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• Kike García Manyari

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b). ¿De cuántas, si los hombres se sientan en los extremos? c). ¿De cuántas, si las mujeres se sientan siempre juntas? PERMUTACIONES I.

Permutaciones Lineales.- Son las diferentes maneras en que podemos ordenar todos o algunos de los elementos de un conjunto considerados en una línea abierta. Para el caso de ordenar todos los elementos de un conjunto veamos el siguiente ejemplo: ¿De cuantás maneras se pueden personas en una fila de 4 asientos?

sentar

2.

Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en la foto, sólo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta. ¿De cuántas maneras se puede tomar dicha foto?

3.

Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente, vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre?

4.

Se lanza simultáneamente 3 dados de diferente color. ¿De cuántas maneras distintas puede obtenerse por suma un número mayor que 4?

5.

¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar?

6.

Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas?

7.

Se tiene 3 rosas rojas, 3 amarillas, 3 blancas y 2

4

En general las permutaciones que se obtiene al ordenar “n” objetos, denotados por Pn se calcula como sigue:

Pn = n! Para el caso de ordenar algunos de los elementos de un conjunto veamos el siguiente ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden confeccionar banderas de cinco colores diferentes, si se dispone de 7 paños de distintos colores, y sólo se puede realizar dos costuras verticales?

Ejercicios de Aplicación 1.

De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al cine y encuentran una fila libre de seis asientos.

rosadas. ¿Cuántos ramos de 6 rosas se puede formar, de tal manera que tengan por lo menos una rosa de cada color?

II. PERMUTACIONES CIRCULARES.Son las diferentes maneras en que podemos ordenar los elementos de un conjunto alrededor de un objeto. Si bien en una línea abierta se puede diferenciar claramente la ubicación del primer elemento y del último, esto no es posible en un contorno circular. B A

a). ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse?

C -1– Av. Universitaria 1875 Teléfono: 261-8730

Para poder distinguir un ordenamiento circular del otro, mantendremos uno de los elementos en posición fija y permutaremos los otros dos alrededor de él:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

¿Cuántas palabras diferentes, no necesariamente pronunciables o con sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO?

2.

Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar: 8 vasos, 5 de los cuales contienen whisky, 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto. ¿De cuántas formas lo podrá ordenar?

3.

¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5

En general: P

n

n

= Pn – 1 = (n – 1)!

chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En su campamento por Semana Santa, ¿de cuántas maneras se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata?

MÉTODO DEL ÁRBOL EJERCICIOS DE APLICACIÓN

2. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellas deben estar siempre juntas? 3. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y tres niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío debe quedar entre las niñas?

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Si tenemos “n” elementos, donde uno de ellos se repite “a” veces, otro se repite “b” veces y otro se repite “c” veces, entonces el número de permutaciones diferentes que se pueden obtener con ellos se calcula como sigue: P(n;a,b,c) = n! a!.b!.c!

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1. En un librero hay dos libros de Aptitud Matemática, uno de Lengua y uno de Historia. ¿De cuántas maneras podemos extraer los libros hasta obtener el de Lengua? 2. Un juego consta de una caja que contiene bolas rojas y blancas. Para ganar un punto se debe sacar dos bolas rojas consecutivas o dos bolas blancas sin importar el orden. ¿De cuántas maneras diferentes se puede lograr un punto? 3. Una máquina produce lapiceros de tres colores diferentes (Rojo, Azul y Verde). Se detiene la producción cuando salgan dos colores iguales consecutivamente, tres colores diferentes o se hayan visto cuatro lapiceros cualesquiera. ¿De cuantas maneras se puede parar la producción de la máquina?

Conteo

CONTEO POR AGRUPACIÓN En un grupo, todos los elementos deben relacionarse entre sí, teniendo cuidado de no repetir una relación ya dada. Ejemplo: A una reunión asistieron 5 personas, que se saludaron con un apretón de manos unas con otras. ¿Cuántos saludos se contabilizaron al terminar estos?

2. ¿Cuál es la mayor cantidad de números de dos cifras que se pueden formar con tres fichas en la que se ha pintado un dígito en cada una?

3. Un gerente transmite una orden a dos empleados a las 08:00 horas utilizando 20 minutos. Si cada empleado transmite a otros dos en 20 minutos, ¿cuántas personas saben de la orden hasta las 09:00 horas incluyendo al gerente. 4. Giovanna tiene dos manzanas y tres peras; cada día durante 5 días seguidos da a Carlos una fruta. ¿De cuántas maneras puede efectuar la selección?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. ¿Cuántos partidos se jugaran en un campeonato de fulbito si participan 8 equipos, jugando todos contra todos?

2. En una reunión europea a la que asisten 20 franceses y 10 italianos, se noto que entre compatriotas se saludaban con un beso, y a los demás se les daba la mano. ¿Cuántos saludos con un beso y cuántos apretones de mano hubieron?

3. En una graduación se cuentan 650 regalos para un intercambio. ¿Cuántos graduados hay?

5. Se tienen dos bolsas distintas de basura y tres tachos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las bolsas en los tachos pudiendo hasta meter dos bolsas en un tacho? 6. Tres familias de una vecindad, se ponen de acuerdo para un paseo campestre; cada familia esta constituida por los padres y tres hijos. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar alrededor de una fogata, de tal manera que los padres de cada familia estén siempre en los extremos y los hijos al centro?

Miscelánea 1. Algunos de los dígitos que aparecen en la pantallitas de las calculadoras son inversibles, por que puestos de cabeza no pierden su significado numérico. ¿Cuántos números de cuatro cifras son inversibles?

-3-

Conteo

1.

3.

4.

B) 81

C) 3

D) 6

¿Cuántos números de 3 cifras existen? A) 99 B) 999 C) 899 D) 900

E) 24

E) 100

Se tiene una urna con fichas azules y verdes, para ganar 1 sol, es necesario sacar 2 fichas azules y seguidas o 2 fichas verdes de cualquier forma. ¿De cuántas maneras se puede ganar un sol? A) 7 B) 2 C) 6 D) 8 E) 9 Un producto se vende en 3 mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto? A) 148 B) 17 C) 168 D) 24 E) 236

5.

¿Cuántos grupos diferentes de 2 elementos, se puede formar con 10 elementos? A) 10 B) 100 C) 45 D) 50 E) 55

6.

Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era: A) 12 B) 18 C) 20 D) 14 E) 16 5 viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en hoteles diferentes? A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 30

7.

¿De cuántas maneras diferentes, 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos? A) 864 B) 1 728 C) 688 D) 892 E) 1 700

9.

¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar casino, sí éstas parejas juegan siempre juntas? A) 120 B) 16 C) 48 D) 144 E) 48

¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 3 fichas iguales en un recuadro como se muestra en la figura, si en cada fila y columna haya a lo más una ficha?

A) 27 2.

8.

-4-

10. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra “JAPANAJA”? A) 81

B) 840

C) 120

D) 8

E) 64

11. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? A) 13 B) 10 C) 25 D) 32 E) 31 12. Un palco de 4 asientos, es vendido a 2 parejas. ¿De cuántas maneras diferentes podemos acomodar si cada pareja quiere estar junta? A) 2 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4 13. Un juego consiste en un tablero cuadriculado de 4.4. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila? A) 64 B) 56 C) 132 D) 144 E) 256 14. 4 personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo 2 saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) 24 B) 60 C) 120 D) 240 E) 360 15. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas deben contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27 Conteo

16. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la e y seis consonantes incluyendo la s, de manera que empiecen con e y contengan a s? A) 21 600 B) 3 600 C) 7 200 D) 10 800 E) 9 600 17. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 18. Cierto juego consiste en lanzar dos dados. Se gana el juego si el resultado es: a. La suma da 7 o b. Los dos dados muestran el mismo número. Sea el siguiente experimento: “Se lanzan dos dados, si se gana terminamos el experimento; si no se gana se vuelve a lanzar los dados, terminando el experimento”. ¿Cuántos eventos elementales tiene el espacio de muestras (espacio de posibilidades favorables) asociados al experimento mencionado? A) 1 296 B) 876 C) 864 D) 432 E) 888 19. Los equipos de fútbol de la UNI y de la UNMSM participan en un torneo que consiste en varios partidos. La regla del torneo considera que no hay empates y campeona el primer equipo que gana 2 partidos seguidos o un total de 3 partidos. ¿De cuántas formas se puede desarrollar la serie de partidos? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 20. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se desea elegir un presidente, vice-presidente, -5-

tesorero y un secretario. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. Entonces el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a: A) 2 644 800 B) 2 844 600 C) 2 866 400 D) 3 088 400 E) 3 244 800 21. Un palco de 4 asientos es vendido a 2 parejas. ¿De cuántas maneras diferentes podemos acomodarlos si cada pareja quiere estar junta? A) 2 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4

22. ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español, inglés, francés, portugués y alemán? A) 2 B) 5 C) 10 D) 9 E) 7 23. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? A) 576 B) 625 C) 480 D) 25 E) 24 24. Al ir 5 parejas de esposos al Teatro Segura tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila, ¿de cuántas maneras distintas sentar?, si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y un una mujer. A) 25 600 B) 30 000 C) 25 600 D) 25 E) 625 25. ¿De cuántas formas se pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres, 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer? A) 12 B) 18 C) 8 D) 36 E) 24 26. ¿De cuántas maneras diferentes se puede verter una persona que tiene 6 ternos (2 iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? A) 420 B) 280 C) 288 D) 840 E) 2 800 Conteo

27. ¿Qué cantidad de plátanos puede comer como mínimo un niño de 5 años? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) todos los que pueda

siete loros?, suponga que los loros saben hablar y contar. A) el último B) el segundo C) el tercero D) el primero E) faltan informaciones

28. Hallar el número de partidos de fútbol en un campeonato al que asisten 5 equipos. A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5

34. Luis, hace cigarrillos con las colillas que recoge del suelo. Si necesita 7 colillas para hacer un cigarrillo. ¿Cuántos hará con 49 colillas? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9

29. Si un kilogramo de manzanas tiene de 4 a 6 manzanas. ¿Cuál es el mínimo peso de 4 docenas de manzanas? A) 12 B) 6 C) 8 D) 9 E) 4

35. Una fábrica, ofrece camisas, en tres colores, seis estilos y dos medidas. ¿Cuántos tipos de camisas se ofrece? A) 36 B) 11 C) 45 D) 20 E) 15

30. ¿Cuántos números telefónicos se puede formar de cinco cifras de tal manera que en cada número, tomando por separado; todas las cifras sean diferentes? A) 10 . 5 = 50 B) 5 . 5 = 25 C) 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 30 240 D) 10. 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000 E) Ninguna

36. Se tiene 7 cadenitas de 5 eslabones cada una con las que se quiere construir una cadena única de 35 eslabones. ¿Cuántas veces, como mínimo, se deben abrir y cerrar un eslabón para su construcción? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3

31. El profesor desea hacer una “exhibición” gimnástica con 5 alumnas y 4 alumnos, para ello le pregunta al “ingeniero” de cuántas maneras se puede conformar una figura de tal forma que siempre se encuentre un alumno entre dos alumnas; ah!, y además que siempre hay una alumna en el centro de la hilera, cuál será la respuesta. A) 353,080 B) 1 C) 144 D) 2880 E) N.A.

37. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en “O” pueden obtenerse con las letras de la palabra “MÉDICO”, sin que se repita ninguna palabra y sin importar si las palabras tienen o no sentido? A) 6 B) 24 C) 48 D) 120 E) N.A. 38. ¿Cuál es el máximo número de maneras en que pueden entrar al cine 4 personas ya sea de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4? A) 64 B) 46 C) 12 D) 24 E) N.A.

32. ¿Cuántos cortes debe darle a una tela de “a” metros para dividirla en “n” partes iguales? A) a/n B) n/n-1 C) n D) n-1 E) an/n-1 33. Si se colocan 8 loros uno al costado de otro en fila. ¿Cuál de ellos podría decir al voltearse veo

-6-

Conteo