un solo eje cartesiano.

𝑦 = 30 − 𝑥

𝑦=

78−5𝑥 2

ANALIZAMOS 1. Respecto a la situación problemática inicial: Roberto va a la bodega y compra 5 kg de frejol canario y 3 kg de pallares pagando S/ 27 en total. La siguiente semana Alberto va a la misma bodega y compra 2 kg de frejol canario y 6 kg de pallares pagando S/ 30 en total. Cuánto cuesta el kilogramo de frejol y el de pallar? ¿Si deben comprar a la semana 8 kilogramos de menestras, cuál sería la compra adecuada si quieren ahorrar dinero? 5𝑥 + 3𝑦 = 𝟐𝟕 { 𝟐𝑥 + 𝟔𝑦 = 𝟑𝟎 Multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -1: 10𝑥 + 6𝑦 = 54 { −2𝑥 − 6𝑦 = −30 Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación: 8𝑥 = 24 → 𝑥 = 3 Sustituyendo 𝑥 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene: 30 + 6𝑦 = 54 → 𝑦 = 4

5

CUARTO GRADO

¿Si deben comprar a la semana 8 kilogramos de menestras, cuál sería la compra adecuada si quieren ahorrar dinero? 𝑥 = S/ 3 𝑦= S/ 4 TOTAL

1(3) 7(4) S/ 31

2(3) 6(4) S/ 30

3(3) 5(4) S/ 29

4(3) 4(4) S/ 28

5(3) 3(4) S/ 27

6(3) 2(4) S/ 26

7(3) 1(4) S/ 25

La respuesta a la tarea es que deben comprar 7 kilogramos de frejol canario y 1 kilogramo de pallares, gastando en total S/ 25 2. La señora Luisa es una vendedora de telas. Si se vende cada metro a S/ 3 ganaría S/ 80, pero si se vende cada metro de tela a S/ 2,50 perdería S/10 ¿cuántos metros de tela compró? Recuerda: Ganancia = precio de venta – precio de costo . {

Pérdida

= Precio de costo - precio de venta

80 = 3𝑥 − 𝑦 −10 = 𝑦 − 2,5𝑥

𝑥: Número de metros de tela e

𝑦: precio de costo

Despejamos la variable 𝑦 en las ecuaciones para asignar valores a 𝑥. 𝑦 = 3𝑥 − 80

𝑥

0

100 140

𝑦

-80

220 340

𝑦 = 2,5𝑥 − 10

𝑥 𝑦

0

100

140

-10

240

340

Tiene 1 solución

C. S. = {(140; 340)} 6

CUARTO GRADO

Respuesta: Compró 140 metros de tela. 3. Se tienen 10 bolsas de azúcar entre azúcar rubia y azúcar blanca. Carlos compró 2 kilogramos de azúcar rubia y 2 kilogramos de azúcar blanca y pago por ambas S/ 20 ¿Cuántas bolsas son de azúcar rubia y cuántas son de azúcar blanca? 𝑥 + 𝑦 = 10 { 2𝑥 + 2𝑦 = 20 𝑥: Número de bolsas de azúcar rubia e

𝑦: Número de bolsas de azúcar rubia

Despejamos la variable 𝑦 en las ecuaciones para asignar valores a 𝑥. 𝑦 = 10 − 𝑥 𝑥

1

2

3

𝑦

9

8

7

𝑦=

20 − 2𝑥 2

𝑥

1

2

3

𝑦

9

8

7

Todos los pares ordenados son comunes, por lo tanto, hay infinitas soluciones.

4. {

𝑥+𝑦 =7 −𝑥 − 𝑦 = 9

Despejamos la variable 𝑦 en las ecuaciones para asignar valores a 𝑥. 𝑦 = 7−𝑥



𝑦 = −𝑥 − 9 𝑥

-10 -5

0

5

10

𝑥

-10 -5

0

5

𝑦

17

7

2

-3

𝑦

1

-9

-14 -19

12

Analíticamente se llega a la expresión: 0. 𝑥 = 𝑎

-4

10

o bien 0. 𝑦 = 𝑎, siendo 𝑎 ≠ 0

7

CUARTO GRADO

.  

Gráficamente las rectas son paralelas. Las rectas tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen. PRACTICAMOS 1) Dos Estudiantes de la I.E. “Santa Ana” planean hacer una caminata desde su salón de clases hasta el comedor, se dividieron el recorrido en dos etapas es decir, el primero caminó una cierta parte y el segundo culminó el resto. Sabiendo que entre los dos han dado 100 pasos, cada paso del primero mide 50 cm y cada paso del segundo 70 cm. Esta distancia fue de 64m. ¿Cuántos pasos empleó el segundo estudiante para culminar el recorrido?

2) Averigua cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones, representando las dos rectas en el mismo sistema de coordenadas. −𝑥 + 𝑦 = 5 { −2𝑥 + 2𝑦 = 2

8

CUARTO GRADO

3) Relaciona cada sistema de ecuaciones con su representación gráfica

4) En el gráfico se muestran dos balanzas en equilibrio. Las bolsas blancas son de arroz y las marrones son de trigo. Determina el peso en kg de una bolsa de arroz y una bolsa de trigo.

5) En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 por cada respuesta incorrecta. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido?

9

CUARTO GRADO

6) He comprado un cuaderno que costaba 3 soles y para pagarlo he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?

7) Carlos puso S/ 130 soles de combustible a su carro y pagó con billetes de S/ 10 y S/ 20. Si entregó 9 billetes, ¿Cuántos billetes de cada denominación usó para pagar?

2𝑥 + 3𝑦 = 5 8) Resuelve el siguiente sistema: { 3𝑥 − 2𝑦 = 1 Solución gráfica:

10

CUARTO GRADO

9) Resuelve por: sustitución, igualación y gráficamente el sistema: En una clínica veterinaria se hace un recuento de los “pacientes” tratados en el mes de enero. El número de mamíferos tratados excede en 20 al doble del de reptiles. Entre mamíferos y reptiles se han tratado 59 animales. ¿Cuántos mamíferos y reptiles se trataron en la clínica el mes del recuento?

10) Alejandro y María se van al Supermercado a comprar frutas. Alejandro paga S/ 6,60 por 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanas y María paga S/ 3,90 por 2 kg de naranjas y 1 kg de manzanas. ¿Cuánto costó el kg de manzanas y el kg de naranjas?

11) Un mayorista invierte S/ 72 000 en la compra de café y azúcar. El quintal de café cuesta S/ 10 más que el de azúcar que vale S/68. Si hubiera pagado el azúcar al precio del café y viceversa, hubiera gastado S/ 3 450 más. ¿Cuántos quintales más de azúcar vendió?

11

CUARTO GRADO

12) Dos pueblos A y B distan 155 km. A la misma hora salen de cada pueblo dos automóviles que describen trayectorias dada por las ecuaciones 2𝑥 + 𝑦 = 9; −𝑥 + 3𝑦 = 13. El punto de encuentro de los dos autos es: a) (2, 5) b) (- 2, 5) c) (2, -5) d) (5, 2)

13) El perímetro de una sala rectangular es 100m. si el ancho(a) se aumenta en 6m y el largo (l) se disminuye en 6m, la sala se hace cuadrada. Las expresiones que representan esta situación son: a) 2a + 2l = 100 a–6=l+6 b) a + l = 50 a – l = 12 c) 2 a + 2 l = 100 a+6=l-6 d) 2 a - 2 l = 10 a–6=l-6 14) Las dimensiones de la sala del numeral anterior son: a) a = 31 l = 19 b) a = 19 l = 31 c) a= 15 l = 16 d) a= 17 l = 33 15) Resuelve empleando el método que creas conveniente: Una empresa financiera tiene para sus empleados dos niveles de sueldos:, contadores y gerentes, en los departamentos de contabilidad y cobranza. La siguiente tabla muestra las cantidades de empleados en dichos departamentos , así como su respectiva planilla: N° de empleados Departamentos Contadores Gerentes Contabilidad 4 2 Cobranzas 2 3

Planillas (S/) 19 000 21 000

Determinar el sueldo de cada tipo de trabajador.

12