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• Karlo Sanchez Lamadrid

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• Variable aleatoria
• Proceso estocástico
• Estocástico
• Distribución de probabilidad
• Distribución de veneno

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INTRODUCCIÓN La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas, esto es, de carácter aleatorio. La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una v.a. a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que espera ante una ventanilla de un banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo largo de un año; el número de parados en el sector de Hostelería a lo largo de un año. La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de v.a. {Xn , n ∈ N} donde el subíndice indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente. Esta idea inicial se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de tiempo en los que se definen las v.a. sean continuos. Así, se podrá hablar de una colección o familia de v.a. {Xt , t ∈ R}, que da una idea más exacta de lo que es un proceso estocástico. Se tenía que una v.a. X(s) es una función que va desde un espacio muestral S a la recta real, de manera que a cada punto s ∈ S del espacio muestral se le puede asociar un número de la recta real. De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad de que un valor de X (v.a.) caiga en un cierto intervalo o conjunto de números reales. Si a todo esto se le añade una dimensión temporal, se obtiene un proceso estocástico.

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Definición (Proceso Estocástico)

Dado el espacio de probabilidad (Ω, a, P ) de modo que para todo t ∈ T ⊂ R fijo Xt: (Ω, a, P ) → (R, B) w→ Xt (w) ∈ R Esto es, Xt es una variable aleatoria y ∀w ∈ Ω fijo, X•(w) es una función del tiempo.

Ejemplos: Xt: número de personas que esperan un autobús en un instante t donde t ∈ [9, 10] Xt: precio de una acción de una empresa en un día t del mes (t = 1, 2,. . . , 30).

Xt: número de parados en el mes t (t = 1, 2, . . . 12).

Para que un proceso estocástico esté completamente definido hay que determinar completamente las v.a., es decir, determinar e identificar la distribución de probabilidad aso- ciada a cada una de ellas y, es más, la distribución conjunta de todas ellas.

Definición: Al conjunto T ⊂ R de subíndices se le denomina conjunto paramétrico y puede ser continuo o numerable. De este modo aparece una primera clasificación en procesos estocásticos de parámetro continuo o de parámetro discreto.

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PROCESO ESTOCASTICO DE POISSON Sea

una variable aleatoria que evoluciona monótonamente en el tiempo

pudiendo tomar solamente valores enteros 0, 1,2,3,…,n-1,n,…,de modo que si en el instante es =n,entonces en cualquier instante posterior es significa que la v.a

es monótona).admitimos que para

n(esto es lo que

es =0.

Si además la probabilidad de que en el intervalo infinitesimal de tiempo de a

, de

, la v.a. solamente ´puede aumentar en una unidad, con la probabilidad

infinitesimal

,o permanecer estacionaria con la probabilidad estacionaria con la

probabilidad complementaria 1-

,se dice que la v.a

sigue un proceso

estocástico de Poisson. En la práctica se ajustan este modelo teórico una gran categoría de fenómenos que dependen de múltiples causas que son independientes entre sí e independientes del tiempo, tales como las desintegraciones de átomo radiactivos averías en un proceso de producción, tráfico de pasajeros, vehículos o telefónico,etc. Si llamamos P(n,t) a la probabilidad de que en el tiempo ,la v.a

valga n,se

cumple que: P(

)=P(

)

+P(

)(

); n

(1)

Porque el suceso del Segundo miembro, que es

, se compone de dos

sucesos que mutuamente se excluyen, que son en una unidad en el intervalo de tiempo permaneciendo constante

dt de

, con incremento de a

;y (

)

en el antesitado intervalo infinitesimal de tiempo de

a (1) Es pues el resultado de aplicar el teorema de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. De (1) se sigue que : P(

P(

) P´(

=[P(

(2)

3

A lo que lo mismo: P(

=

(3)

Pero con: P’ Por no poder tomar

(4)

valores negativos.

Este proceso se puede resolver por tres procedimientos distintos, que son: a) Integración de cadenas recurrentes de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. b) Cálculo de integrales múltiples c) Resolución de la ecuación en derivadas parciales de la función generatriz (fg). Aquí únicamente se expondrá el tercero Multiplicando en (3) por

, y sumando, teniendo en cuenta la forma peculiar de

(4), desde cero hasta infinito se obtiene: ∑

∑

∑

(5)

Ahora bien, es: ∑ ∑

∑ ∑

(6) Siendo g(z,t) la fg. por tanto, la (5) se escribe: (7)

4

Y como

, porque

, integrando la (7) se obtiene: (8)

Que es la

de la distribución de Poisson.Se tiene, pues, que: (9)

El valor medio y la varianza son proporcionales al tiempo.

Inversión En El Tiempo Del Proceso De Poisson En el 1 hemos supuesto variable cierta y variable aleatoria, pero podemos considerar

variable cierta y aleatoria, es decir intentar calcular la

probabilidad de que en el intervalo de tiempo de a

alcance el valor de

Para ello vamos a calcular previamente el intervalo de tiempo aleatorio que separa dos valores consecutivos de ,es decir que se tarda en conseguir un incremento de una unidad en el valor de Si llamamos

a la

de esta v.a,es: (10)

También por aplicación de los teoremas de las probabilidades totales y compuestas. Porque el suceso del segundo miembro, es decir que el incremento de

en una unidad se haya producido antes del tiempo

se compone de dos

sucesos mutuamente excluyentes que son que haya producido antes del tiempo ,o que no habiéndose producido antes de ,se produce en el intervalo .observese que producido antes de

es la probabilidad de que el incremento unitario se haya de que se haya producido antes de ,y

probabilidad de que se produzca en el intervalo de tiempo de

es la

a

.De (10)

se sigue que: (11)

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Y de aquí: ( Y como

)

(12)

es C=1,luego: (13)

La derivada

es la

del tiempo aleatorio buscado.se trata de una

distribución exponencial (4-v) cuya función característica (fc) es: (14) Se sigue que el tiempo aleatorio que tarda

en alcanzar el valor

,es la suma de

v.a Independientes, cuya

es la (14), luego su

es: (15)

Que es una v.a gamma de ff (4-v): (16)

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Movimiento Browniano o proceso de Wiener

Se dice que Z [·] es un proceso de Wiener o movimiento Browniano si Z es una función definida en algun intervalo I = [0, T ] (eventualmente puede ser T = +∞), con las siguientes propiedades:

Observación: 1. La proyeccion de Z sobre la coordenada t, Z [t] es una variable aleatoria para todo t ∈ I . En u este sentido se dice que {Z [t]}t∈I es un proceso estoc´astico. 2. La propiedad ii) dice que el proceso es independiente de su historia. 3. Existen procesos que son movimientos Brownianos, pero no es trivial su demostracion. Una de las demostraciones es constructiva y recurre a una base completa de L2 (I ). 4. Se puede probar que con probabilidad uno Z no es diferenciable en ningu´n intervalo [t, t + a].

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