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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ONDAS ESTACIONARIAS

1.- supóngase que la fig. 22-1 representa una onda de 50 Hz sobre una cuerda. Tómase la distancia Yo de 3mm y la distancia AE de 40 cm. Encuéntrese para la onda lo siguiente: (a) la amplitud, (b) la longitud de onda y (c) la rapidez (a) Por la definición, la amplitud es la distancia Yo que es equivalente a 3mm (b) La distancia entre dos crestas adyacentes es la longitud de onda, así que λ=20 cm (c) De λ=vT y T=1/f se tiene V=

2.- En una onda sonora se encuentra experimentalmente que la longitud de onda es de 18 cm. La frecuencia de la onda es de 1900Hz. ¿Cuál es la rapidez de la onda sonora?

3.- una cuerda horizontal tiene 5 m de longitud y una masa de 1.45 g. ¿Cuál es la tensión en la cuerda si la longitud de onda, de una onda de 120 Hz sobre ella, es de 60 cm? ¿De qué magnitud será la masa que se debe colgar en uno de sus extremos (a través de una polea) para darle esa tensión? Se sabe que

Además ya que (72m/s)=1.50N La tensión en la cuerda se balancea con el peso de la masa que cuelga de su extremo. Es decir, o

4.- un cable flexible uniforme de 20m de longitud tiene una masa de 5kg. Es suspendido verticalmente con su propio peso y esta vibrando en su extremo superior con una frecuencia de 7.0Hz. (a) encuéntrese la rapidez de la onda transversal sobre el cable en su punto medio. (b) ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia de su punto medio? (a) Utilizaremos

. El punto medio del cable soporta la mitad de su peso,

así que la tensión en este punto es

Por otro lado Así que (b)Ya que las crestas de una onda no se acumulan en un punto a lo largo de la cuerda o el cable, el número de estas que pase por un punto debe ser el mismo que pase por cualquier otro punto. Por lo tanto, la frecuencia 7.0Hz, es la misma en todos los puntos. Para calcular la longitud de onda en el punto medio, debemos usar la rapidez que se determino para ese punto, 9.9m/s. esto da

5.- supóngase que en la fig. 22-2 se muestra una cuerda metálica tensada con 88.2N. su longitud es de 50cm y su masa de 0.50g. (a) calcúlese v para la onda transversal sobre la cuerda. (b) determínese la frecuencia fundamental y las frecuencias del primero y segundo sobretodo. (a) (b) Recuérdese que la longitud de un segmento es λ/2 y utilícese λ=v/f. para las frecuencia fundamental λ=1.00m

y

Para el primer sobretono λ=0.50m

y

Para el segundo sobretono

λ=0.33m

y

6.- Una cuerda de 2m de largo esta accionada por un vibrador de 240Hz colocado en uno de sus extremos. La cuerda resuena en cuatro segmentos. ¿Cuál es la rapidez de las ondas transversales en la cuerda? Ya que cada segmento tiene una longitud de λ/2, se tiene 4(λ/2)=L

o

Utilizando λ=vT=v/f, obtenemos

7.- La cuerda de un banjo de 30 cm de largo resuena en su frecuencia fundamental a 256Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda si 80cm de esta “pesan” 0.75g? Primero debemos determinar v y después hallar la tensión. Se sabe que la cuerda vibra en un segmento cuando f=256Hz. Por consiguiente, de la fig. 22-2, λ/2=L

o

y la masa por unidad de longitud de la cuerda es

Entonces, de

,

8.- Una cuerda vibra en cinco segmentos a una frecuencia de 460Hz. (a) ¿Cuál es su frecuencia fundamental? (b) ¿Qué frecuencia ocasionaría que vibrara en tres segmentos? Método detallado: Si en la cuerda se presentan n segmentos, entonces de la fig.22-2 sabemos que n (1/2λ)=L. Pero λ=v/fn, así que L=n(v/2fn). Despejando fn se obtiene fn=n(v/2L) Se sabe que f5=460Hz, por lo tanto

460Hz=5(v/2L)

o

v/2L=92Hz

Sustituyendo esto en la relación anterior tenemos fn=(n)(92Hz) (a) f1=92 Hz (b) f3=(3)(92Hz)=276Hz Método alternativo Recordando que para una cuerda atada en ambos extremos, fn=nf1, se determina f5=460Hz, f1=92Hz y f3=276Hz 9.- una cuerda sujetada por ambos extremos resuena a 420Hz y 490Hz y no hay ninguna frecuencia de resonación entre ellas. Determine su frecuencia fundamental de resonancia. En general, fn=nf1. Llamaremos a fn=420Hz y fn+1=490Hz. Por lo tanto, 420Hz=nf1

y

490Hz=(n+1)f1

Si se resta la primera ecuación de la segunda, se obtiene f1=70Hz 10.-La frecuencia de una cuerda de violín es de 196Hz. ¿Dónde debe ser colocado, a largo de la cuerda, uno de los dedos para que la frecuencia fundamental sea de 440Hz? En la frecuencia fundamenta, L=1/2λ. Ya que λ=v/f, se tiene que f1=v/2L. Originalmente, la cuerda de longitud L resonaba a la frecuencia de 196Hz, así que 196Hz=v/2L1 Se requiere que resuene a 440Hz, por consiguiente 440Hz=v/2L2 Al eliminar v de las ecuaciones simultaneas, obtenemos L1/L2=196/440=0.445 Para obtener la resonancia deseada, el dedo debe acortar la longitud de onda hasta 0.445 de su longitud inicial 11.-Una barra de 60 cm de longitud, sujetada por su parte media, esta vibrando longitudinalmente por una fuerza alternativa en uno de sus extremos (véase la fig.22-3). Su frecuencia fundamental de resonancia es de 3kHz. ¿Cuál es la rapidez de las ondas longitudinales en la barra? Ya que sus extremos están libres, la barra debe tener antinodos ahí. El punto de sujeción en el centro de la barra tiene que ser un nodo. Por lo tanto, la resonancia fundamental es la mostrada

en la fig.22-3. Porque la distancia entre el nodo y el antinodo siempre equivale 1/4λ, se ve que L=2(1/4λ). Siendo L=0.60m, encontramos que λ=1.20m Entonces, de la relación básica λ=v/f, se obtiene

12.-Unas ondas de compresión (ondas sonoras) son transmitidas hacia el fondo de un tubo lleno de aire de 90cm, cerrado en uno de sus extremos. El tubo resuena a varias frecuencias, la más baja de ellas es de 95Hz. Determínese la rapidez del sonido en el aire El tubo y algunas de sus formas de resonancia se muestran en la fig.22-4. Recuérdese que la distancia entre nodo y antinodo adyacente es λ/4. En este caso, el modo de resonancia superior es el que se aplica, ya que para ella los segmentos son los más largos y su frecuencia es, por consiguiente, la más baja. Para ello, de la forma L=λ/4, se tiene

Utilizando λ=vT=v/f se obtiene

13.- ¿A qué otras frecuencias resonara el tubo descrito en el problema 12? Algunas de las primeras frecuencias de resonancia se muestran en la fig.22-4. Se observa que en la resonancia donde n=1, 3, 5, 7… un número impar, son las longitudes de las ondas de resonancia, pero λn=v/fn, así que L=n(v/4fn)

o

fn=n(v/4L)=nf1

De donde, del problema 12 f1=95Hz. Algunas de las primeras frecuencias de resonancia son entonces: 95, 285, 475… Hz

14.- Una varilla de metal de 40cm de largo se deja caer verticalmente sobre un piso de madera y rebota en el aire. Por este motivo se establecen en la barra de ondas de compresión muchas frecuencias. Si la rapidez de las ondas de compresión en la barra es de 5500m/s, ¿cuál ser la frecuencia más baja de las ondas de compresión con la que resonara la barra cuando rebote? Ambos extremos de la barra están libres, por lo que en ellos habrá antinodos. En el modo de resonancia más bajo (por ejemplo, el de segmentos más largos), solo existirá un nodo en la barra, en su centro, como se muestra en la fig.22-5. Entonces se tiene o Por consiguiente, de λ=vT=v/f,

15.- Una varilla de 200cm de largo esta sujetada a 50cm de uno de sus extremos, como se muestra en la fig.22-6. Por medio de un mecanismo eléctrico motriz colocado en uno de sus extremos, se transmite a la varilla una vibración longitudinal. El mecanismo aumenta la frecuencia de vibración desde un valor muy bajo y se determina que la varilla resuena por primera vez a 3kHz. ¿Cuál es la rapidez del sonido (onda de compresión) en la varilla)? El punto de sujeción o amarre permanece estacionario y por consiguiente existe ahí un nodo; y ya que los extremos están libres, ahí existen antinodos. La frecuencia más baja de resonancia ocurre cuando la varilla esta vibrando en sus segmentos más largos posibles. En la fig.22-6 se muestra la forma de vibración que corresponde a esta condición. Si se recuerda que un segmento es la longitud de uno de los nodos al siguiente, entonces la longitud de A hasta N es la mitad de un segmento. Por lo tanto, la varilla tiene una longitud de dos segmentos. Esta forma de resonancia satisface las restricciones acerca de las posiciones de los nodos y los antinodos, como la condición de que la barra vibra en los segmentos más largos posibles. Ya que el segmento es de λ/2 de longitud, L=2(λ/2) Entonces, utilizando λ=vT=v/f

o

λ=L=200cm

16.- (a) Determínese la menor longitud de un tubo cerrado en uno de sus extremos y que resonara con un sonido originado por una frecuencia de 160Hz. Considérese la rapidez del sonido en el aire como de 340m/s. (b) Repítase el cálculo para un tubo abierto en ambos extremos (a) La fig.22-4(a) se aplica a este caso. El tubo más corto tendrá una longitud de λ/4. Por lo tanto,

(b) En este caso, el tubo tiene antinodos en los extremos y un nodo en su centro.

17.- Un tubo de 90cm de longitud está abierto tanto en la parte superior como en la inferior. ¿De qué longitud debe ser un segundo tubo, cerrado en uno de sus extremos, si va a tener la frecuencia de resonancia fundamental del tubo abierto? Los dos tubos en su frecuencia fundamental se muestran en la fig.22-7. Como puede observarse Lo=2(λ/4)

Lc=λ/4

De donde Lc=1/2*Lo=45cm

18.- Un tubo de vidrio de 70 cm de longitud está abierto por ambos extremos. Determine las frecuencias a las cuales resonara con ondas sonoras que tienen una rapidez de 340m/s

Un tubo abierto por ambos extremos debe tener un antinodo en cada extremo. Las formas de resonancia se muestran en la fig.22-8. Se observa que las longitudes de onda para la resonancia λn están dadas por L=n(λn/2)

o

λn=2L/n

Donde n es un número entero. Pero λn=v/fn fn=(n/2L)(v)= 19.- Una persona común y corriente puede oír sonidos comprendidos en un intervalo de frecuencias de aproximadamente 20 a 20000Hz. Determínese las longitudes de onda en estos límites, si la rapidez del sonido es 340m/s. sol.17m, 1.7cm 20.- La estación de radio WJR transmita a 760kHz. La rapidez de la ondas de radio es de m/s ¿Cuál será la longitud de onda de las sondas de la WJR? Sol.395m 21.- Las ondas de un radar con una longitud de onda de 3.4 cm emiten desde un transmisor. Su rapidez es de m/s. ¿Cuál es su frecuencia? Sol.8.8GHz 22.- Cuando se hace vibrar una cuerda de vibrador de 120Hz se producen ondas transversales en la cuerda de 31 cm de longitud de onda (a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas sobre la cuerda? (b) si la tensión de la cuerda es de 1.20N, ¿Cuál sería la masa de una cuerda de 50 cm de largo? Sol. (a) 37m/s (b) 0.43g 23.- La onda que se muestra en la fig.22-9 está siendo emitida por un vibrador a 60 ciclos/s. Determínese lo siguiente para la onda: (a)amplitud (b)frecuencia (c)longitud de onda (d) rapidez (e) periodo Sol. (a) 3mm (b) 60Hz (c)2cm (d) 1,20m/s (e) 0.0167s

24.- Un alambre de cobre de 2.4mm de diámetro tiene 3m de longitud y se usa para suspender una masa de 2kg de una viga. Si se envía una perturbación transversal a lo largo del alambre golpeándolo ligeramente con un lápiz ¿con que rapidez viajaría la perturbación?

Sol. 22m/s 25.- Un alambre de 189cm de longitud resuena en tres segmentos de una onda transversal cuando se le envía una vibración de 270 Hz. ¿Cuál es la rapidez de las ondas del alambre? Sol. 324m/s 26.-Una cuerda resuena en tres segmentos para una frecuencia de 165Hz. ¿Cuál debe ser la frecuencia utilizada para que resuene en cuatro segmentos? Sol. 220Hz 27.- Un cable flexible de 30 cm y 70N de peso se tensa entre dos postes con una fuerza de 2kN. Si el cable se golpea lateralmente por uno de sus extremos ¿cuánto tiempo tardara la onda transversal en viajar al otro extremo y regresar? Sol. 0.65s 28.-Un alambre tenso vibra con la frecuencia fundamental de 256Hz ¿Cuál debería ser la frecuencia fundamental si el alambre tuviera la mitas del largo el doble del grueso y estuviera sometido a un cuarto de la tensión? 128Hz 29.- Dos alambres de acero y plata, del mismo diámetro y longitud, son tensados con idéntica fuerza. Sus densidades son 7.8 y 10.6 respectivamente. ¿Cuál es la frecuencia fundamental del alambre de plata si la del acero es de 200 Hz? Sol. 172Hz 30.-Un alambre tiene una longitud de 60cm y una masa de 3gr ¿Cuál debe ser la tensión, de tal manera que cuando vibra transversalmente su primer sobretono tenga una frecuencia de 200Hz? Sol. 72Hz 31.- (a) ¿En qué punto debe estar sujetada una cuerda tensa para hacer que su tono fundamental sea más intenso? (b) ¿En qué punto tiene que estar sujeta y en qué punto tiene que tocarse para hacer su primer sobretono mas marcado? (c) ¿Y para hacer su segundo sobretono mas intenso? Sol. (a)centro (b)sujeta a una distancia de ¼ de su longitud medida desde uno de los extremos, después tocada en su centro (c) sujeta a 1/6 de su longitud medida desde uno de sus extremos , después tocada a 1/3 de su longitud desde ese extremo 32.- ¿Cuál debe ser la longitud de una barra de hierro que tiene frecuencia fundamental de 320Hz cuando se sujeta por su centro? Supóngase que la rapidez de sus vibraciones longitudinales es de 5km/s. Sol.7.81m 33.- Una barra de 120 cm de longitud se sujeta por el centro y se golpea de tal modo que emite su primer sobretono. Hágase un dibujo en el cual se muestre la localización de los nodos y los antinodos y determínese en que otros puntos la barra puede estar fija y todavía emitir el mismo sobretono. Sol. 20cm desde cada extremo

34.- Una barra de metal de 6m de longitud, se fija en el centro y vibra longitudinalmente de tal manera que emite su primer sobretono, vibrando al unísono con un diapasón marcado a 1200vibraciones/s. Calcúlese la rapidez del sonido en el metal Sol. 4.8km/s 35.- Determínese la longitud de la columna de aire más corta en un recipiente cilíndrico que reforzara fuertemente el sonido de un diapasón que vibra a 512Hz. Utilícese para la rapidez del sonido en el aire v=340m/s 36.- Un tubo largo y angosto, cerrado en uno de sus extremos, no resuena con un diapasón que tiene una frecuencia de 300Hz, sino hasta que la columna de aire alcanza 28cm (a) ¿Cuál es la rapidez del sonido en el aire a temperatura ambiente? (b) ¿Cuál es la siguiente longitud de la columna que resonara con el diapasón? Sol. (a) 336m/s (b) 84 cm 37.- Un tubo de órgano, cerrado en uno de sus extremos, tiene 61 cm de longitud. ¿Cuáles son las frecuencias de los tres primeros sobretonos si v para el sonido es 342m/s? Sol. 420, 700, 980 Hz