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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEATICA Y FISICA – AREA ACADEMICA DE ESTADISTICA

I-EXAMEN PARCIAL DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA DOCENTE: Ing. CIP B.TAPIA CALDERON, GUILLERMO BERNARDINO; Ing. Estadístico e informático, universidad Nacional La Molina (UNALM), Maestría en ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería ( UNI) ALUMNO:

FLORES PURE, Noe

ASIGNATURA:

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES (ES-241)

GRUPOS: SERIE:

II (turno tarde) 200

CODIGO:

16170103

CORREO:

[email protected]

D.N.I.:

722495

CEL:

929730201

FECHA:

07/07/19 AYACUCHO - PERÚ 2019

SOLUCIONARIO DE PRIMER EXAMEN DE ESTADÍTICA ES- 241 PARTE A. Simbolización de Datos. Casos de Sumatorias y Productorias Simples A.1 CASO I. Señalar los límites superior e inferior de las sumatorias y desarrollar las “sumas abreviadas” o sea los elementos de las sumatorias simples: A.1.1) ∑5k=1(Yk − y̅)2 = (Y1 − y̅ )2 + (Y2 − y̅ )2 + (Y3 − y̅ )2 + (Y4 − y̅ )2 + (Y5 − y̅ )2 A.1.2) ∑N √Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj +⏟ √Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj + ⏟ √Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj + ⋯ + i=1 √X j ∙ Yj + Vj ∙ Zj =⏟ i=1

i=2

i=3

√Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj = N ∙ √Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj ⏟ i=N

A.1.3) N

(X3 Y4 + W3 Z2 ) + ⏟ (X4 Y5 + W4 Z3 ) + ⏟ (X5 Y6 + W5 Z4 ) + ⋯ ∑(Xi Yi+1 + Wi Zi−1 ) = ⏟ i=3

3

i=4

i=5

(XN YN+1 + WN ZN−1 ) +⏟ i=N

A.1.4) 3 ∑204 ⏟ 3 + (IC) ⏟ 3 + (IC) ⏟ 3 + … + (IC) ⏟ 3 = 204 (IC)3 j=1 (IC) = (IC) j=1

j=2

j=3

j=204

A.1.5) 2

∑10 (X3 − 2)2 + ⏟ (X4 − 2)2 + ⏟ (X5 − 2)2 + ⋯ + ⏟ (X10 − 2)2 3 (X i − 2) = ⏟ i=3

i=4

i=5

i=10

A.2. CASO II.Señalar como datos los elementos desarrollados de los ejercicios anteriores y ponga la notación sumatoria simple correspondiente (desde A.2.1 hasta A.2.5; de forma invertida. A.2.1) (Y1 − y̅ )2+ (Y2 − y̅ )2 + (Y3 − y̅ )2 + (Y4 − y̅ )2 + (Y5 − y̅ )2 = ∑5k=1(Yk − y̅)2 A.2.2) √ ⏟Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj +√ ⏟Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj + √ ⏟Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj + ⋯ + √ ⏟Xj ∙ Yj + Vj ∙ Zj i=1

=∑N i=1 √X j ∙ Yj + Vj ∙ Zj

i=2

i=3

i=N

A.2.3) (X3 Y4 + W3 Z2 ) + ⏟ (X4 Y5 + W4 Z3 ) + ⏟ (X5 Y6 + W5 Z4 ) + ⋯ + ⏟ (XN YN+1 + WN ZN−1 ) ⏟ i=3

i=4

i=5

i=N

N

= ∑(Xi Yi+1 + Wi Zi−1 ) 3

A.2.4) 3 (IC)3 + ⏟ (IC)3 + ⏟ (IC)3 + … + ⏟ (IC)3 = ∑204 ⏟ j=1 (IC) j=1

j=2

j=3

j=204

A.2.5) (X3 − 2)2 + ⏟ (X 4 − 2)2 + ⏟ (X5 − 2)2 + ⋯ + ⏟ (X10 − 2)2 = ∑10 ⏟ 3 (X i − 2) i=3

i=4

i=5

2

i=10

A.3. CASO III ∑5i=1 Xi X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 (−2) + 3 + 4 + 5 + 0 x̅ = = = =2 5 5 5 A.3.1) ∑5i=1[Xi (Xi − x̅) + (x̅ − Xi )] = [X1 (X1 − x̅) + (x̅ − X1 )] + [X2 (X2 − x̅) + (x̅ − X2 )] + [X3 (X3 − x̅) + (x̅ − X3 )] + [X 4 (X4 − x̅) + (x̅ − X4 )] + [X5 (X5 − x̅) + (x̅ − X5 )] = [-2(-2-2)+ (2-(-2))]+[3(3-2)+ (2-3)]+[4(4-2)+(2-4)]+[5(5-2)+(2-5)]+[0(0-2)+(2-0)] = [12]+ [2]+ [6]+ [12]+[2] = 34 A.3.2) ∑5i=3(Xi2 − 4Xi + x̅) = (X32 − 4X3 + x̅) + (X42 − 4X4 + x̅) + (X52 − 4X5 + x̅) = (42 − 4.4 + 2) +(52 − 4.5 + 2) +(02 − 4.0 + 2) = 2+7 +2 =11 A.3.3) ∑3i=1(3Xi3 − 2Xi2 ) = (3X13 − 2X12 ) + (3X23 − 2X22 ) + (3X33 − 2X32 ) = (3.(−2)3 − 2. (−2)2)+ (3.33 − 2. 32 )+ (3.43 − 2. 42 ) = (-32)+ (63)+ (160) = 191

A.4. CASO IV A.4.1)∑ni=1[(Xi − x̅)2 + Xi (x̅ − 1)] = ∑ni=1[(Xi − x̅)2 + Xi (x̅ − 1)] = ∑ni=1[Xi2 − 2Xi . x̅ + x̅ 2 + Xi . x̅ − Xi ] = ∑ni=1[Xi2 − Xi . x̅ + x̅ 2 − Xi ] = ∑ni=1 Xi2 − ∑ni=1 Xi . x̅ + ∑ni=1 x̅ 2 − ∑ni=1 Xi = ∑ni=1 Xi2 − x. ̅ (n. x̅) + n. x̅ 2 − n. x̅ = ∑ni=1 Xi2 − n. x̅ 2 + n. x̅ 2 − n. x̅ = ∑ni=1 Xi2 − n. x̅ 1

1

A.4.2) ∑ni=1[(Xi − x̅)2 + n] = ∑ni=1[(Xi − x̅)2 + n] 1

= ∑ni=1[ Xi2 − 2Xi . x̅+x̅ 2 + n] 1

= ∑ni=1 Xi2 −2x̅ ∑ni=1 Xi + ∑ni=1 x̅ 2 + ∑ni=1 n = ∑ni=1 Xi2 −2x̅(n. x̅) + n. x̅ 2 + 1 = ∑ni=1 Xi2 − 2n. x̅ 2 + n. x̅ 2 + 1 = ∑ni=1 Xi2 − n. x̅ 2 + 1 A.4.3)∑ni=1[ Xi (Xi − x̅) + (x̅ − Xi )]= ∑ni=1[ Xi (Xi − x̅) + (x̅ − Xi )] = ∑ni=1[ Xi2 − X i . x̅ + x̅ − Xi ] = ∑ni=1 Xi2 − x̅ ∑ni=1 Xi + ∑ni=1 x̅ − ∑ni=1 Xi ] = ∑ni=1 Xi2 − n. x̅ 2 + n. x̅ − n. x̅ = ∑ni=1 Xi2 − n. x̅ 2 = ∑ni=1 Xi2 − = ∑ni=1 Xi2 −

(n.x̅)2 n 2 (∑n i=1 Xi )

n

A.4.6)∏ni=1 Yi . Wi . Zi = (Y1 . W1 . Z1 ). (Y2 . W2 . Z2 ). (Y3 . W3 . Z3 ) … (Yn . Wn . Zn ) = ∏ni=1 Yi . ∏ni=1 Wi . ∏ni=1 Zi PARTE B. simbolización de datos y sumatorias simple. A partir del cuadro bidimensional B.5, que constituye una tabla de doble entrada con valores de X ij. Desarrolle las sumatorias indicadas, asignándoles sus límites superiores e inferiores y, finalmente calcule su valor numérico, para cada caso.

i j 1 2 3 4

CUADRO N° B.5

1

2

3

4

3 -3 4 1

5 6 -4 2

0 4 5 1

3 0 -2 -2

B.5.1)∑4i=1 Xi1 =X11 + X 21 + X31 + X41 =3-5+4+1=3 B.5.2)∑4i=1 Xi4 =X14 + X 24 + X34 + X44 =2+8-2+6=14 B.5.3)∑4j=1 X1j =X11 + X12 + X13 + X14=3+5+0+3=8 B.5.4) ∑4j=1 X4j =X41 + X 42 + X43 + X44 =1+2+1-2=2 B.5.5)X∙2 =∑4i=1 Xi2 =X12 + X22 + X32 + X42 =5+6-4+2=9 B.5.6)∑ ∑ Xij =∑4j=1(∑4i=1 Xij )= ∑4j=1(X1J + X2J + X3J + X4J ) =(X11 + X21 + X31 + X41 )+ (X12 + X22 + X32 + X42 )+ (X13 + X23 + X33 + X43 )+ (X14 + X24 + X34 + X 44 ) = (3-5+4+1)+(5+6-4+2)+(0+4+5+1)+(3+0+2-2)=3+9+10+3=25 PARTE C. Simbolización de datos y regresión lineal simple. Dada la siguiente tabla C, donde i=indicador de filas, 𝐗 𝐢 = 𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 y 𝒀𝒊 = 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒊𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔. Completar las columnas por construir que sean pertinentes (que se necesitan), para hacer los cálculos de los valores numéricos de los que se pida: C.1) Media muestral de X: x̅ =

∑n i=1 Xi n

; x̅ =

∑7i=1 Xi 7

=

X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 +X7 7

=

3+6+8+10+12+15+17 7

=10.1429 min

x̅ = 10.1429 min C.2) Media muestral de Y: y̅ =

∑n i=1 Yi n

; y̅ =

∑7i=1 Yi 7

=

Y1 +Y2 +Y3 +Y4 +Y5 +Y6 +Y7 7

=

72+76+88+105+126+130+135

y̅ = 104.5714°C

7

=113°C

C.3) Varianza muestral de las X: i 1 2 3 4 5 6 7

𝐗𝐢 3 6 8 10 12 15 17

𝐗 𝟐𝐢

∑7i=1 Xi2 = 867

9 36 64 100 144 225 289

Sx2 = Sx2 =

∑7i=1 Xi n 867 7

- x̅ 2

– (10.1429)2= 20.9787

Sx2 = 20.9787 min2

C.4) Varianza muestral de las Y: i 1 2 3 4 5 6 7

𝐘𝐢 72 76 88 105 126 130 135

𝐘𝐢𝟐 5184 5776 7744 11025 15876 16900 18225

∑7i=1 Yi2 = 80730

Sy2 =

∑7i=1 Yi

Sy2 =

n

- y̅ 2

80730 7

– (104.5714)2

Sy2 = 597.6794°C2

C.5) Coeficiente de Regresión Lineal Dato: x̅ = 10.1429, y̅ = 104.5714,

i

𝐗𝐢

𝐘𝐢

1

3

72

𝐱𝐢 = 𝐗 𝐢 − 𝐱̅ -7.1429

2

6

76

-4.1429

3

8

88

-2.1429

4 5 6

10 12 15

105 126 130

-0.1429 1.8571 4.8571

7

17

135

6.8571

𝐲𝐢 𝐱 𝐢 ∙ 𝐲𝐢 𝐱 𝐢𝟐 = 𝐘𝐢 − 𝐲̅ 51.0210 232.6543 32.5714 17.1636 118.3685 28.5714 4.5920 35.5109 16.5714 0.4286 0.0204 -0.0612 21.4286 3.4488 39.7951 25.4286 23.5914 123.5093 30.4286 47.0198 208.6520

∑7i=1 xi yi = 758.4289 ∑7i=1 xi2 = 146.8570 ∴ β̂ =

∑7i=1 xi yi ∑7i=1 x2i

758.4289

= 146.8570

758.4289 β̂ = 867 = +5.1644

C.6) Intersección de la recta con el eje YY′ ̂=y̅ − β̂x̅ α ̂=104.5714 − (5.1644)(10.1429) = 95.6984 α

̂ = 52.1894 α C.7) Para X = 14, ¿Cuánto valdrá Y? y= α ̂ + β̂x y= 52.1894 + (5.1644)(14) y=124.4910 C.8) Para X = 20, ¿Cuánto será el promedio para Y? y= α ̂ + β̂x y= 52.1894 + (5.1644)(20) y= 155.4774 C.9) Determinar el Coeficiente de Correlación e interpretación estadística i 1 2 3 4 5 6 7 X

𝐗𝐢 3 6 8 10 12 15 17 X

𝐘𝐢 72 76 88 105 126 130 135 X

𝐱 𝐢𝟐 = 𝐗 𝐢 − 𝐱̅)𝟐 51.0210 17.1636 4.5920 0.0204 3.4488 23.5914 47.0198 146.8570

𝐲𝐢𝟐 = (𝐘𝐢 − 𝐲̅)𝟐 1060.8961 816.3249 274.6113 0.1837 459.1849 646.6137 925.8997 4183.71143

𝐱 𝐢 ∙ 𝐲𝐢 232.6543 118.3685 35.5109 -0.0612 39.7951 123.5093 208.6520 758.4289

∑7i=1 xi yi = 758.4289, ∑7i=1 xi2 =146.8570 , ∑7i=1 yi2 = 4183.71143 r : Coeficiente de Correlación Fórmula de coeficiente de correlación: r=

∑m i=1 xi yi 2 m 2 √ ∑m i=1 xi ∙ ∑i=1 yi

Reemplazando: r=

∑7i=1 xi yi √ ∑7i=1 x2i ∙ ∑7i=1 y2i

=

758.4289

√(146.8570)x(4183.71143)

r = 0.9676 Interpretación estadística: El coeficiente de correlación lineal (r = 0.9676)significa que a medida el tiempo va aumentando, también aumenta la temperatura, y también como el valor es muy cercano a 1 significa que los puntos dispersos formana casi una recta exacta. C.10) Determinar el Coeficiente de Determinación (r2) e interpretación estadística r2= (0.9676)2= 0.9362

r2= 93.62 % Interpretación estadística: El 93.62 % significa que podemos trazar una linea recta a todos los puntos con un 93.62 % de precisión. C.11) Determinar el Coeficiente de Alejamiento e interpretación estadística Coeficiente de Alejamiento =√(1 − r 2 )x100% = 0.2526 C.12) Coeficiente de Variación de X. Sx2 = 20.9787 min2 Sx = 4.5803 min

Sx

C.Vx =

x̅ = 10.1429 min

x̅

4.5803 min

∙ 100% = 10.1429 min ∙ 100%

C.Vx = 45.1577

C.13) Coeficiente de Variación de Y. Sy2 = 597.6794°C2 Sy

Sy = 24.4475°C

C.Vx =

y̅ = 104.5714°C

C.Vy = 23.3788

̅ y

24.4475°C

∙ 100% = 104.5714°C ∙ 100%

PARTE D. Organización de Datos y Cálculo de Estadígrafos de cuadros completos suponga que se ha judicializado un caso respecto al peso de lingotes de acero de “ACEROS AREQUIPA S.A”, analizados por el juez especializado en lo civil, para lo cual se tomó una muestra aleatoria simple (MAS) de la producción semanal de 40 observaciones, las unidades están dadas en kilogramos (kg), registrándose los siguientes datos originales xi. X1=94.3

X2=93.0

X3 =95.5

X4 =95.3

X5=92.4

X6=94.4

X7 = 92.8

X8 =93.2

X9 =93.6

X10=95.5

X11=92.9

X12 =93.6

X13= 95.7

X14= 93.8

X15=94.8

X16=93.9

X17=92.7

X18=91.6

X19=93.6

X20=96.8

X21=94.2

X22=95.7

X23 =94.7

X24=94.3

X25= 92.7

X26=94.5

X27=96.2

X28= 95.4

X29=93.7

X30= 91.9

X31=94.1

X32 =90.00

X33=94.2

X34=93.7

X35=94.0

X36= 93.6

X37=93.6

X38=94.6

X39= 92.3

X40=94.4

D.1) Tipología de variable estadística y determinar el tamaño de muestra.  Tipología de variable estadística: Variable Cuantitativa Continua (V.C.C)

 El tamaño de muestra n: Muestra aleatoria es grande porque 𝐧 > 30; n=40 D.2) Calculo del rango de datos originales R x . Xmax : Peso máximo de lingotes es 96.8 Kg Xmin : Peso mínimo de lingotes es 90.0 Kg R x = Xmax − Xmin R x = 96.8 Kg − 90.0 Kg R x = 6.8 Kg D.4) Determinar el número de intervalos de clases (m) por el método de Criterio de raíz cuadrada. RAIZ CUADRADA ∶ m = √n m = √40 m = 6.3246 D.5) ¿Existirá nuevo valor del número de intervalos de clase m′ ?  Si existe el cual es m´= 7 (número de intervalos redondeoado) D.6) Determinar la amplitud interválica constante de datos originales(C) y redondea C´  La fórmula para determinar la amplitud interválica es dado por la siguiente expresión:

C=

Rx

C=

m′

6.8 7

C = 0.9714 C´ = 1.00 D.7) ¿Existirá un nuevo rango R′x ? R′x = C′ ∙ m′ R′x = (1)(7) R′x = 7kg D.8) Diferencia de rangos: ∆R x = R′x − R x

∆R′′x =

∆R x 2

∆R′′x =

0.2 2

∆R x = 7 − 6.8 ∆R x = 0.2kg

∆R′′x = 0.1

Nuevo peso mínimo: Y0′ = Xmin − ∆R′′x

Y0′ = 90.0 − 0.1 Y0′ = 89.9 Nuevo peso mínimo: Y0′ = Xmax + ∆R′′x Y0′ = 96.8 + 0.1 Y0′ = 96.9 D.9) Elaborar el cuadro completo de la distribución de pesos de lingotes de acero “Arequipa”

𝑌𝑖

′ [𝑌𝑖−1 ; 𝑌𝑖′ >

[89.9;90.9>

[90.9;91.9 >

[91.9;92.9 >

[92.9;93.9 >

[93.9;94.9 >

[94.99;95.9 >

[95.9;96.9 >

i

1

2

3

4

5

6

7

1.00 X

X

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

𝐶𝑖

4

96.4

95.4

94.4

93.4

92.4

91.4

90.4

3

2

1

n = 40

||

||||||

|||||||||||| ||

|||||||||

|||||||

|

|

Conteo

5

∑ ℎ𝑖 𝑥100 = 100%

∑ ℎ𝑖 = 1.00

∑ 𝑛𝑖 = 40

5%

15%

35%

22.5%

17.5%

2.5%

2.5%

hix100

8

0.0500

0.1500

0.3500

0.2250

0.1750

0.0250

0.0250

hi

7

2

6

14

9

7

1

1

ni

6

X

40

38

32

18

9

2

1

Nj

9

X

1

0.9500

0.8000

0.4500

0.2250

0.0500

0.0250

Hj

10

X

100%

95%

80%

45%

22.5%

5%

2.5%

Hj x100

11

0

2

3

9

23

32

39

40

Nj*

12

0

0.0500

0.2000

0.5500

0.7750

0.9500

0.9750

1

Hj*

13

14

0

5%

20%

55%

77.5%

95%

97.5%

100%

Hj*x10 0

“CUADREO DE DISTRIBUCIÓN DE PESOS DE 50 LINGOTES DE ACERO”

3756

192.8

572.4

1321.6

840.6

646.8

91,4

90.4

𝑌𝑖 xni

15

93.9

4.82

14.31

33.04

21.015

16.17

2.285

2.2600

Yixhi

16

D.10) Gráfica estadística de las frecuencias absolutas acumuladas: ojiva “menor o igual que =”

Nj

Ojiva "menor o igual que" 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

38

40

32

18 Series1

9

1

2

[Y'i-1;Yi>

Ojiva "menor o igual que" 1.2 1

0.95

Hj

0.8

1

0.8

0.6 0.45

0.4

0

Series1

0.225

0.2 0.025

0.05

[Y'i-1;Yi>

Ojiva "menor o igual que" 120.00% 100.00%

95%

80.00%

100%

Hjx100

80%

60.00%

45%

40.00% 22.50%

20.00% 0.00%

2.50%

5%

[Y'i-1;Yi>

Series1

N*j

Ojiva "mayor o mayor que" 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

40

39 32 23 Series1

9 3

2

[Y'i-1;Y'i>

Ojiva "mayor o mayor que" 1.2 1

1

0.975

0.95

H*j

0.8

0.775

0.6

0.55

0.4 0.2

Series1

0.2 0.05

0

[Y'i-1;Y'i>

Ojiva "mayor o mayor que" 120%

H*j·100%

100% 80% 60%

100%

97.50% 95% 77.50% 55%

40% 20%

Series1

20% 5%

0%

[Y'i-1;Y'i>

D.11) Interpretar estadísticamente: m, Y'0, n3, h5, h2x100, N4, H5, H6x100, N6*, H4*x100

         

m: Existen siete intervalos de clase o filas de V.C.C. Y0'=91.55: Es el límite inferior del primer intervalo de clase. n3 =8: 7 lingotes de acero registraron pesos entre [91.9;92.9>. h5: El “0.35 por uno” del total de lingotes de acero pesados de un total de 50 registraron sus pesos entre [93.9; 94.5 > h2x100: El 2.5 % de lingotes de acero pesados de un total de 50 registraron entre [90.9; 91.9 > N4=18: 18 lingotes de acero pesados de un total de 50 registraron a lo sumo 93.9 Kg. H5=0.8: El “0.8 por uno” de un total de 50 lingotes de acero pesados registraron a lo sumo 95.05 Kg. H6x100: El 96% de un total de 50 lingotes de acero pesados registraron a lo sumo 94.9 Kg. N6*: 3 lingotes de acero de un total de 50 lingotes de acero pesados registraron por lo menos 95.9 Kg. H4*x100: El 77.50 % de lingotes de un total de 50 lingotes de acero registraron por lo menos 92.9 Kg.

E12) Calcular el promedio de datos agrupados. Interpretar estadísticamente.

∑40 i=1 Yi ni y̅ = n y̅ =

90.4 x 1 + 91.4 x 1 + 92.4 x 7 + 93.4 x 9 + 94.4 x 14 + 95.4 x 6 + 96.4 x 2 40

y̅ =93.9 Interpretación estadística: El peso promedio de datos agrupados de 40 lingotes de acero es 93.9 Kg. D.13) Calcular el Valor Mediano de datos agrupados. Interpretar estadísticamente. Pasos a desarrollar: n

 Primer paso: 2 =

40 2

=20

 Segundo paso: Criterio de desigualdad n Nj−1 ≤ 2 ≤ Nj Nj−1 ≤ 20 ≤ Nj 18 ≤ 20 ≤ 32

 Tercer paso: Intervalo mediano ′ [Yj−1 ; Yj′ >= [93.9; 94.9 >  Cuarto paso: Fórmula general de la Mediana n − Nj−1 ′ Me = y j−1 + Cj [ 2 ] Nj − Nj−1  Quinto paso: Reemplazando datos 20 − 18 ] = 94.04 kg 32 − 18

Me = 93.9 + 1[

Interpretación estadística: El valor mediano o mediana de datos agrupados es 94.04 Kg; cuyo valor de 94.04 supera a lo sumo al 50% de datos, pero a su vez es superado por no más del 50% de datos restantes. D.14) Calcular el Valor Modal de datos agrupados. Interpretar estadísticamente.  Primer paso: nmax = 14 nmax = 14 ni−1 = 9 ni+1 = 6  Segundo paso: Hallando Delta: ∆1 = nj − nj−1 = 5 ∆2 = nj − nj+1 = 8  Tercer paso: Intervalo modal: ′ [Yj−1 ; Yj′ >= [93.9; 94.9 >  Cuarto paso: Fórmula general de la moda (Md): ∆1 Md = y ′ i−1 + Ci [ ] ∆1 + ∆2  Quinto paso: Reemplazando datos: 5 ] = 94.28 kg 5+8

Md = 93.9 + 1[

Interpretación estadística: El valor modal o moda de datos agrupados es 94.28 Kg, que representa el valor que más se repite, o sea 94.4 es el valor más frecuente.

D.15) Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interpretarlos. 1 i 1 2 3 4 5 6 7 X

2 ′ [Yi−1 ; Yi′ > [89.9;90.9 > [90.9;91.9 > [91.9;92.9 > [92.9;93.9 > [93.9;94.9 > [94.9;95.9 > [95.9;96.9 > X

3 4 5 ni Yi Yi ni 90.4 1 90.4 91.4 1 91.4 92.4 7 646.8 93.4 9 840.6 94.4 14 1321.6 95.4 6 572.4 96.4 2 192.8 X X 3756

6 (Yi − y̅)2 12.25 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 29.75

7 (YI − y̅)2 ni 12.25 6.25 15.75 2.25 3.5 13.5 12.5 66

 Hallando la Varianza: V(y)= Sy2 =

∑7i=1(YI −y ̅)2 ni n

66

= 40 = 1.65 Kg2

Interpretación estadística: El promedio de desviaciones de las observaciones, respecto a la media aritmética, al cuadrado es 1.65 Kg2.  Hallando la desviación estándar o desviación típica: D(y) = Sy = √Sy2 = √1.65 = 1.2845 Interpretación estadística: La raíz cuadrada de lavarianza es 1.2845 Kg. D.16) Calcule la desviación media de datos agrupados. Interpretarla estadísticamente.

Desviación media: |D. M|y =

|D. M|y =

∑7i=1 |YI −y ̅| ni n

∑|Xi −x̅|.ni n

i

Yi

1 2 3 4 5 6 7 X

90.4 91.4 92.4 93.4 94.4 95.4 96.4 X

𝐲̅

ni

93.9 1 93.9 1 93.9 7 93.9 9 93.9 14 93.9 6 93.9 2 X 40

|𝐘𝐢 − 𝐲̅| ∗ 𝐧𝐢 3.5 2.5 1.5 0.5 0.5 1.5 2.5 12.5

12.5

= 40 = 03125

Interpretación estadística: La desviación media de datos agrupados, de los valores absolutos respecto a la mediana es 0.3125 Kg.

D.17) Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados. Interpretar estadísticamente. Desviación mediana: |Me|y = i 1 2 3 4 5 6 7 X

∑|Yi −Me|.ni n

Yi 90.4 91.4 92.4 93.4 94.4 95.4 96.4 X

|𝐘𝐢 − 𝐌𝐞| ∗ 𝐧𝐢 3.64 2.64 11.48 5.76 0.56 8.16 4.72 36.96

Me ni 94.04 1 94.04 1 94.04 7 94.04 9 94.04 14 94.04 6 94.04 2 X 40

|Me|y =

36.96 = 0.924 kg 40

Interpretación estadística: La desviación mediana de los valores absolutos respecto a la mediana es 0.924 kg.

D.18) Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretarlo. Datos: Sy = 1.2845 y̅ = 93.9 Fórmula: (C.V)y =

Sy ̅ y

x100 = 1.3679%

Interpretación estadística: El coeficiente de variación de pesos de datos agrupados de 40 lingotes de acero es 1.3679%. D.19) Calcule el primer cuartil (Q1 ), y el tercer cuartil (Q3 ). Interpretalos. Calculo del primer cuartil: n

1xn

4

4

 Primer paso: i( )

= 10

 Segundo paso: 1xn ≤ Nj 4 ≤ 10 ≤ Nj

Nj−1 ≤  Tercer paso:  Cuarto paso:

′ [Yi−1 ; Yi′

Nj−1 >=[92.9;93.9>

Q1 =

′ Yi−1

1xn −Nj−1 4

+ Ci [ N − N j

10−9

Q1 = 92.9 + 1[18− 9]

j−1

]

Q1 = 93.0111 Interpretación estadística: El primer cuartil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 93.0111, que supera a lo sumo al 25% de observaciones y que a su vez es superado por no más del 75% de observaciones restantes. Calculo de tercer cuartil: n

3xn

 Primer paso: i(4)

= 30

4

 Segundo paso: 3xn ≤ Nj 4 ≤ 30 ≤ Nj

Nj−1 ≤  Tercer paso:

′ [Yi−1 ; Yi′

 Cuarto paso:

Nj−1 >=[93.9;94.9>

3xn −Nj−1 4

′ Yi−1

Q3 =

+ Ci [ N − N j

]

j−1

30−18

Q3 = 93.9 + 1[32− 18] Q3 = 94.7571 Interpretación estadística: El tercer cuartil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 94.7571 que supera a lo sumo al 75% de observaciones; pero a su vez es superado por no más del 25% de observaciones restantes.

D.20) Calcule el primer decil y el noveno decil.Interpretalos. Calculo del primer decil: n

1xn

 Primer paso: i(10)

10

=4

 Segundo paso: 1xn ≤ Nj 10 ≤ 4 ≤ Nj

Nj−1 ≤  Tercer paso:  Cuarto paso:

′ [Yi−1 ; Yi′

Nj−1 >=[91.9;92.9>

D1 =

′ Yi−1

1xn −Nj−1 10

+ Ci [ N − N j

]

j−1

4−2

D1 = 91.9 + 1[9− 2] D1 = 92.1857 Interpretación estadística:El primer decil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 92.1857 que supera a lo sumo 10% de obsrvaciones, pero a su vez es superado por no más del 90% de observaciones restantes

Calculo del noveno decil: n

9xn

 Primer paso: i(10)

10

= 36

 Segundo paso: 9xn ≤ Nj 10 ≤ 36 ≤ Nj

Nj−1 ≤  Tercer paso:

′ [Yi−1 ; Yi′

 Cuarto paso:

Nj−1 >=[94.9;95.9>

D9 =

′ Yi−1

9xn −Nj−1 10

+ Ci [ N − N j

]

j−1

36−32

D9 = 94.9 + 1[38− 32] D9 = 95.5667 Interpretación estadística: El noveno decil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 95.5667 que supera a lo sumo al 90% de observaciones, pero a su vez es superado no por más del 10% de observaciones rstantes.

D.21) Calcule el nonagésimo percentil y el décimo percentil.Interpretalos. Calculo del nonagésimo percentil: n

 Primer paso: i(

)

100

90xn 100

= 36

 Segundo paso: 90xn ≤ Nj 100 ≤ 36 ≤ Nj

Nj−1 ≤ Nj−1 ′  Tercer paso: [Yi−1 ; Yi′ >=[94.9;95.9> 9xn

−Nj−1

′ P90 = Yi−1 + Ci [ N10− N

 Cuarto paso:

j

]

j−1

36−32

P90 = 94.9 + 1[38− 32] P90 = 95.5667 Interpretación estadística:El nonagésimo percentil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 95.5667 que supera a lo sumo al 90%, pero a su vez no es superado por no mas del 10% de observaciones restantes. Calculo del décimo percentill: n

 Primer paso: i(10)

10xn 100

=4

 Segundo paso: 10xn ≤ Nj 100 ≤ 4 ≤ Nj

Nj−1 ≤ Nj−1

′  Tercer paso: [Yi−1 ; Yi′ >=[91.9;92.9>

 Cuarto paso:

P10 =

′ Yi−1

+ Ci [

10xn −Nj−1 100

Nj − Nj−1

]

4−2

P10 = 91.9 + 1[9− 2] P10 = 92.1857 Interpretación estadística: El décimo percentil es un estadígrafo de posición cuyo valor es 92.1857 que supera a lo sumo al 10% de observaciones, pero a su vez es superado por no más del 90% de observaciones restantes. D.22) Calcule el recorrido intercuartílico y recorrido interpercentílico.Interpretalos.  El recorrido intercuartilico es : Q3 - Q1 = 94.7571 – 93.0111 = 1.7460  El recorrido interpercentilico es: P99 - P1 = 92.18- 90.92 =1.260 D.23) Hallar el primer coeficiente de asimetría de Pearson. ¿Distribución de As? As=

̅−Md y Sy

=

93.9−94.28 1.2845

= -0.2958

As = -0.2958< 0 Interpretación estadística: El primer coeficiente de asimetría de Pearson As genera una distribución asimétrica ligeramente negativa o sesgada a la izquierda. D.24) Hallar el segundo coeficiente de asimetría de Pearson. ¿Distribución de As? As =

Q3 +Q1 −2 Me Q3 −Q1

=

94.7571+93.0111−2x94.04 94.7571−93.0111

= -0.1786

As = -0.1786< 0 Interpretación estadística: El segundo asimetría de Pearson genera una distribución negativa o segada a la izquierda. D.25) Hallar el Coeficiente Percentílico de Kurtosis. ¿Que distribución genera K? Q −Q

94.7571−93.0111

K = 2(P 3 −P1 ) = 2(95.5667−92.1857) 90

10

K= 0.2582 D.26) Compare los valores de la media, mediana y moda. Graficar estos datos resultados en un plano cartesiano; observar la curva correspondiente, luego de determinar que distribución ha generado las distribuciones de Asimetría?

DISTRIBUCIÓN ASIMÉTRICA NEGATIVA 94.4 94.3

94.28

94.2 94.1 94.04

94 93.9

93.9

93.8 93.7 y

Me

Md

PARTE E. Tipología y sub-tipología de variables estadísticas: dadas las siguientes proposiciones, determine el tipo sub-tipo de variable estadística que tienes E.1) Escuelas profesionales de la Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil, UNSCH. (Variable Cualitativa Nominal) E.2) N° de libros de estructuras de acero en la biblioteca central “Efraín Morote Best”, UNSCH (Variable Cuantitativa Discreta) E.3) Total de capital social de la empresa constructora “Pegasus Ingenieros” de Trujillo (Variable Cuantitativa Continua) E.4) Número de ingenieros Civiles Colegiados en el colegio de ingenieros del PerúConsejo departamental de Ayacucho. (Variable Cuantitativa Discreta) E.5) Cantidades de precipitación pluviométrica en octubre del 2015 en Cajamarca (Variable Cuantitativa Continua) E.6) Los tres primeros puestos en el ingreso a EP de Derecho, 2016-I, UNSCH (Variable Cualitativa Ordinal) E.7) Las cruzadas cristianas en el Medio Oriente (Variable Cualitativa Nominal) E.8) La temperatura promedio diario de Cusco en el mes de junio de 2019 (Variable Cuantitativa Continua) E.9) La descarga anual de los ríos de la selva en el Amazonas (Variable Cuantitativa Continua) E.10) Órdenes religiosas de la iglesia Católica Romana (Variable Cualitativa Nominal) E.11) Grados de cultura de una persona (Variable Cualitativa Ordinal)

E.12) Tipología de teodolitos para levantamiento topográfico de un territorio (Variable Cualitativa Nominal)