Resistencia de materiales
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Guía para el análisis y solución de problemas de resistencia de materiales
Guía para el análisis y solución de problemas de resistencia de materiales Oswaldo Pastrán Beltrán
© Universidad Distrital Francisco José de Caldas © Facultad Tecnológica © Oswaldo Pastrán Beltrán ISBN 978-958-8832-34-0 Dirección Sección de Publicaciones Rubén Eliécer Carvajalino C. Coordinación editorial María Elvira Mejía Pardo Corrección de estilo José Luis Guevara Salamanca Diagramación Carlos Vargas Salazar - Kilka Diseño Gráfico Editorial UD Universidad Distrital Francisco José de Caldas Carrera 19 No. 33 -39. Teléfono: 3239300 ext. 6203 Correo electrónico: [email protected] Pastrán Beltrán, Oswaldo Guía para el análisis y solución de problemas de resistencia de materiales / Oswaldo Pastrán Beltrán. -- Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2013. 460 p. : il. ; 24 cm. -- (Colección espacios) Incluye bibliografía. ISBN 978-958-8832-34-0 1. Mecánica de materiales 2. Resistencia de materiales 3. Esfuerzos y deformaciones 4. Vigas de hormigón I. Tít. II. Serie. 620.11 cd 21 ed. A1427822 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito del Fondo de Publicaciones de la Universidad Distrital. Hecho en Colombia
Contenido Prólogo
11
Conceptos básicos de estática
13
Leyes de Newton 13 Sistemas de unidades 14 Sistema internacional de unidades (SI) 14 Sistema inglés de unidades 15 Aceleración de la gravedad (g) 16 Vectores16 Vector unitario ( ) 17 Momento18 Ecuaciones de equilibrio 19 Tipos de fuerzas 20 Fuerzas externas 20 Fuerzas internas 23 Ejercicios resueltos 27 Ejercicios propuestos 44
Oswaldo Pastrán Beltrán
Esfuerzos y deformaciones
49
Esfuerzo medio 49 Unidades de esfuerzo 50 Clases de esfuerzo 50 Factor de seguridad 54 Factor de diseño 55 Deformación55 Deformación unitaria 56 Principio de Saint Venant 56 Propiedades mecánicas de los materiales Prueba de carga axial Ley de Hooke Energías de deformación Comportamiento a compresión Prueba de carga cortante Relación de Poisson Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Carga axial Deformaciones por carga axial Algunas aproximaciones Esfuerzo térmico Concentradores de esfuerzos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Torsión Torsión en elementos de sección trasversal circular Esfuerzo cortante máximo Ángulo de torsión 8
59 59 62 63 64 64 66 67 88 91 91 92 93 94 95 120 123 123 128 130
Trasmisión de potencia Torsión en elementos de sección trasversal no circular Elementos huecos de pared delgada Concentradores de esfuerzo Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos
131 133 135 136 136 164 167
Flexión pura Deformaciones en un elemento simétrico sometido a flexión pura Ubicación del eje neutro Esfuerzo axial máximo Módulo elástico de la sección Diagramas de fuerza cortante y momento flector Método de singularidad Método gráfico o de las áreas Diseño de vigas prismáticas Flexión de elementos fabricados de varios materiales Ejercicios resueltos Método de cortes Método de singularidad Método gráfico Método de cortes Método de singularidad Método gráfico Ejercicios propuestos
167 171 173 173 174 175 176 178 178 179 180 183 183 190 194 195 264 267
Esfuerzos cortantes en vigas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos
270 309 317
Pendientes y deflexiones en vigas Curva elástica de las vigas Vigas estáticamente indeterminadas
317 320 9
Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Anexos Propiedades de algunos materiales utilizados en ingeniería (unidades inglesas) Propiedades de algunos materiales utilizados en ingeniería (unidades SI) Propiedades de perfiles laminados en acero Perfiles laminados en I de ala ancha Perfiles laminados en I de ala ancha Perfiles laminados en I de ala corta Perfiles laminados en C Perfiles laminados en l de lados iguales Perfiles laminados en L de lados desiguales Perfiles laminados en I de ala ancha Perfiles laminados en I de ala ancha Perfiles laminados en I de ala corta Perfiles laminados en C Perfiles laminados en L de lados iguales Perfiles laminados en L de lados desiguales Figuras de concentradores de esfuerzos Bibliografía
320 420 423
423 424 425 425 427 429 430 432 433 435 436 438 440 442 443 445 459
Prólogo El propósito de este libro es facilitar el aprendizaje de resistencia de materiales a estudiantes de tecnología e ingeniería mecánica. Los temas aquí tratados son los que generalmente se desarrollan durante un semestre académico. Esto supone que el lector tiene conocimientos de mecánica básica (estática). Cabe anotar que este trabajo sirve como complemento a los libros de teoría de resistencia de materiales. En el capítulo uno se incluye un resumen de conceptos básicos de estática. En los capítulos dos al ocho se ha elaborado un resumen y un pequeño análisis de los conceptos de resistencia de materiales basados en algunos textos que se presentan en la bibliografía. Los ejercicios resueltos que aquí se exponen siguen una secuencia lógica en su desarrollo y se ilustran mediante figuras y tablas, de manera que guíen al estudiante en los análisis de la forma más clara posible. También se proponen algunos ejercicios para que el estudiante aplique los conceptos aprendidos.
Oswaldo Pastrán Beltrán
Para facilitar la solución de problemas, en la sección de Anexos se incluyen tablas de propiedades mecánicas de algunos de los materiales más usados en ingeniería, así como propiedades de perfiles laminados y gráficas de concentradores de esfuerzos. El autor
12
Conceptos básicos de estática Para iniciar, se recordarán algunos conceptos básicos de estática, con el fin de que el estudiante refuerce sus conocimientos.
Leyes de Newton Primera: esta ley es conocida como la ley de la inercia y postula que si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula se desplaza a velocidad constante.. Segunda: si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es diferente de cero, esta suma debe ser igual al cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de la partícula. Recuérdese que la cantidad de movimiento de una partícula es igual al producto de su masa por la velocidad de desplazamiento. Para el medio que nos rodea se asume que la masa es constante, por lo que esta ley puede resumirse de la siguiente manera:
Ecuación 1.1
13
Oswaldo Pastrán Beltrán
donde F es la sumatoria de fuerzas, m es la masa de la partícula y a es la aceleración (cambio de la velocidad con respecto al tiempo). Tercera: esta ley es conocida como acción y reacción, y postula que las fuerzas que dos partículas se ejercen entre sí son iguales en magnitud y dirección, pero opuestas en sentido.
Sistemas de unidades Sistema internacional de unidades (SI) Este sistema cuenta con tres unidades básicas: la longitud, que se mide en metros (m), la masa, que se mide en kilogramos (kg) y el tiempo, que se mide en segundos (s). La fuerza es una unidad derivada, ya que se compone de las tres anteriores, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
Esta es la unidad de fuerza, conocida como Newton (N). Es n SI usual la utilización de múltiplos y submúltiplos. Los más usados se muestran en la siguiente tabla.
Tabla 1. Prefijos comunes en SI
Prefijo
14
Abreviatura
Potencia de 10
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
kilo
k
103
Conceptos básicos de estática
Prefijo
Abreviatura
Potencia de 10
mili
m
10-3
micro
m
10-6
nano
N
10-9
pico
p
10-12
Sistema inglés de unidades Las tres unidades básicas de este sistema son: la longitud, que se mide en pies (ft), la fuerza, que se mide en libras (lb) y el tiempo, que se mide en segundos (s). Para este sistema la masa es una unidad derivada, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
Esta es la unidad de masa conocida como slug. En este sistema de unidades ocasionalmente la longitud puede medirse en pulgadas (in), con lo cual se obtiene la unidad de masa conocida como blob:
15
Oswaldo Pastrán Beltrán
Aceleración de la gravedad (g) La fuerza de atracción que ejerce la gravedad terrestre sobre un cuerpo se conoce como peso (W). Por ser una fuerza, sus unidades son N (en el sistema internacional de unidades) o libras (en el sistema inglés de unidades):
Ecuación 1.2
(SI)
(Inglés)
Vectores Las cantidades físicas pueden determinarse con un número real (escalar). Algunos ejemplos de estas cantidades son el tiempo y la masa. Por el contrario, las fuerzas son cantidades físicas que se determinan por medio de vectores. Estas cantidades se determinan con un número real (magnitud), una dirección (ángulo con respecto a un eje) y un sentido (cabeza de flecha).
Figura 1. Ejemplo de un vector que representa una fuerza.
Magnitud de la fuerza: 25 kN Dirección: 30° con respecto a la horizontal Sentido: hacia abajo Fuente: elaboración propia.
16
Conceptos básicos de estática
Vector unitario ( ) Un vector unitario es aquel cuya magnitud es igual a uno y determina una dirección y un sentido. Un vector puede expresarse como el producto de su magnitud por el vector unitario :
Ecuación 1.3 Figura 2. Ejemplo de vector unitario
Fuente: elaboración propia.
El vector unitario resta las coordenadas de salida a las coordenadas de llegada del vector y dividiendo este resultado entre la magnitud de la distancia, de la siguiente manera:
17
Oswaldo Pastrán Beltrán
Ahora, según la ecuación 1.3:
Con un vector pueden representarse no solo fuerzas, sino también posiciones (vectores de posición). (Véase la figura 3).
Figura 3. Ejemplo de un vector de posición
Fuente: elaboración propia.
(in)
Momento Se puede definir un momento como la tendencia a girar con respecto a un punto (o a un eje) que es causada por una fuerza. La magnitud de esta tendencia es igual al producto de la distancia perpendicular desde un punto (o desde un eje) hasta la línea de acción de la fuerza que lo causa por la magnitud de la 18
Conceptos básicos de estática
fuerza. También puede representarse por medio de un vector, que es igual al producto cruz del vector de la distancia por el vector de la fuerza:
Ecuación 1.4
Cabe recordar la ley de la mano derecha:
Ecuaciones de equilibrio Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio es necesario que la sumatoria de fuerzas y la sumatoria de momentos en cualquier dirección sean iguales a cero:
;
; Ecuación 1.5
;
; Ecuación 1.6
19
Oswaldo Pastrán Beltrán
Tipos de fuerzas Las fuerzas pueden ser externas e internas.
Fuerzas externas Son las que un cuerpo ejerce sobre otro. Estas pueden clasificarse en: fuerzas de superficie, fuerzas de cuerpo y reacciones. Fuerzas de superficie Son las que actúan sobre una superficie del cuerpo (superficie de contacto). Se clasifican en: fuerzas concentradas y fuerzas distribuidas. Fuerzas concentradas Cuando la superficie de contacto en la que se ejerce una fuerza externa sobre un cuerpo es muy pequeña, comparada con la superficie total del cuerpo, se considera que es puntual (concentrada) y se representa con un vector, que pasa por un punto (el área de contacto es muy pequeña). Fuerzas distribuidas Cuando la superficie de contacto en la que se ejerce la fuerza es relativamente grande, comparada con la superficie total del cuerpo, se considera que la fuerza es distribuida (uniformemente o no). Las fuerzas pueden estar distribuidas sobre un volumen (como el propio peso del cuerpo), sobre un área (como la que ejerce el suelo subyacente sobre la cimentación de un edificio) o sobre una línea (como la que ejerce el peso de una cubierta sobre una viga). En este libro se recordará este último tipo de fuerzas distribuidas (sobre una línea) por ser las más usadas en ingeniería mecánica. Las fuerzas distribuidas sobre una línea, para efectos de cálculos, pueden reemplazarse por una fuerza concentrada (puntual), cuya magnitud es igual al área bajo la curva de la carga distribuida y su línea de acción, pasando por el centroide de dicha área.
20
Conceptos básicos de estática
Figura 4. Ejemplos de las fuerzas distribuidas más comunes
Fuente: elaboración propia.
Cabe recordar las fórmulas para hallar centroides:
Ecuación 1.7
Fuerzas de cuerpo Son las fuerzas que actúan sobre el volumen del cuerpo; generalmente, las producen campos gravitacionales o electromagnéticos (sin contacto físico entre los cuerpos).
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Oswaldo Pastrán Beltrán
Reacciones Son las fuerzas que ocurren en los apoyos del cuerpo y que hacen que este permanezca en equilibrio. En vista de la tercera ley de Newton (acción y reacción): •
Un apoyo genera una reacción en la misma dirección, pero en sentido contrario hacia donde impide el movimiento del cuerpo.
•
Un apoyo genera un momento en sentido contrario hacia donde evita la rotación del cuerpo.
Con lo anterior se deduce que los apoyos no generarán reacciones (fuerzas) en una dirección, si no evitan el desplazamiento en dicha dirección, así como tampoco producirán un momento, si no impiden el giro. Esto es de suma importancia, ya que si colocamos reacciones o momentos que el apoyo no genera, los resultados obtenidos serán erróneos.
Figura 5. Reacciones más utilizadas
Fuente: elaboración propia.
22
Conceptos básicos de estática
Fuerzas internas Son las fuerzas que produce un cuerpo en su interior para permanecer como un sólido (para no romperse), cuando está sometido a una o varias cargas externas. En la figura 6 se observa un cuerpo tridimensional sometido a seis fuerzas externas. Si el cuerpo se encuentra en equilibrio, la sumatoria (vectorial) de las seis cargas debe ser igual a cero.
Figura 6. Cuerpo tridimensional sometido a varias fuerzas externas
Fuente: elaboración propia.
Si se corta el cuerpo por el plano mostrado en la figura 6, al sumar las fuerzas F1, F2 y F3 se obtiene una fuerza de la misma magnitud, la misma dirección, pero sentido contrario que al sumar las fuerzas F4, F5 y F6. Esto indica que el cuerpo se encuentra en equilibrio. Ahora, si se separa la mitad inferior del cuerpo (cortada por el plano), como se muestra en la figura 7, al retirar la mitad superior del cuerpo, se generan sobre el plano unas cargas internas en todas las direcciones. Estas cargas internas son de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario a las que se generan en el plano si se viera la mitad superior del cuerpo. Estas hacen que el cuerpo se mantenga como un sólido y se incrementan a medida que aumentan las fuerzas externas que actúan sobre él; de manera que cuando el sólido no pueda igualar con sus fuerzas internas la magnitud de las fuerzas externas el cuerpo se rompe. En otras palabras, si las fuerzas externas que actúan sobre un sólido superan la capacidad del sólido para generar las 23
Oswaldo Pastrán Beltrán
cargas internas (resistencia), el cuerpo se romperá. De ahí la denominación de la materia Resistencia de Materiales.
Figura 7. Cuerpo cortado por un plano arbitrario
Fuente: elaboración propia.
Ahora se suman todas las fuerzas que se generan sobre el plano de corte para obtener una gran fuerza resultante, fr, tal y como se muestra en la figura 8. Por conveniencia y para mejor comprensión, se desplaza arbitrariamente esta fuerza fr al centro del plano de corte. Según los conocimientos adquiridos en estática, se sabe que al desplazar una fuerza desde un punto a otro, se generará un momento resultante (mr) como se ve en la figura 8.
Figura 8. Fuerza y momento resultante al sumar todas las fuerzas internas generadas en el plano de corte
Fuente: elaboración propia.
24
Conceptos básicos de estática
Ahora se descomponen los dos vectores resultantes (fr y mr) en sus tres componentes (x, y, z), de manera que, para el caso del plano escogido, las componentes x y z quedan contenidas en el plano y la componente y queda perpendicular a este, como se ve en la figura 9.
Figura 9. Descomposición de los vectores fr y mr en sus componentes x, y, z
Fuente: elaboración propia.
Las componentes x y z, a su vez, forman vectores coplanares (contenidos en el plano), como se muestra en la figura 9. Así se tienen en cuenta dos vectores perpendiculares al plano (uno de fuerza y otro de momento) y dos vectores contenidos en el plano (uno de fuerza y otro de momento), de modo que las cargas internas generadas se definen de la siguiente manera: N = fuerza normal (o axial, perpendicular al plano). V = fuerza cortante (contenida en el plano). T = momento torsor (o torque, perpendicular al plano). M = momento flector (contenido en el plano).
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Oswaldo Pastrán Beltrán
El momento torsor tiende a hacer girar al cuerpo sobre un eje perpendicular al plano, pero, al estar el cuerpo en equilibrio, el elemento se tuerce. Por su parte, el momento flector tiende a hacer girar el elemento alrededor de un eje contenido en el plano, pero, al estar en equilibrio, la superficie se flecta. Procedimiento para calcular cargas internas •
Dibujar el diagrama de cuerpo libre y ubicar las cargas externas.
•
Ubicar las reacciones producidas por los apoyos.
•
Plantear las ecuaciones de equilibrio (SF = 0 y SM =0).
•
Resolver las ecuaciones de equilibrio para calcular las reacciones.
•
Realizar los cortes en los planos de interés, dibujar los diagramas de cuerpo libre de estos cortes, y ubicar las cargas externas y las reacciones que estén en contacto con el corte.
•
Ubicar las cargas internas (N, V, M y T).
•
Formular las ecuaciones de equilibrio.
•
Resolver las ecuaciones de equilibrio para calcular las cargas internas.
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Conceptos básicos de estática
Ejercicios resueltos 1. La estructura que se muestra a continuación se sostiene mediante tres cables y una rótula en A. Determine la reacción en la rótula A.
Fuente: elaboración propia.
Vectores unitarios de las tensiones:
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Oswaldo Pastrán Beltrán
Diagrama de cuerpo libre:
Fuente: elaboración propia.
Primero se aplica la ecuación 1.5: →SFx = 0
↑SFy = 0
SFz = 0
28
Conceptos básicos de estática
Ahora se aplica la ecuación 1.6: SMA = 0
i(-0.05416 TEG) - j[0.237 TEG - (-0.04512 TEG + 16)] + k(0.3385 TEG) + i[0.04984 TFI - 32] - j[-0.031 TFI - 0.06232 TFI] + k[0.3115 TFI - 200] + i(0) - j(0) + k[0.3787 TDH - (-0.126 TDH + 420)] = 0 i> -0.05416 TEG + 0.04984 TFI - 32 = 0 j> -0.28212 TEG + 16 + 0.09332 TFI = 0 k>0.3385 TEG + 0.3115 TFI - 200 + 0.5047 TDH-420 = 0 de i TFI = 642.055 + 1.087 TEG En j: 75.917 = 0.1807 TEG TEG = 420.125 N TFI = 1098.731 N 29
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En k:
0.5047TDH = 135.533 TDH = 268.542 N Luego: Ax = -1681.563 N Ay = -714.215 N Az = -132.278 N
RA = 1831.735 N
Fuente: elaboración propia.
30
Conceptos básicos de estática
2. La viga DC pesa 3 kN/m y la columna AB, 4 kN/m. Determine las cargas internas resultantes en los planos FF y GG.
Fuente: elaboración propia.
Ángulo de la tensión CB: = tn-1(1200/3700) = 17.97° Diagrama de cuerpo libre de la viga DC:
Fuente: elaboración propia.
31
Oswaldo Pastrán Beltrán
Se aplica la ecuación 1.5: →SFx = 0
↑SFy = 0
Ahora la ecuación 1.6: SMc = 0
Luego: Dy = 9.25 kN TCB = 41.975 kN Dx = 39.927 kN Ángulo de la tensión BE:
32
Conceptos básicos de estática
Diagrama de cuerpo libre de la columna AB:
Fuente: elaboración propia.
De acuerdo con la ecuación 1.5: →SFx = 0
↑SFy = 0
Ahora la ecuación 1.6: SMB = 0 -39.927 (1.2) + 6Ax = 0 Luego: Ax = 7.985 kN TBE = 14.936 kN Ay = 58.628 kN 33
Oswaldo Pastrán Beltrán
Cargas internas: Según la sección 1.6.2.1: Plano FF La carga distribuida:
W = 3.243 kN/m
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0
↑SF = 0
Se iguala N de las dos ecuaciones: N = 1.732 V -79.854 = -0.57735 V
34
Conceptos básicos de estática
Luego: V = 34.58 kN N = -19.96 kN El torque T es igual a cero por no haber dimensiones en el eje Z. SMp = 0 -9.25 (2) + 6 (1) + 3.243 (0.667) + M = 0 M = 10.338 kNm Plano GG:
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 N cos (30) - V Cos (60) + 7.985 = 0 ↑SFy = 0
35
Oswaldo Pastrán Beltrán
-N sen (30) - V Sen (60) - 4.8 + 58.628 = 0 Se iguala N de las dos ecuaciones: N = 0.57735 V - 9.22 = 107.656 - 1.732 V
2.3094 V = 116.876
Luego: N = 50.61 kN V = 20 kN 3. Calcule las cargas internas en el plano que se muestra a continuación.
Fuente: elaboración propia.
Diagrama de cuerpo libre:
Fuente: elaboración propia.
36
Conceptos básicos de estática
Según la ecuación 1.5: →SFx = 0 -Ax + Fx = 0 ↑SFy = 0 -Ay + Fy - 20.4 = 0 Se aplica la ecuación 1.6: SMA = 0 -20.4 (3.36) + 3 (Fx) = 0 Fx = 22.848 kN De
Ax = 22.848 kN
Se siguen los mismos pasos para la barra ABE:
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 -22.848 + Bx - Ex = 0 37
Oswaldo Pastrán Beltrán
↑SFy = 0 -Ay + By - Ey = 0 SMB = 0 22.848 (1.8) + 1.2 (Ay) - 1.2 Ex - 0.88 Ey = 0 Ahora el elemento BDC:
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 Bx = 0 ↑SFy = 0 -By - 20.4 + Dy = 0 SMB = 0 -20.4 (2.04) + 2.88 Dy = 0 Dy = 14.45 kN de
By = -5.95 kN
de
Ex = -22.848 kN
38
Conceptos básicos de estática
de
Ey = By - Ay = -5.95 - Ay en
22.848 (1.8 + 1.32 Ay - 1.2 (-22.848) - 0.88 (-5.95 - Ay) = 0 Ay = -33.536 kN Ey = 27.586 kN de
Fy = -13.136 kN
Para chequear los resultados se hace el diagrama de cuerpo libre del último elemento:
Fuente: elaboración propia.
En este diagrama se comprueba que las sumatorias de fuerzas y de momentos en cualquier dirección son iguales a cero, por lo que se concluye que las reacciones son correctas.
39
Oswaldo Pastrán Beltrán
Cargas internas en el plano mediante el proceso descrito en el apartado "Procedimiento para calcular cargas internas":
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 V Cos 20° + N Cos 70° = 0 ↑SFy = 0 5.95 - 8.4 + V Sen 20° - N Sen 70°= 0 Se despeja N de las dos ecuaciones y se igualan: N = -2.7475 V = 0.364V - 2.607 3.1115 V = 2.607 V = 0.838 kN N = -2.302 kN T=0 SMp = 0
40
Conceptos básicos de estática
-5.95 (1.68) + 8.4 (0.84) - M = 0 M = -2.94 kNm 4. Calcule las cargas internas en el plano mostrado.
Fuente: elaboración propia.
Diagrama de cuerpo libre:
Fuente: elaboración propia.
Con la ecuación 1.5: →SFx = 0 Ax = 120 lb ↑SFy = 0 Ay - 600 + Gy - 90 = 0 Ay + Gy = 690 lb 41
Oswaldo Pastrán Beltrán
Se aplica la ecuación 1.6: SMA = 0 -600 (1.5) - 150 - 90(3.75) - 120 (0.75) + 3 Gy = 0 Gy = 492.5 lb Ay = 197.5 lb Se procede de la misma manera para cada elemento: Elemento DE:
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 -Dx + Ex - 120 = 0 ↑SFy = 0 -Dy + Ey - 90 = 0 SMD = 0 (1) Ey - 90 (1.75) = 0 Ey = 157.5 lb Dy = 67.5 lb 42
Conceptos básicos de estática
Elemento BD:
Fuente: elaboración propia.
→SFx = 0 Bx = Dx ↑SFy = 0 By = Dy = 67.5 lb SMB = 0 0.75 Dx = 0 Luego: Dx = 0; Bx = 0 Ex = 120 lb Para las cargas internas en el plano a–a se procede de acuerdo con el apartado "Procedimiento para calcular cargas internas":
Fuente: elaboración propia.
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Oswaldo Pastrán Beltrán
→SFx = 0 120 - V Cos (25°) - N Cos (65°) = 0 ↑SFy = 0 197.5 - 300 - V Sen (25°) + N Sen (65°) N = 283.944 - 2.1445 V = 113.096 + 0.4663V 170.848 = 2.6108 V V = 65.44 lb N = 143.61 lb T=0 SMp = 0 -197.5 (1.5) + 300 (0.75) - M = 0 M = -71.25 lb*pie
Ejercicios propuestos 5. La estructura que se muestra a continuación tiene un peso de 20 kN/m. Calcule: a) las reacciones en la brida A, y b) las cargas internas en el plano mostrado.
44
Conceptos básicos de estática
Fuente: elaboración propia.
6. ¿Cuál es la tensión del cable AB?
Fuente: elaboración propia.
45
Oswaldo Pastrán Beltrán
7. Calcule las cargas internas en el plano a–a.
Fuente: elaboración propia.
8. Encuentre el valor de la tensión AB y la magnitud de la reacción en C.
Fuente: elaboración propia.
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Conceptos básicos de estática
9. El brazo ABC se conecta mediante pernos a un collar en B y a la manivela CD en C. Desprecie la fricción. Determine: a) la fuerza F necesaria para mantener el sistema en equilibrio, y b) las cargas internas en los planos a–a y b–b.
Fuente: elaboración propia.
47
Esfuerzos y deformaciones En ingeniería, la aplicación de las ecuaciones de equilibrio es solo el inicio en la solución del problema. Luego de usar estas ecuaciones se determinan las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo por sus apoyos, al igual que las cargas sobre los elementos de unión (como pernos y remaches) y las cargas internas sobre cada elemento. El paso siguiente es establecer el efecto interno de las fuerzas sobre cada pieza (elemento) de una estructura.
Esfuerzo medio Un esfuerzo medio puede definirse como la relación de una fuerza sobre el área en la que actúa, es decir, como la intensidad de una fuerza.
Ecuación 2.1
49
Oswaldo Pastrán Beltrán
Unidades de esfuerzo
Fuente: elaboración propia.
Como se ve, en el sistema SI las unidades de esfuerzo son los pascales (Pa) y en el sistema inglés son libras por pulgada cuadrada (psi), aunque en este último sistema también puede medirse en libras por pie cuadrado (lb/ft2). Los múltiplos y submúltiplos son muy usuales en el sistema SI (GPa, MPa, etc.), (véase la tabla 1). En el sistema inglés básicamente se usan dos: Kip (kilo libras = 1000 libras) y Ksi (1000 psi).
Clases de esfuerzo Esfuerzo Normal o axial: es la relación entre la fuerza Normal y el área, es decir, la fuerza que es perpendicular al área analizada dividida entre dicha área.
Ecuación 2.2
Estos esfuerzos pueden ser de dos tipos: tensión o compresión.
Fuente: elaboración propia.
50
Esfuerzos y deformaciones
Los esfuerzos de tensión (o tracción) tienden a separar los planos perpendiculares a la fuerza, mientras que los de compresión tienden a acercarlos más. El resultado es que cualquiera de los dos esfuerzos cambia el tamaño del elemento; es decir, los esfuerzos normales (o axiales) producen un cambio en el tamaño, los de tensión lo aumentan (por eso se consideran positivos) y los de compresión lo disminuyen (negativos). Esfuerzo cortante: es la relación entre la fuerza cortante y el área, es decir, la fuerza contenida en el plano analizado dividida entre dicha área.
Ecuación 2.3 Figura 10. Efecto de las fuerzas cortantes
Fuente: elaboración propia.
Como se ve en la figura 10, las fuerzas cortantes tienden a hacer que los planos se deslicen unos sobre otros, lo que produce un cambio en la forma del elemento; es decir, el efecto de un esfuerzo cortante es el cambio en la forma del elemento. Si analizamos el efecto del momento torsor, nos damos cuenta de que los planos también tienden a deslizarse uno sobre otro (al igual que con la fuerza cortante), por lo que concluimos que también producen un esfuerzo cortante (cambio de forma).
Ecuación 2.4
51
Oswaldo Pastrán Beltrán
Figura 11. Efecto del momento torsor
Fuente: elaboración propia.
En cuanto al momento flector, es evidente que, al producir flexión, el elemento toma una forma curva, con lo que su longitud varía. Por esto concluimos que el momento flector produce un esfuerzo Normal o axial.
Ecuación 2.5
Diseño de conexiones simples Cortante simple Figura 12. Ejemplo de conexión a cortante simple
Ecuación 2.6 Fuente: elaboración propia.
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Esfuerzos y deformaciones
Cortante doble Figura 13. Ejemplo de conexión a cortante doble
Ecuación 2.7 Fuente: elaboración propia.
Esfuerzo de aplastamiento Es el esfuerzo que ocurre en las zonas de apoyo del elemento; la relación de la fuerza sobre el área perpendicular proyectada del apoyo.
Figura 14. Esfuerzo de apoyo
Fuente: elaboración propia.
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