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• Giannina Daisy Quispe Mamani

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TERCERO

FICHA 10

Manual de corrección de los problemas propuestos de la Ficha 10 – 3° Indicadores de evaluación:  Relaciona elementos y propiedades de cuerpos a partir de fuente de información, y los expresa en modelos basados en prismas y cuerpos de revolución.  Describe y relaciona variados desarrollos de un mismo prisma o cuerpo de revolución.  Halla el área y volumen de prismas y cuerpos de revolución empleando unidades convencionales o descomponiendo formas geométricas cuyas medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros.  Plantea conjeturas respecto a la variación del área y volumen en prismas y cuerpos de revolución. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: “OPTIMIZANDO NUESTRA GANANCIA” Pregunta 1: Cono, cilindro y prisma. Pregunta 2: El cono Pregunta 3: El cilindro Pregunta 4: La relación es de 1 a 3. Pregunta 5: Es un prisma de base cuadrada de lado 6cm y una altura de 12cm. Área de la base es 36cm2, por lo que su volumen = 36x12 = 432cm3

ANALIZAMOS PREGUNTA 1: Un fabricante de fluorescente se olvidó cuanto de gas de argón debe poner dentro de un fluorescente esférico y sólo sabe que tiene 144𝜋𝑐𝑚2 de superficie de vidrio. ¿Qué debería hacer? RESOLUCIÓN: Para poder calcular el volumen de gas que debe introducir en el foco, debe conocer el radio. Como sólo sabemos la superficie de vidrio utilizado, eso será suficiente para poder hallar el radio y luego el volumen de gas de argón. Como la superficie de vidrio del fluorescente es 144𝜋 𝑐𝑚2 = 𝑆𝐸 = 4𝜋𝑟 2 , desarrollando la ecuación se obtiene que el radio es 6 cm, esto nos servirá para utilizarlo en la fórmula de 4 4 volumen 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 = 3 𝜋(6)3 = 904,7 𝑐𝑚3de gas de argón a utilizar PREGUNTA 2: Enrique compró para sus hijos una piscina portátil en forma de prisma, y al crecer sus hijos decide comprar una piscina que sea 2 veces más grande los lados de la base y 1,5 veces más grande la altura con respecto al anterior. Si con la primera piscina que compró Enrique estaba pagando por el agua consumida, 8 nuevos soles. ¿Cuánto pagará por esta nueva piscina?

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RESOLUCIÓN: Al ser una piscina muy parecida al anterior, tendremos que saber que el pago es por el consumo de agua en metros cúbicos si la base es 2 veces más y la altura 1,5 veces más de la que compró por primera vez, entonces el volumen aumentará “n2.m” veces el original, donde “n” es la variación con respecto a los lados esto es “n = 2” y “m” la variación con respecto a la altura, esto es “m = 1,5”. Entonces el volumen de la nueva piscina será “2 2.1,5” veces el anterior, esto es 6 veces el volumen anterior, por lo que el costo que tendrá que pagar también será 6 veces, quiere decir que por la nueva piscina pagará 6 veces 8 nuevos soles, que sería igual a 48 nuevos soles. PREGUNTA 3: En el siguiente gráfico con las dimensiones exactas, Juan se encuentra en una juguería, en el que le dan una jarra y un vaso para que el mismo se sirva, y si quisiera compartir con dos amigos, pero no sabe si le alcanzará para el segundo amigo, y sería injusto servirle a uno menos que a los demás ¿Podrá invitar a dos de sus amigos vasos llenos igual que a el? RESOLUCIÓN: Se trata de saber si el jugo que se encuentra en la jarra será suficiente para 3 personas y que todos tengan la misma cantidad. Se observa que el vaso y la jarra tienen el mismo tamaño en la abertura y la altura., la jarra tiene forma de cilindro y el vaso tiene forma de cono invertido. Cómo se desea saber la cantidad de jugo, se está refiriendo a volumen. Según las fórmulas de volumen, el cilindro y el cono tienen una cierta relación, esta es de 3 a 1. Por lo que podemos decir que en la jarra contiene exactamente 3 vasos llenos.

PRACTICAMOS Pregunta 7: Respuesta Adecuada: El estudiante comprende la situación y responde que aumentará en un 96%, ya que las bases serán 140% de “a” y 140% de “b”, mientras que la altura “h” no varía, y al realizar la fórmula resulta 196% a.b.h que es efectivamente 96% mas. Respuesta Inadecuada: El estudiante responde que aumentará en 40%, 80% u otras cantidades porcentuales. Pregunta 8:

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Respuesta Adecuada: El estudiante comprende la situación y responde con explicación adecuada que no serían igual ya que la fórmula del volumen cuando el radio aumentara en 120

2

144

20% sería. 𝜋(120%𝑟)2 . ℎ = 𝜋 (100 𝑟) . ℎ = 𝜋 (100 𝑟) . ℎ = 144%𝜋𝑟ℎ, por lo que es 44% mas del original; y si el aumento sería 20% en la altura, el volumen quedaría 𝜋. 𝑟. 120%ℎ = 120%𝜋𝑟ℎ, esto es solo 20% mas del original.

Respuesta Parcial: El estudiante responde que no serían iguales. Respuesta Inadecuada: El estudiante responde otras respuestas. Pregunta 12: Respuesta Adecuada: El estudiante comprende la situación y responde que el perímetro varía de 2𝜋𝑟 a 4√𝜋. 𝑟, ya que el volumen debe ser igual ya que se usará el mismo material. Volumen del cilindro = 𝜋. 𝑟 2 . ℎ , y el perímetro de su base es 2𝜋𝑟, y el volumen del prisma de base cuadrada = 𝐿2 . ℎ, y su perímetro de la base es 4L. Igualando los volúmenes, tenemos: 𝜋. 𝑟 2 . ℎ = 𝐿2 . ℎ, y de aquí √𝜋. 𝑟 = 𝐿, por lo que el perímetro de la base cuadrada es 4√𝜋. 𝑟.

Respuesta Parcial: El estudiante responde solo que el perímetro aumenta, o realiza un planteamiento adecuado y comete errores de cálculo. Respuesta Inadecuada. El estudiante responde otro tipo de respuestas. Pregunta 13: Respuesta Adecuada: El estudiante marca correctamente las dos figuras que no tienen par alguno.

Respuesta Parcial: El estudiante marca una figura bien y otra mal, pero solo dos. Respuesta Inadecuada: El estudiante comete más errores. A continuación se muestra en la tabla la calve de respuestas de los ítems cerrados.

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Número de Pregunta 1 2 3 4 5 6 9 10 11 14 15

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Clave de respuesta d b c d d c c b c b a

Pregunta 1: La única figura de las mostradas que no se puede usar un molde es la esfera. Respuesta d Pregunta 2: Nuestro planeta tiene la forma aproximada de una esfera, por lo que el volumen 4

4

de nuestro planeta sería: V = 3 𝜋𝑟 3 = 3 𝜋(6370)3 = 1 082 696 932 430. Como nos piden la cantidad de agua y es del 70% de todo el planeta, entonces. 70%. 1 082 696 932 430 = 757 887 852 701 𝑘𝑚3, aproximadamente 757 500 000 000 km3. Respuesta b Pregunta 3: La superficie de la esfera está dado por 𝑆𝐸 = 4𝜋𝑟 2 = 4𝜋(20)2 = 5026,5𝑐𝑚2 Como son 6 paños lo que conforman la pelota se divide entre 6 y resulta aproximadamente 838cm2 Respuesta c Pregunta 4: El área del papel de regalo que envuelve al cono se refiere al área lateral, y aplicando la fórmula tenemos:

𝐴𝐿 = 𝜋(15)(15√17) = 2910𝑐𝑚2 Respuesta d

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Pregunta 5: Se refiere al área total del prisma hexagonal, cada cara lateral tendría un área de 36cm2 como son 6 sería 216cm2, y son dos bases hexagonales, donde cada base está compuesta por 6 triángulos equiláteros de lados 6cm y el área de cada triángulo es 62

√3 4

𝐿2 √3 4

=

= 9√3, como son 6 sería 56√3 = 97, y como son dos bases sería 194, sumado con

216cm2 del área lateral, sería igual a 410cm2 aproximadamente. Respuesta d Pregunta 6: Se tiene dos prismas, en el primer piso un prisma rectangular, y el segundo piso un prisma triangular.

El volumen del primer piso es 8 x 3 x 15 = 360m3, y el volumen del segundo piso es: 8×3 2

× 15 = 180𝑚3 , por lo que en total habrá 540m3.

Respuesta c Pregunta 9: Al ser 6 pedazos la base correspondería a un hexágono, que son 6 triángulos equiláteros.

Por lo que su área sería: 6.

𝐿2 √3 4

= 259,5, de aquí resulta L = 10

Por lo que cada cara del prisma es de 12 x 10 = 120cm2, y como son 6, serían 720cm2. Respuesta c Pregunta 10: Usando la fórmula de Euler, si n = 20, le corresponderá 2n vértices = 40 vértices o uniones, y 3n aristas, esto es 60 aristas que corresponderían a la cantidad de palitos de chupete.

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Respuesta b Pregunta 11: La parte de arriba corresponde a la mitad del área total de un cilindro de 30cm de radio y un metro de altura (100cm), esto es

2𝜋(30).100+2𝜋302 2

= 3900𝜋 = 12246, y la parte de

abajo corresponde al área lateral del prisma que sería: perim. Base x altura = (100 + 60 + 100 + 60 ) . 30 = 9600 Sumando ambos resultados obtenemos 21846 cm 2 Respuesta c Pregunta 14: Para poder calcular el volumen de gas que debe introducir en el foco, debe conocer el radio. Como sólo sabemos la superficie de vidrio utilizado, eso será suficiente para poder hallar el radio y luego el volumen de gas de argón. Como la superficie de vidrio del fluorescente es 256𝜋𝑐𝑚2 = 𝑆𝐸 = 4𝜋𝑟 2 , desarrollando la ecuación se obtiene que el radio es 8cm, esto nos servirá para utilizarlo en la fórmula de 4 4 volumen 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 = 3 𝜋(8)3 = 2144𝑐𝑚3 de gas de argón a utilizar Respuesta b Pregunta 15: 𝑉 = 2826 = 𝜋𝑟 2 . 100, de aquí r = 3. El área lateral del cilindro es 2𝜋𝑟. 100 = 1884𝑐𝑚2 Respuesta a