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III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO 1. CONCEPTO



Csc =

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.

25

A

5

45°

Fig(1) “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

a2 + b2 = c2

16° Sen 7/25

37° 45°

1/2

3/5

2

/2 4/5

4/5

2

/2 3/5 ½

7/25

4/3

3

24/7

¾

3

3

Tg

7/24

3 /3

¾

Ctg

24/7

3

4/3 1

Sec 25/24 2

3

2

5/3 2

5/3

2

5/4 2

Csc 25/7

Dado el triángulo ABC, recto en “C” según la figura (1), se establecen las siguientes definiciones.

5. PROPIEDADES



Cateto Opuesto Sen = Hipotenusa



Cos =

  

Tg =

Ctg =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cateto Opuesto Cateto Adyacente Cateto Adyacente Cateto Opuesto

Hipotenusa Sec = Cateto Adyacente

53° 60°

/3 5/4

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2

1

E = Senx – Senx +

1

E= 1

4).- Halla E:

Tg 27 Sen30 Sec40   Cos60 Ctg63 Csc50 Solución : E=

Sen30 Tg 27 Sec40   Cos60 Ctg63 Csc50

E=

Cos60 Ctg63 Sec40   Cos60 Ctg63 Sec40

PROBLEMAS RESUELTOS

30°

Cos 24/25

 +  = 90°

c) Tg = Ctg

4

/2

Coseno Cosecante Cotangente

b) Sec = Csc

3

37° 1

C b (Cateto adyacente)

Seno Secante Tangente

a) Sen = Cos

1



Razones Complementarias

E= 53°

45°

a (Cateto opuesto)

E = Senx – Cosy + Senx Cscx

Razones Trigonométricas

En general :

3

2

Solución :

30°

7

24

B

60° 1

2

74°

16°

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

c

5.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS

Hipotenusa Cateto Opuesto

3

74°

/2

/3

24/25

7/24

1).- Halla “E” : E = Sen Csc + Tgx . Ctgx Solución:

E= 3 E = Sen Csc + Tgx . Ctgx

25/7 3

E=1+1+1

1

+

1

5).- En la figura , calcula “x” :

/3 25/24

E= 2 2).- Si :  +  = 90; halla “E” :

5.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS :

E =Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)

Son recíprocos entre si : a) Seno y Cosecante.

Solución :

b) Coseno y Secante.

E = Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)

c) Tangente y Cotangente.

E = Sen + Sen + 2(Sen + Sen)

Luego :

E = 2Sen + 4Sen

a) Senx . Cscx = 1 b) Cosx . Secx = 1

E = 6Sen

c) Tgx . Ctgx = 1

3).- Si : x + y = 90° ; halla “E” : E = Senx – Cosy + Senx Csc

x+1 x-1

x Solución : Por Pitágoras , se cumple : (x + 1)2 = x2 + (x – 1)2 x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 2x + 1 2x + 1 + 2x – 1 = 2x2 – x2 4x = x2 x = 4

PRÁCTICA

7).- Si: Sen = 60/61. Calcula el valor de:

3).- Si : Sec = 2,6  0°    90 o

P = Sec + Tan 1).- Calcula “x” en la figura. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

a) 11 d) 7

b) 60 e) 12

a) 2/10 d) 5

b) 3/10 e) N.A

x

a) 40 d) 10

x+1

c) 9

10).- Siendo Sen = 15/17 y “” es un ángulo. Calcula el valor de “x” en la igualdad:

x-1

a) 10° d) 30°

c) 2/3

d) 3

b) 15° e) 25°

e) 2

o

c) 2/3

c)

3 2

1

1

1

2

10) Calcula: cot



a) 1

Sen3 x Cos6 x

b) 1/2

3 3

2 2 e) 1 2

5).- Si : Sen(2x  10 )  Cos( x  20 ) Calcula :

b)



d)

c) 20°

o

a) 1

b) 41 e) 21

2

b) d) 2

e) 1/3

6).-Si : Sen 40 o Sen3x  Cos50 o Cos60 o

c) 3 d) 2 5

e)



Calcula : Sen(30  x)Sec2x o

1) Si : Sen2 = Cos a) 1

b) 1/2

c) 2

d) 1/3

e) 3 Calcula : 2Sen+4Cos2

xCos + 7 = Sen.

x

4).- Calcula en la figura, “Tan”.

a) 9

b) 8

c) 13

7).- De la figura, halla : Csc

d) 15

e) 17

5

1).- Si : Sen = 0,75 0°   90°

4

d) 5 e) 4/3



b) 24/7 e) 5

c) 7/25

a) 1

b) 2

2).- Si tan =

Calcula :

6).- Si: Sen = 40/41, calcula: E = csc + cot b) 5/4 e) 3

a)

a) 1 d) 3/2

6

b)

11

c)

13

d)

15

e)

17

5

a) 5 c) 1

c) 3 2 3

d) 7

e) 9

8).- Calcula : cottan

c) 3

2) Calcula: 3Tan45°+2Sec60°+4Sen30° b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Calcula : 3tan9+4Cos12

0°    90 o

c) 15

b) 2 e) 5/2

3).- Si, Sec10 = Csc8

a) 3

3Sec2+2Csc2 b) 10

1

a) 3



Calcula : 3 7 cot

5).- Si; Sen= 7/25. Calcula: “Cot”.

a) 4/5 d) 2

c) 10/3

kcot + 1 = kcsc

3).- En la figura, calcula “Sen”. 

b) 3/2

Sen(2x  10o )  Cos( x  20o )

9).- Siendo  un ángulo agudo para el cual se tiene que Cos = 40/41; Determina el valor de “k” tal que se verifique.

2

3

d) 11 e) 20

a) 7/24 d) 1

a) 5

4).- Halla x si :

x

13

a) 3 b) 2 c) 1

c) 61

8).- Si: Tan = 0,333......... Calcula: E = SenCos.

2).- Calcula “x” en la figura: a) 7 b) 9

a) 1 b) 2 c) 3/4 d) 4/5 e) 7

Calcula : cot+Csc

61

60

c)

9) Calcula: Cos 5 a) 5

d) 20

e) 25

a) 1 b) 2 c) 2/3 d) 3 e) 3/2

 

b) 4

c) 5

d) 6 e) 7

4).- Si : Sen(x-) – Cos(x+) = 0 Calcula : Sen2 x + TanCot a) 1 e) 3/2

b) 2

c) 3

d) 1/2

5).- Hallar: Tan a) Sen30° b) Cos30° c) Tg30° d) Ctg30° e) Sec30° 30°

Sec  .Tag  .C tg  3 4 6 14).- Simplifica:    Tg .Sec .C tg 3 4 4

10).- Halla : Tan 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3



6).- Halla : Tan

37 a) 3/4 b) 3/8 c) 1/2 d) 3/2 e) 3/5

o



a)

2 /2

b)

3 /3

c)

7 /7

d)

11 /11

e)

13 /13

Halla el valor de:

a) 2 3

b) 3 2 e) 24

Q = TanA + TanC

a) 1

b) 20/17



2

c) 13/19

c) 3 d) 2

d) 17/20

b)

e)

e) 19/13

135° 2 2

A

b) 5

d) 7 e) 8 A



D

3 4

c)

3 5

d)

3 6

e)

3 7

c) 1/2

a) 1

5

b) 2



c) 3

4

d) 4 1 5

e) 5

1

D 2 

A

C

6).- En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto AB forman un ángulo agudo , entonces Tan es: 







b) 1/11 e) 13/11

c) 11

2).- El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4m ¿Cuánto mide el cateto menor? b) 33.8m e) 55

   d) 2(Tg C  Ctg A ) e) 2Tg C

c) 2Ctg A

7).- En el cuadrado ABCD halla “”; si PR =4; PS  8 ; PT =7 A

a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

R 

S 

P



c) 50m

B



T

D

C



a) 4

c) 6

b) 0,75 c) 0,25 d) 0,05 e) 1

b)

b) 3/4 e) 4/5

5).- En el gráfico, calcula : Cot 

B

a) 13m d) 56.33m

13).- Calcula “x”. 9).- Si ABCD es un cuadrado. Calcula Tan C B 37 o a) 0,50

6

C

5

3 3

a) 101/11 d) 10

B

a) 15/23

6

1) Si: Sen = 60/61 . Calcula el valor de: P = Tan + Sec

12).- En la figura, calcula:

8).- Halla: Tan

e)

a) 3/2 d) 3/5

c) 4 3

a) 2Tg A b) Tg A  Tg C

30o



d) 7 6

c)

3

d) 1/2

2

a)

  Cot Tan.Tan Tan   2   3 

7).- Calcula : Sen

b)

15).- Siendo ABC triángulo equilátero. Halla: Tan

11).- Si: Sensec = 1

37o

a) 0

4) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triángulo es:

82°

7 x

3).- Determina el área de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 54 cm, y el coseno del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa es igual a 2/3. a) 420 cm2 b) 450cm2 c) 486cm2 2 d) 962cm e) 243cm2

8) En un triángulo ABC( C =90) en el cual se cumple que : 1 + SenA TanA = SenB + CscB Calcula el valor de: E  Sec 2 A  Tg 2 A

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9