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III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO





2. TEOREMA DE PITÁGORAS

a (Cateto opuesto)

 A

Csc =

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Cos Tg Ctg Sec

Cateto Adyacente Hipotenusa 

Tan =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

1

Csc

3

16°

30°

37° 45°

7/25 24/2 5 7/24

1/2

3/5

2 4/5

3

4/5

3/5

3

¾

1

4/3

3

4/3

1

¾

24/7 25/2 4 25/7

2 2

3

Coseno Cosecante Cotangente  +  = 90°

53° 60° 3 ½

74° 24/25 7/25

3

24/7

3

7/24

5/4

2 5/3 2

25/7

5/3

2 5/4 2

25/24

3

E = Sen Csc + Tanx . Cotx +

1

E= 2 2).- Si :  +  = 90; halla “E” :

5. PROPIEDADES

E =Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)

5.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS :

Solución :

Son recíprocos entre si : a) Seno y Cosecante.

1

E= 1 4).- Halla E: E = Sen30 Tg27 Sec 40   Cos60 Ctg63 Csc50

E

1).- Halla “E” : E = Sen Csc + Tanx . Cotx Solución:

1

E = Senx – Senx +

Solución :

PROBLEMAS RESUELTOS

4

2

Seno Secante Tangente

c) Tg = Ctg

37° 1

Sen

=

5

45°

Dado el triángulo ABC, recto en “C” según la figura (1), se establecen las siguientes definiciones.

Cateto Opuesto Sen = Hipotenusa

45°

Razones Complementarias

b) Sec = Csc 53°

2

E = Senx – Cosy + Senx Cscx

a) Sen = Cos 3

24

a2 + b2 = c2

Cos

30°

7

Solución :

Razones Trigonométricas

En general :

60° 1

2

E = Senx – Cosy + Senx Csc

5.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS

Hipotenusa Cateto Opuesto

74°

16°

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.



c) Tanx . Cotx = 1

b C (Cateto adyacente) 25

3).- Si : x + y = 90° ; halla “E” :

b) Cosx . Secx = 1

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

Fig(1)



a) Senx . Cscx = 1

Hipotenusa Cateto Adyacente

Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.

E = 6Sen

Luego :

Sec =

1. CONCEPTO

c

E = 2Sen + 4Sen

c) Tangente y Cotangente.

Cateto Adyacente Cateto Opuesto 

B

b) Coseno y Secante.

Cot =

E = Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)

=

Sen30 Tg27 Sec 40   Cos60 Ctg63 Csc50 E

=

Cos60 Ctg63 Sec 40   Cos60 Ctg63 Sec 40 E=1+1+1 E= 3 5).- En la figura , calcula “x” :

x+1

x-1

E = Sen + Sen + 2(Sen + Sen) x

d) 5 e) 4/3

Solución : Por Pitágoras , se cumple :

Calcula : 3

5).- Si; Sen= 7/25. Calcula: “Cot”.

(x + 1)2 = x2 + (x – 1)2 x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 2x + 1 2x + 1 + 2x – 1 = 2x2 – x2 4x = x2

a) 7/24 d) 1

b) 24/7 e) 5

c) 7/25

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

a) 11 d) 7

a) 2/10 d) 5

2).- Calcula “x” en la figura: a) 7 b) 9 3 c) 13 d) 11 e) 20

2



x+1

c) 10/3

b) 41 e) 21

c) 9

a) 9

b) 8

c) 13

c) 2/3

d) 15

e)

17

a) 10° d) 30°

b) 15° e) 25°

5).-

d) 3

e) 2

e) 17

c) 20°

Si

b) 1/2

:

a)

5 5

b)

3 3

c)

3 2

e)

Sen3 x Cos6 x c) 2/3

d) 2

e) 1/3 :

Sen40 o Sen3 x  Cos50 o Cos60 o

c) 2

1).- Si : Sen = 0,75 0°   90°

b)

11

d) 1/3



1

1

2

1 2



a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 5

e) 3

1) Si : Sen2 = Cos Calcula : 2Sen+4Cos2

5



1



Sen(30 o  x )Sec 2x b) 1/2



10) Calcula: cot

6).-Si

a) 1



d) 2 2

Sen( 2x  10 o )  Cos( x  20 o )

a) 1



9) Calcula: Cos

7).- De la figura, halla : Csc a) 6

5 4

15

a) 1 b) 2 c) 2/3 d) 3 e) 3/2

e) 25

Sen( 2x  10 o )  Cos( x  20 o )

Calcula :

xCos + 7 = Sen.

4).- Calcula en la figura, “Tan”.

b) 3/2

Calcula :

10).- Siendo Sen = 15/17 y “” es un ángulo. Calcula el valor de “x” en la igualdad:

x-1

d) 20

13

d)

8).- Calcula : cottan

0°    90 o

c) 15

c)

4).- Halla x si :

b) 3/10 e) N.A

a) 40 d) 10

b) 10

a) 5

kcot + 1 = kcsc

x

a) 3 b) 2 c) 1

c) 61

9).- Siendo  un ángulo agudo para el cual se tiene que Cos = 40/41; Determina el valor de “k” tal que se verifique.

x

3).- En la figura, calcula “Sen”. a) 1 b) 2 c) 3/4 d) 4/5 e) 7

b) 60 e) 12

8).- Si: Tan = 0,333......... Calcula: E = SenCos. 60

e) 9

Calcula : cot+Csc

61 x

2 3

d) 7

3).- Si : Sec = 2,6  0°    90 o

P = Sec + Tan 1).- Calcula “x” en la figura.

c) 3

2).- Si tan =

a) 5

a) 4/5 b) 5/4 c) 1 d) 2 e) 3 7).- Si: Sen = 60/61. Calcula el valor de:

PRÁCTICA

b) 2

Calcula : 3Sec2+2Csc2

6).- Si: Sen = 40/41, calcula: E = csc + cot

x = 4

a) 1

7 cot

1

a) 1 d) 3/2

b) 2 e) 5/2

c) 3

a) 15/23 a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 5

2) Calcula: 3Tan45°+2Sec60°+4Sen30° a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

3).- Si, Sec10 = Csc8

b) 20/17 c) 13/19

b) 4

c) 5

4).- Si : Sen(x-) – Cos(x+) = 0 Calcula : Sen2 x + TanCot a) 1 b) 2 c) 3 e) 3/2 5).- Hallar: Tan a) Sen30° b) Cos30° c) Tg30° d) Ctg30° e) Sec30° 30°

d) 1/2

b) 5

14).-

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3

11).- Si: Sensec = 1

37

a)

2 /2

b)

3 /3

c)

7 /7

d)

11 /11

e)

13 /13

8).- Halla: Tan

Tan

   Cot Tan .Tan   2   3  a) 2 3 c)

b) 3



30

a) 0

b)

2

d) 7

e)

6

3 3

b)

3 4

c)

2

e) 24

12).- En la figura, calcula:

B

Q = TanA + TanC

A

135°

6

C

3 5

d)

3 6

e)

3 7

o

2

6

a)

3

d) 1/2 

o

c) 4

3

b) 33.8m e) 55

c) 50m

3).- Determina el área de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 54 cm, y el coseno del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa es igual a 2/3. a) 420 cm2 b) 450cm2 c) 486cm2 2 d) 962cm e) 243cm2

a) 3/2 d) 3/5

b) 3/4 e) 4/5

c) 1/2

5).- En el gráfico, calcula : Cot 

B

a) 1

5

b) 2

5



c) 3

D 2 A

c) 11

4) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triángulo es:

15).- Siendo ABC triángulo equilátero. Halla: Tan

Halla el valor de:

7).- Calcula : Sen

Simplifica:

Sec  .Tag  .Ctg  3 4 6    Tg .Sec .Ctg 3 4 4





x

d) 7

37

o

a) 13m d) 56.33m

82°

7

D

6).- Halla : Tan a) 3/4 b) 3/8 c) 1/2 d) 3/2 e) 3/5

a) 4 c) 6

b) 1/11 e) 13/11

2).- El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4m ¿Cuánto mide el cateto menor?

13).- Calcula “x”.

e) 8



A 10).- Halla : Tan



a) 101/11 d) 10

e) 19/13

9).- Si ABCD es un cuadrado. Calcula Tan C B a) 0,50 37 o b) 0,75 c) 0,25 d) 0,05 e) 1

d) 6 e) 7

P = Tan + Sec

d) 17/20

Calcula : 3tan9+4Cos12 a) 3

1) Si: Sen = 60/61 . Calcula el valor de:

4

d) 4 1 

C

e) 5

1

6).- En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto AB forman un ángulo agudo , entonces Tan es:

 2Tg A b)   Tg A  Tg C  2CtgA

a)

c)





d) 2( Tg C  CtgA )

e)

 2Tg C

7).- En el cuadrado ABCD halla “”; si PR =4; PS  8 ; PT =7 A

a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

R 

B



S 

P



D

T

C

 C

8) En un triángulo ABC( =90) en el cual se cumple que : 1 + SenA TanA = SenB + CscB Calcula el valor de: E  Sec 2 A  Tg 2 A

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9