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ANÁLISIS DE LA LÍNEA SENO B

su

Línea Seno P(x;y)

90°

Es la

1

Trazada desde el

Extremo del arco

0°

180°

P(x;y)

Diámetro horizontal

-1

270°

Hacia el

B´

0

 

'

AA

sus

1  sen   1 Valores cuadrantales SENO

-∞

0

π/2

π

3π/2

2π

0

1

0

-1

0

 En el Triángulo rectángulo OQP: PQ y Sen θ = = OP 1 Por lo tanto: Sen θ = y  De la figura: Sen AP = Senθ = PQ = y

CUADRANTE

su

Variación cuadrantal

VARIACIÓN COMPORTAMIENTO

SIGNO

Q1

0a1

CRECE

(+)

Q2

1a0

DECRECE

(+)

Q3

0 a -1

DECRECE

(-)

Q4

-1 a 0

CRECE

(-)

Sen θ

A Q

O

1

perpendicular



A´

+∞

Análisis de la línea seno

ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSENO

B

Línea Coseno

N

1 A´

O

θ

P(x;y)

90°

Análisis de la línea

su

Es la

0°

180° perpendicular

θ Q

A

Trazada desde el

270° Extremo del arco

P(x;y)

-∞

-1

Hacia el

B´

Diámetro vertical

1  cos   1

 

BB'

sus

Valores cuadrantales

coseno

 En el Triángulo rectángulo PNO: NP x Cos θ= = OP 1 Por lo tanto: Cos θ = x  De la figura: Cos AP = Cosθ = NP = x

su Variación cuadrantal

1

0 Cos α

0

π/2

π

3π/2

2π

1

0

-1

0

1

Cuadrante

Variacíon

Comportamiento

Signo

Q1

1a0

DECRECE

(+)

Q2

0 a -1

DECRECE

(-)

Q3

-1 a 0

CRECE

(-)

Q4

0a1

CRECE

(+)

∞

ANÁLISIS DE LA LÍNEA TANGENTE

Línea Tangente

+∞

Análisis de la línea

su

90° T(1;Y1)

Es una

Parte de la tangente geométrica

B P

180°

Trazada por el

Origen de arcos

θ

A´

1

O

B´

A(1;0)

 

A Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco

sus

Tg AP = Tgθ = AT = y1

270°

Valores cuadrantales

Tg

Tg θ=

 De la figura:



  2n  1 ; n  2

Tg  

 En el Triángulo rectángulo TAO: y AT = 1 OA 1 Por lo tanto: Tg θ = y1

0°

su Variación cuadrantal

0

π/2

π

3π/2

2π

0



0



0

-∞

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

0 a +∞

CRECE

(+)

-∞ a 0

CRECE

(-)

Q3

0 a +∞

CRECE

(+)

Q4

-∞ a 0

CRECE

(-)

Q2

ANÁLISIS DE LA LINEA COTANGENTE 0

-∞ Línea Cotangente

Análisis de la línea

su

+∞

es

90° Parte de la tangente geométrica

T( X1 ; 1)

B

θ

P(x;y)

Origen de complementos

θ

A´ O

Que pasa por el

 

B(0;1)

A

1

 n ; n 

cot  

Valores cuadrantales

sus

 En el

270°

Se mide desde este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.

B´

Cotg

0

π/2

π

3π/2

2π



0



0



rectángulo TBO:

x BT Ctg θ= = 1 BO 1  Ctg θ = x1

0°

180°

su Variación cuadrantal

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

+∞ a 0

DECRECE

(+)

0 a -∞

DECRECE

(-)

Q2

 De la figura:

Q3

+∞ a 0

DECRECE

(+)

Ctg AP = Ctgθ = BT = x1

Q4

-∞ a 0

DECRECE

(-)

90°

ANÁLISIS DE LA LÍNEA SECANTE Línea Secante

su

Análisis de la línea

B es

P(x;y) Parte del diámetro prolongado

1 θ

A´

A

O

T( X2 ; 0)

270 °

Que pasa por el

Origen de arcos

-∞ B´

 En el

rectángulo OPT:

x OT = 2 OP 1  Sec θ = x2 Sec θ=

 De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2

+∞ -1

Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

  sus



Sec α  -1  Sec   1

  2n  1 ; n  2 Valores cuadrantales

Cotg

su

Variación cuadrantal

+1

0

π/2

π

3π/2

2π

0



-1



1

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

1 a +∞

CRECE

(+)

-∞ a-1

CRECE

(-)

Q3

-1 a - ∞

DECRECE

(-)

Q4

+∞ a 1

DECRECE

(+)

Q2

+∞

ANÁLISIS DE LA LÍNEA COSECANTE T(0; Y2 )

Línea Cosecante

su

Análisis de la línea

B θ

+1

es

P(x;y) Parte del diámetro prolongado

1

0° 360°

180°

θ

A´

O

A

que pasa por el

Origen de complementos

B´  En el

rectángulo OPT:

Y OT Cosec θ= = 2 OP 1  Cosec θ = Y2

-1

Se empieza a medir desde el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

Valores cuadrantales

sus

 

Cotg

Cosec α  -1  Cosec   1

 n ; n 

0

π/2

π

3π/2

2π



1



-1



 De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2

-∞

su Variación cuadrantal

CUADRANTE

VARIACIÓN

Comportamiento

Signo

Q1

+∞ a 1

Decreciente

(+)

1 a + ∞

Creciente

(+)

Q3

- ∞ a -1

Creciente

(-)

Q4

-1 a - ∞

Decreciente

(-)

Q2

Línea Coseno Verso o Coverso (cov)

Línea Seno Verso o verso (vers)

Línea ex-secante o external (ex-sec) es

es

es

Lo que le falta al coseno de un arco para valer la unidad

B

B

P(x;y)

N El verso se empieza a medir a partir del

1 θ

A´

O

1

Q

P(x;y)

A

1

1

Lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad

A

O

Origen de versos

Se mide a partir del

P(x;y) El coverso se empieza a medir en el

1

B´

B

θ

θ

A´

El exceso de la secante respecto a la unidad

1 θ

A´

O

1

Q

A

T Origen de ex secantes

Origen de coversos

B´

B´

Que viene a ser el origen de arcos A(1; 0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal. El verso siempre es positivo.

Que viene a ser el origen de complementos B(0;1), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical. El coverso siempre es positivo.

Que viene a ser el origen de arcos A(1; 0), y termina en el punto donde acaba la secante de ese arco. Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y en caso contrario es negativa.

 Por definición: Vers  = 1 - Cos  ... I 

 Por definición: cov  = 1 - Sen  ... I 

 Por definición: Ex-sec  = Sec  - 1 ... I 

 De la figura : Vers  = QA

 De la figura : Cov  = BN

 De la figura : Ex-sec  = AT

 En el Triángulo rectángulo OQP:

 En el Triángulo rectángulo ONP:

 En el Triángulo rectángulo OPT:

Cos  =

 Cos 

OQ OQ = OP 1

= OQ ... II

Reemplazando:  II en I Vers   1  OQ



Vers   QA

OT OT = OP 1

NO NO Sen  = = OP 1

Sec  =

Reemplazando:  II en  I

Reemplazando:  II en I 

 Sen 

= NO ... II 

 Sec 

Ex-sec   OT-1

Cov   1  NO



Cov   BN

= OT ... II 



Ex-sec   AT