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• Alvaro Jose Gomez Ramos

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES III INGENIERÍA INDUSTRIAL PARCIAL I

1.

(2 puntos) Una tienda vende un artículo especial cuya demanda diaria puede ser descrita por una distribución de Poisson de media 2. La tienda está comparando dos políticas de colocar pedidos: (1) Pedir 3 unidades cada día si el nivel de las existencias es menor que 2, de lo contrario, no pedir. (2) Pedir 5 unidades cada día si el nivel del inventario es cero; de lo contrario, no pedir. El costo fijo por ordenar por envío es de $300, y el costo de retener las unidades excedentes por unidad por día es de $3. Se espera una entrega inmediata. a) Modele el nivel de inventario como una cadena de Markov. Defina adecuadamente los estados, e indique las probabilidades de transición entre ellos. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calcúlelas. b) ¿Cuál política debe adoptar la tienda para minimizar el costo diario esperado total de pedir y retener? Nota: 𝑃{𝐷𝑡+1 = 𝑛} =

(𝜆)𝑛 𝑒 −𝜆 𝑛!

2.

(1,5 puntos) Se ha comprobado que la probabilidad de que un determinado partido político gane unas elecciones depende de si las ganó en los dos comicios inmediatamente anteriores de la siguiente forma: si ganó las dos elecciones anteriores, entonces la probabilidad de que vuelva a ganar es del 95 %. Si ganó las últimas elecciones pero no las penúltimas, entonces la probabilidad de que gane es del 70%. Si ganó las penúltimas pero perdió en las últimas, entonces la probabilidad de que pierda es del 60%. Finalmente, si perdió en las dos elecciones anteriores, entonces perderá con una probabilidad del 80%. a) Use la información anterior para establecer un modelo basado en cadenas de Markov. Determine los tipos de estados, clases finales de la cadena y sus periodicidades. b) Si el resultado de las elecciones actuales y de las anteriores ha sido desfavorable, cual es la probabilidad de que dentro de dos comicios gane las elecciones. c) Calcule la fracción del tiempo que este partido está en el poder.

3.

(1,5 puntos) Un pequeño hotel opera a las afueras de la cuidad de Montería. Cada tarde puede llegar un nuevo cliente solicitando una habitación, lo cual ocurre con probabilidad p=0.7, o bien puede no llegar ninguno (con probabilidad q = 1 − p). Una fracción α=0.4 de los clientes se queda en el hotel sólo una noche (llegan una tarde y se van en la mañana siguiente), mientras que una fracción β = 1−α, decide quedarse una noche más disfrutando del hermoso paisaje (i.e. llegan una tarde y se van en la mañana del día subsiguiente). Nadie pasa más de 3 noches en el hotel. c) Modele el estado de ocupación del hotel para cada noche (cuántas habitaciones están ocupadas) como una cadena de Markov. Defina adecuadamente los estados, e indique las probabilidades de transición entre ellos. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calcúlelas. d) Suponga que el hotel le cobra a sus clientes $1500 por la primera noche de estadía y $1200 por noche adicional. ¿Cuál es el valor esperado del ingreso por noche en el largo plazo?. e)

¿Cuál es el número promedio de habitaciones ocupadas?.