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Problema: En el instante t = 0, un pulso de onda transversal sobre un alambre que viaja en el sentido positivo de la dirección x con una rapidez de 10 m/s, está descripto por la función: y = 6 / x3 + 3 donde x e y están en metros. Calcular la función y = f(x, t) que describiría la función de la onda.

v  10 y ( x t) 

y ( x)  6

( x  v  t) 3

6

x3

3

y ( x t) = y ( x  v t)

onda que sepropaga hacia la derecha sin deformarse

3

5

y ( x 0) 4 y ( x 1) 3 y ( x 2) 2 1 0

0

10

20

x

30

Problema: Un pulso ondulatorio que viaja y se mueve hacia la derecha del eje x se representa po la siguiente función: y = 4 / 2 + ( x - 4 t )2 donde x e y están en cm. y t en segundos. Graficar la forma de la onda en los instantes: t = 0s, t = 1s y t = 2s.3

y ( x t) 

4 2

 ( x  4  t)

2

5

y ( x 0)

4

y ( x 1)

3

y ( x 2)

2 1

5

0

5

x

10

Problema: Se quieren producir ondas transversales con una rapidez de 50 m/s sobre una cuerda tensa de 5 m de longitud y masa 0,06 kg. Calcular la tensión requerida.

v  50  d2 dx2

m s

y ( x t) 

L  5  m 1



d2

 T  dt2 ρ  

M  0.06 kg

ρ 

kg M  0.012 m L 2

y ( x t) = 0

Ec. de onda de la cuerda con: v =

2

T  v  ρ  30 N

T ρ

Problema: Una onda armónica de amplitud 4 cm viaja a lo largo de una cuerda. El t=0 y x=0 es y=2cm. Se observa que el oscilador que produce las ondas completa 40 vibraciones en 3s y como máximo viaja 425 cm a lo largo de la cuerda en 10s. a) Calcular la longitud de la onda y la frecuenc angular. b) Escriba la expresión matemática sinusoidal de la onda.

ymax  4 cm

40

T 

λ  v T  5.667 m

3

 s  13.333 s

k 

2 π

λ

 1.109

v  1 m

ω 

425 cm 10



2 π

T

s

 0.425

 0.471

y ( x t) = ymax sin ( k  x  ω t  φ) 1

2 cm = 4 cm sin ( φ)

sin ( φ) =

y ( x t)  4  cm  sin  1.109 

x  0.471  t  0.524 m s 



1

φ  30º

2 1

φ  0.524

1 s

m s

º  deg

Problema: Un tren de ondas armónico se describe por la función: y = 0,25m sen (0,3 x - 40 t) donde x e y están en m y t en segundos. Indicar el valor de: a) La amplitud de la onda, b) La frecuencia angular, c) El número de ondas, d) La longitud de onda, e) La rapidez de la onda, f) La dirección y sentido del movimiento.

y ( x t)  0.25  m  sin ( 0.3 x  40 t) ymax  0.25 m k  0.3 

1

cm

ω  40  λ 

1

s

2 π

k

T   0.209 m

v 

2 π

ω

 0.157 s

λ m  1.333 T s

La onda oscila en la dirección y, y se desplaza en la dirección x positiva.

Problema: Una onda senoidal viaja por una cuerda en el sentido positivo de la dirección x con las siguientes características: ymáx= 8 cm, λ = 80 cm, f = 3 Hz e y(0,t) = ymáx en t = 0. a) Escriba la expresión de la función y = f(x,t) b) Determine la rapidez de la onda c) Determine el número de ondas

ymax  8 cm

λ  80  cm

f  3 Hz

y ( x t) = ymax sin ( k  x  ω t  φ) y ( 0 0) = ymax

implica que: sin ( φ) = 1

ω  2  π  f  18.85

1 s

k 

2 π

λ

 7.854

T 

1 m

2 π

ω

φ 

π 2

 0.333 s

v  λ T  0.267 s m

 

y ( x t)  0.08  m sin  7.854 

1 π x  18.85  t   2 m s 1

Expresión matemática de la onda en el S.I.

Problema: Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.) y = 0.2 sin (6 π t + π x + π / 4). Calcular: a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación. b) El estado de vibración, velocidad y aceleración transversal de la cuerda en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s. c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.

 1 x  6 π  1 t  s  m

y ( x t)  0.2  m sin  π 

π



4

Ecuación de la onda con las unidades correspondientes en el S.I.

y ( x t) = ymax sin ( k  x  ω t  φ) Datos:

f 

ymax  0.2 m

ω  3 Hz 2π

T 

k  π  1

f

1

m

 0.333 s

ω  6π  λ 

2π

k

1

φ 

s

 2m

d y ( x t) dt

v ( x t)  ω ymax sin ( k x  ω t  φ)

a ( x t) =

d v ( x t) dt

a ( x t)  ω ymax sin ( k x  ω t  φ)

2

fase ( x t) = π 

v ( 0.2  m 0.3 s)  2.666

m s

4

v 

v ( x t) =

y ( 0.2  m 0.3 s)  0.141 m

π λ m  6 T s

velocidad de oscilación transversal instantanea aceleración transversal instantánes de la partícula

a ( 0.2 m 0.3 s)  50.248

m s2

1

1 π x  6 π  t  4 m s

fase ( x  0.3m t) = π 

1

1 1 1 1 π π  ( x  0.3  m)  6 π  t  = π  x  π  0.3 m  6 π  t  4 4 m s m m s

Δfase = fase ( x  0.3 m t)  fase ( x t) = π 

Δfase  π 

1

m

0.3 m  0.942

1

m

0.3 m

Δfase  54 º

Problema: La ecuación de una onda armónica trasversal que avanza por una cuerda es: Y=6·sen ( 0,01 π x-1,8 π t ) cm. Determina: a) La amplitud, la frecuencia y la longitud de onda. b) La velocidad y el sentido de propagación. c) La velocidad y la aceleración máximas de oscilación trasversal de un punto de la cuerda. x es en cm Datos:

y ( x t)  6  cm  sin  0.01π 



A  6  cm ω  1.8π 

1

A  0.06 m 1

f 

s

k  0.01π 

v=

x  1.8π  t cm s  1

1

λ 

cm

λ T

T 

ω  0.9 Hz 2π 2π

k 1

f

 2m

 1.111 s

v 

λ m  1.8 T s

La onda se propaga en la dirección x positivas y oscia e la dirección y.

vmax  ω  A  0.339

m s

2

m

.max  ω  A  1.919

s2

Módulos

Problema: Escribe la ecuación de una onda armónica que avanza en la dirección negativa del eje X y que tiene una amplitud de 0,04m, una frecuencia de 830Htz y una velocidad de propagación de 330m/s.

y ( x t) = A sin ( k x  ω t) ω  2  π  f  5215.044 k=

2 π

λ

A  0.04 m

f  830 Hz

v  330 

m s

1 s

λ = v T =

v f

λ 

 

v  0.398 m f

y ( x t)  0.04  m sin  15.803

k 

2 π

1 1  x  5215.044 t m s 

λ

 15.803

1 m

Problema: Una onda armónica se mueve hacia la izquierda con una amplitud de 10cm, una longitud de onda de 0,5cm y un periodo de 0,2 segundos. Escribe la ecuación de la onda si y=10cm en x=0 en el instante inicial. Determina igualmente la velocidad de propagación de la onda

y ( x t) = A sin ( k x  ω t  φ) A  10 cm 10 cm = 10 cm sin ( φ)

k 

2π

λ

 1256.637

φ 

sin ( φ) = 1

1 m

ω 

 

2π

T

y ( x t) = 0.1  m sin  1256.64

v 

λ  0.5 cm

 31.416

T  0.2 s

π 2

1 s

1 1 π x  31.42 t   2 m s

λ m  0.025 T s

Si eligen:

y ( x t) = A cos ( k x  ω  t  φ) 10 cm = 10 cm cos ( φ)

cos ( φ) = 1

 

y ( x t) = 0.1  m cos  1256.64

 

Obio pues: sin  θ 

π

φ  0

1 1  x  31.42 t m s 

 π  π = sin ( θ) cos    cos ( θ) sin   = cos ( θ)  2 2 2

Problema: Escribe la ecuación de una onda armónica que avanza en el sentido positivo de las x con una amplitud de 15cm y una frecuencia de oscilación de 350Hz, si su velocidad de propagación es de 200cm/s.

y ( x t) = A sin ( k x  ω t  φ) ω  2  π  f  2199.115 k=

2 π

λ

A  15 cm

f  350 Hz

v  200 

m s

1 s

λ = v T =

v f

λ 

 

y ( x t)  0.15  m sin  10.996

 

y ( x t) = 0.15  m sin  10.996

v  0.571 m f

k 

1 1  x  2199.115 t m s 

1 1  x  2199.115 t  φ m s 

2 π

λ

 10.996

1 m

Suponemos fase inicial nula. No hay datos para calcularla. Tambien se puede poner φ sin determinar. Si eligen coseno en vez de seno también es correcto.

Problema: Una onda armónica trasversal se desplaza hacia la derecha (en sentido positivo) en la dirección X y tiene una amplitud de 4cm, una longitud de onda de 4cm y una frecuencia de 8Htz. Determina: a) La velocidad de propagación de onda. b) La fase inicial si en x=0 y t=0 la elogación es de -2cm. c) La expresión matemática de la onda. d) La distancia que separa a dos puntos del eje X que oscilan con una diferencia de fase de π/3 radianes. e) Intervalo de tiempo para que una partícula tenga un desfase de π/3 radianes.

A  4  cm T 

1

f

λ  4  cm

 0.125 s

f  8 Hz

v 

A  0.04 m

λ  0.04 m

λ m  0.32 T s

y ( x t) = A sin ( kfase  x  ω t  φ) 2 cm = 4 cm sin ( φ)

sin ( φ) = 

1

φ  

2

π 6

φ  0.524 Cualquiera de los 1  1  siguientes valores sin   π   2  6  de φ es correcto

k 

2π

λ

 157.08

sin 

11





6

1 m

π  

ω 

1 2

2π

T

sin  π   7

6 

1 2

sin   π   5



6



1 2

1 s

 50.265

1 1 π x  50.265 t   6 m s

 

y ( x t) = 0.04 m  sin  157.08 Si eligen coseno:

y ( x t) = A cos ( k x  ω  t  φ)

 

2 cm = 4 cm cos ( φ)

y ( x t) = 0.04 m  sin  157.08

cos ( φ) = 

1 1 4  x  50.265 t  π 6  m s

1 2

4

φ 

también vale: φ 

6 8 6

π

π

Si Δx es la distancia, para el argumento es lo mismo sumar π/3 a la fase que Δx a x:

k  ( x  Δx)  ω  t  φ = k x  ω t  φ 

π 3

Otra forma: Si x1 y x2 son lospuntos, se cumple:

k Δx =

π 3

Δfase 

Δx  π

π  0.667 cm 3k

3

Δfase = fase ( x2)  fase ( x1) = ( k x2  ω t  φ)  ( k 1x  ω  t  φ) = k  ( x2  x2) x2  x1 = Δx =

Δfase k

Δx 

Δfase  0.007 m k

Δx  0.667 cm

Δfase = fase ( t2)  fase ( t1) = ( k x  ω t2  φ)  ( k x  ω t1  φ) = ω  ( t1  t2) Δt 

Δfase  0.021 s ω

Problema: Una onda se propaga según la expresión y1= 0.1·sen[2π(100t - x/0.40)]m. a) Calcula longitud de onda, periodo y velocidad de propagación. b) Distancia de dos puntos que se encuentra en fase y en oposición de fase. c) Desfase entre dos puntos separados un metro

y1 ( x t) = 0.1 m sin 2π   100  t   x x en m y t en s 0.40 m  s   1

1

1

Teniendo en cuenta que sin(θ) = -sin(-θ), pues el seno es una función impar, podemos escribir:

 2 π  1 x  2π 100  1 t  s   0.40 m

y1 ( x t) = 0.01 m sin 

y1 ( x t) = A sin ( k x  ω t) λ 

2π

k

 0.4 m

d1  λ  0.4 m d1 

λ 2

 0.2 m

T 

k  2π

ω

2 π 1



0.40 m

 0.01 s

 15.708 v 

1 m

ω  2π 100 

1

s

 628.319

λ m  40 T s

puntos secesivos en fase puntos secesivos en oposición de fase

Δfase = fase ( x  1 m)  fase ( x) = ( k x  k 1 m  ω t  φ)  ( k x  ω t  φ) Δfase  k  1m  15.708

Δfase  5π

1 s

Problema: Sobre una cuerda tensa de 1,32 kg de masa y una longitud de 7m, deseamos producir ondas que se propaguen a una velocidad de 30m/s. ¿Aque tensión debemos someter la cuerda?

M  1.32 kg ρ  v=

L  7  m

M kg  0.189 L m T ρ

v  30 

m s

densidad lineal de masa 2

T  v  ρ  169.714 N

Problema: Una partícula oscila verticalmente en la dirección y, en torno al origen de coordenadas, con una amplitud de 2cm y una frecuencia de 1/8 Hz. La posición inicial de la partícula en t=0 es y=2cm. Las oscilaciones de la partícula originan una onda armónica trasversal que se propaga hacia +x. Sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos del eje x que oscilan con un desfasaje de π radianes es de 20cm. Determina: a) La amplitud y frecuencia angular de la onda armónica. b) Longitud de onda y velocidad de propagación. c) Expresión matemática de la onda. d) Expresión de la velocidad de oscilación de un punto del eje x situado a 20cm y el valor de dicha velocidad en t=10s.

A  2  cm

f 

1 8

Hz

ymax  A  0.02 m

y0_0  2 cm

Δf  π

ω  2π  f  0.785

d  20 cm

1 s

Una longitud de onda corresponde a un desfasaje de 2π. λ  40 cm Si π corresponde a 20 cm la logitud de onda es :

y ( x t) = ymax sin ( k  x  ω t  φ) y0_0 = ymax sin ( φ)

k 

sin ( φ) =

 

y ( x t)  0.02  m sin  15.708

2π

λ

 15.708

y0_0 =1 ymax

v  λ f  0.05

m s

1 m

φ 

π 2

1 1 π x  0.785 t   2 m s

y ( x t)  ymax sin ( k  x  ω  t  φ) v ( x t) 

d y ( x t) dt

ω  ymax  0.016 v ( x t)  0.016

v ( x t)  ω ymax cos ( k  x  ω  t  φ) m s

1 1 m π   cos  15.708  x  0.785 t   2 m s s 

v ( 0.2m t) = 0.016

1 m π π cos   0.785 t   2 s s  10

v ( 0.2  m 10 s)  0.016

m s

15.708

1 0.2m  3.142 m

π

Si eligen coseno en vez de seno:

y ( x t) = ymax  cos ( k x  ω t  φ) y0_0 = ymax cos ( φ)

cos ( φ) =

 

y ( x t)  0.02  m cos  15.708

y0_0 ymax

=1

φ  2π

1 1   x  0.785 t  2π m s 

y ( x t)  ymax  cos ( k x  ω t  2π) v ( x t) 

d y ( x t) dt m s

ω  ymax  0.016 v ( x t)  0.016

v ( x t)  ω ymax sin ( k x  ω t  2π)

m 1 1    sin  15.708 x  0.785 t  2π s m s  

v ( 0.2m t) = 0.016

m 1   sin  3π  0.785 t s s  

v ( 0.2  m 10 s)  0.016

m s

15.708

1 0.2m  3.142 m

Problema: Una onda armónica con frecuencia de 20Hz se propaga a una velocidad de 80m/s. Determina: a) A que distancia mínima se encuentran dos puntos cuyos desplazamientos estan desfasados 30º. b) cuál es el desfase, en un punto dado, entre dos desplazamientos que se producen en dos tiempos que distan 0.01s.

f  20 Hz T 

1

f

 0.05 s

v  80 

m s

λ  v T  4 m

Una λ corresponde a 2π, a 30º = π/6 corresponde

Δx =

λ 12

Δx 

λ π   0.333 m 2π 6

Problema: Una cuerda sometida a una tensión constante de 60N tiene una densidad lineal de 150g/m. ¿Cuánta potencia debe suministrase a la cuerda para producir ondas armónicas de una amplitud de 10cm y una frecuencia de 30Hz?

P=

v 

1

2

2

ρ ω A v

F  60 N

F m  20 ρ s

ω  2  π  f  188.496

2

P 

1 2

ρ  150 

2

2

gm m

1 s

ρ ω A v  532.959 W

A  10 cm

f  30 Hz

Problema: Una cuerda tiene una longitud de 8m y pesa 8,7N. Indica la potencia que debemos suministrarle para producir ondas armónicas que respondan a la ecuación y=10·senπ(4x-80t)cm.

y ( x t)  10  cm  sin  4π 



A  10  cm

ω  80π 

1 2

1

1

k  4  π 

1

T 

s

L  8  m

P 

x  80π  t cm s  1

M 

2

2

2π

ω

cm  0.025 s

8.7 N

g

ρ ω A v  7.005 W

λ 

 0.887 kg

2π

k

 0.005 m

v 

λ m  0.2 T s

ρ 

M kg  0.111 L m

Problema: La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por = 6 sin(0,02 π x + 4 π t) donde x, y están en cm; t en segundos. a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia. b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación? c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima?

y ( x t)  6 sin ( 0.02 π x  4  π  t)

fase inicial φ = 0, y cond inicial: y ( 0 0) = 0

y ( x t) = 6  cos ( 0.02  π  x  4 π t  ϕ) y ( 0 0) = 6  cos ( ϕ) = 0

ϕ 

 

y ( x t)  6  cos  0.02  π  x  4 π t 

ω  4π 

1

f 

s

ω 1 2 s 2π

m vmax  ω  ymax  0.754 s 2

amax  ω  ymax  9.475

m s2

debemos calcular la fase inicial para el coseno, exigiendo que se cumpla la cond inicial

π 2

π

 2

k  0.02 π 

ymax  6 cm vmax  24π 

1

cm

λ 

2

k

v  λ f  2

m cm  0.754 s s

amax  96π 

2π

cm s2

 9.475

m s2

 1m

m s

Se propaga hacia las x negativas

y

Problema: La ecuaciòn de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es: y(x, t) = 0,05 cos [2 π (4 t - 2 x)] 1. Determina las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagación) 2. Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de un elemento de la cuerda y sus valores máximos. 3. Determina los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1 m del origen en el instante t = 3 s

y ( x t)  0.05  m cos  8π   t  4π  x m   s 1

A  0.05  m f 

1

k  4π 

ω  4 Hz 2π

T 

1

f

1

y ( x t) = A cos ( k x  ω  t) ω  8π 

m

 0.25 s

v 

1

λ 

s

v ( x t)  0.4  π 

a ( x t) 

d v ( x t) dt

1 1 m 2 a ( x t)  3.2 π  cos  8π  t  4π  x  m  s2  s

y ( 1  m 3s)  0.05 m

 0.5 m

1 1 m sin  8π  t  4π  x s m   s

d y ( x t) dt

m m  1.257 s s

k

λ m 2 T s

v ( x t) 

vmax  0.4 π

2π

2

amax  3.2 π  v ( 1m 3 s)  0

m s

m s2

 31.583

m s2

a ( 1m 3s)  31.583

m s2