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• wilman ruiz

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Grupo # 1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS La probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado. En muchas ocasiones de nuestra vida diaria nos enfrentamos a procesos afectados por eventos fortuitos que inciden en los resultados que esperábamos. Dichos procesos son los Procesos Estocásticos.

Ejemplos de procesos estocásticos  Electrocardiograma  Terremotos  El clima  El segundo concreto de un partido en el que un jugador anota un gol  Número de personas que dicen una palabra concreta alrededor del mundo EJEMPLO:

EJEMPLO #1 Un estudiante está cursando las asignaturas álgebra lineal y cálculo durante este semestre. Para estudiar estas asignaturas el estudiante decide seguir las siguientes reglas: 1. Si un día estudia álgebra lineal, al día siguiente estudiará álgebra lineal con probabilidad ½ y cálculo con probabilidad ½. 2. Si un día estudia Cálculo, al día siguiente estudiará álgebra lineal con probabilidad 2/3 y cálculo con probabilidad 1/3. Si el estudiante estudia cálculo el Lunes de una semana, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante estudie álgebra lineal el Jueves de esa misma semana?

PROCESO DE POISSON Se considera una determinada eventualidad que se produce en un soporte continuo (tiempo, área, espacio) de forma independiente y con una cierta estabilidad para una unidad de soporte prefijada. Como ejemplos se pueden considerar un numero de coches que pasan por un semáforo en un periodo de tiempo, el numero de defectos por metro cuadrado de una pieza de tela, etc.

Proceso Gaussiano Los procesos gaussianos se empezaron a estudiar para predicción de series de tiempo en los 40’s (Wiener, Kolmogorov) Propiedades  La suma de gaussianas también es una gaussiana: yi ∼N(µ,σ2) n X i=1 yi ∼N( n X i=1 µi, n X i=1 σ2 i )  Si escalamos una gaussiana, también es gaussiana: yi ∼N(µ,σ2) wy ∼N(wµ,w2σ2)  La distribución gaussiana se puede extender hacia gaussianas multi-variables.

PROCESO TELEGRÁFICO

En la teoría de la probabilidad, el proceso telegráfico es un proceso estocástico de tiempo continuo sin memoria que muestra dos valores distintos. Modela el ruido de explosión (también llamado ruido de pururú o señal de telégrafo aleatoria).

Grupo # 2 EJEMPLO # 1 Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?

EJEMPLO # 2

Grupo # 3

Grupo # 4 Ejercicio Para el siguiente proceso :

Yt ; Yt  0.5Yt 1  at

donde es un ruido blanco con varianza 1.



Calcule la covarianza y función de autocorrelación del proceso hasta el período 4. Autocovarianzas y (1)  E (Yt , Yt 1 )  0.5 y (0) y (2)  E (Yt , Yt 1 )  0.5 y (1)  0.5 2 y (0) y (3)  E (Yt , Yt 1 )  0.5 y (2)  0.5 3 y (0) y (4)  E (Yt , Yt 1 )  0.5 y (3)  0.5 4 y (0)

Aucorrelaciones y (k ) p(k )  y ( 0) y (1) p (1)   0 .5 y ( 0) p ( 2 )  0 .5 2 p (3)  0.5 3 p ( 4 )  0 .5 4

R// En general, la función de autocorrelacion de este proceso decrecerá de forma exponencial acercándose progresivamente a cero

Grupo # 5

Grupo #1 Round 2 Ejercicio de Densidad espectral de Potencia

Grupo #2 Round 2 EJERCICIOS RESUELTOS DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA COMO UN PROMEDIO DE TIEMPO Y FÓRMULAS

Grupo #3 Round 2 Ejercicio #1  Ejemplo 1: Supongamos que H(.) es un filtro pasabanda ideal en tiempo continuo, es decir, H(f) tiene la siguiente representación.

 Computar 𝐸[𝑌 2 (𝑡)] cuando la señal de entrada tiene una densidad de potencia espectral 𝑆𝑥 (𝑓).  (Nota: 𝐸[𝑌 2 (𝑡)] es también conocida como el promedio de la potencia instantánea de Y(t)).

 La definición de la función de autocorrelación de un proceso E.S.A establece que 𝐸[𝑌 2 (𝑡)] = 𝑅𝑦 (0) Luego, aplicando las propiedades de la transformada de Fourier, obtenemos que 𝑅𝑦 (0) = +∞

∫−∞ 𝑆𝑦 (𝑓)𝑑𝑓

 Substituyendo la ecuación en la expresión anterior y utilizando el hecho que H(f) es un pasabanda, obtenemos:

 Si SX(f) es continuo y ∆ es suficientemente pequeño, luego

 Esto implica que

 ∆ = INCREMENTO.  Esta última expresión justifica empíricamente la denominación de densidad espectral para la función 𝑆𝑥 (𝑓).