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Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista g

Geometría: Parte de la matemática que trata de las propiedades y la medida de la extensión. Punto: Limite mínimo de la extensión que se considera sin longitud, latitud ni profundidad. Línea: Esta formado por la sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud. Línea recta: Línea curva:

A

g B uuu r A  AB

Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen. Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos. g g A B AB Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando se desplaza paralelamente a su posición original.

P

Línea quebrada:

Prof. Lic.

Porción de Plano

Figura Geométrica: Es un conjunto de puntos ó sistemas de líneas y superficies que reciben el nombre de figuras geométricas.

Línea mixta:

Significado

de los términos matemáticos: Línea recta: sucesión continúa de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.

g A

g B

suur AB

Semi–recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.

o

A

g B

uuur A  AB

Axioma: Es una proposición evidente por si misma y que no necesita demostración: Teorema: Proposición que mediante un razonamiento se hace evidente y consta de dos partes; hipótesis y tesis. Corolario: Es una consecuencia de uno o varios teoremas. Postulado: Proposición que sin

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista ser evidente se admite su certeza por no ser posible demostrarla. Lema: Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar un teorema principal. Escolio: Es una advertencia o anotación que se hace para aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores. Proposición: Es el enunciado de una hipótesis ó suposición y conclusión. Hipótesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución. Problema: Es una proposición que se hace con el objeto de aclararlo ó resolverlo. Operaciones con Segmentos: Suma: g A

g B

g P

g Q

g R

g S

* PR  PS  PQ  RS * PQ  PR  QS * RS  PS  PR Máximo número de puntos de corte * Para puntos secantes

Nº  n  n  1

* Para polígonos secantes Nº  L .n  n  1

n  número de figuras L  número de lados del poligono ÁNGULO Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice. Vertice

A g Lados

g B

* AD  AB  BC  CD * AD  AB  BD * AD  AC  CD Resta:

n n  1 2

* Para circunferencias secantes

Og

g D

g C

Nº 

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µ ; R AOB , O µ Notación: AOB Bisectriz: Rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. A g  Og 

bisectriz

g B Clasificación: Los ángulos se clasifican según

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista su magnitud, según características y según posición de sus lados.

sus su     90



I. Según su Magnitud:



b) Ángulos Suplementarios

1: Ángulo Nulo:   0º

O 2:

Ángulo



Convexo:

0    180º

agudo : Convexo

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    180º



0º    90º

recto : obtuso :





3. Ángulo llano:

  90º

III. Según Posición de sus lados

90º    180º

a) Ángulos suplementarios

  180º

adyacentes

    180º



 

4. Ángulo Cóncavo:

b) Ángulos Consecutivos 180º    360º

C





D 5.

Ángulo

de

una

vuelta:

  360º



B 



O

A

      ......  360

c) Ángulos vértice

opuestos

por





II. Según sus características a) Ángulos Complementarios



el

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

Ángulos de lados paralelos a)

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1

b) 







6 8

c)

2

4

L1

3

sur suu r L 1 // L 2

5

L2

7

)

)

)

)

Ángulos internos: 3 ; 4 ; 5 ; 6 ) ) ) ) Ángulos externos: 1 ; 2 ; 7 ; 8 Ángulos alternos internos:

 

Ángulos de perpendiculares 1) Dos ángulos agudos

lados

$5 $;2 $6 $ 4

Ángulos

alternos

externos:

$ 7 $;2 $8 $ 1

Ángulos conjugados internos:



$  6=180º $ 4 

$  5=180º $ 3

Ángulos conjugados externos: $ 8=180º $ 1



y y

$  7=180º $ 2

Ángulos correspondientes:

2) Dos ángulos obtusos

$=6 $;2 $=5 $;3 $7 $;4 $8 $ 1

Propiedades entre rectas paralelas:





1. Si: M // N



M

 x 

3) Ángulos: agudo y obtuso

y 





    180

    x y

2. Bisectrices de un par lineal

   

N

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ángulos del adyacentes a él.     90º

triángulo

no

B



TRIÁNGULOS Es la figura formada por tres segmentos de recta que se unen pos sus extremos 2 a 2. B y 

C

x=  

3. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360º. B 2

z  A



C x

Elementos: Vértices: A; B y C Lados: AB; BC y AC Ángulos interiores:  ;  y  Ángulos exteriores: x ; y ; z

Teoremas Fundamentales 1. En todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º B

3 A 1   2   3  360º



A

C

      180º

2. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos

C 1

4. En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la sustracción de las longitudes de los otros dos lados. Si: a  b  c

b

c

 

x

 A

b c  a  b c

5. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone a mayor ángulo y viceversa. Si: a  b  c 

b

c 

a



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prolongación.



B

Ceviana exterior

Clasificación de Triángulos:

Ceviana interior

I. Por sus lados

escaleno

E Mediatriz: C A D Es la línea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualquiera.

isosceles

equilatero

II. Por sus ángulos C

B

Triángulo Rectangulo

Mediatriz

Triangulo Oblicuangulo

A

 



B

Triangulo Acutangulo   90º ;   90º ;   90º

Triangulo Obtusangulo   90º



Líneas Notables Triángulo

en

 B   

Bisectriz interior

C

B

el

Bisectriz: Es el segmento que biseca al ángulo de referencia, se tienen bisectrices interiores y exteriores Bisectriz exterior

A

Mediana: Es el segmento determinado por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Mediana

A

C

Altura: Es el segmento determinado por la partida de un vértice y la llegada en forma perpendicular al lado opuesto o su prolongación. B

E

A

D

C

Ceviana: Es el segmento determinado por un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su

altura exterior

altura interior

C

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista * Propiedades en el triangulo isósceles.  Bisectriz  Altura  Mediana  Mediatriz  Ceviana

1

La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

c

2 La suma de las distancias de un punto de la base de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

x  a b

h

h  a b c

b a

Ángulos Formados Líneas Notables

Por Las

1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores. Su medida es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior. B

x a

b x  90º 

P

Consecuencia: A

x  a b



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

x a

b



 

x

 

µ B 2

C

2. ángulo formado por dos bisectrices exteriores. Su medida es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo B  interior. 

P

x D

* Propiedades en el triangulo equilátero.  ortocentro  incentro  baricentro  circuncentro 

 A

C

x  90º 



µ B 2

3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista tercer ángulo interior.

x  y  m n

B

x

A

 

 x

µ B 2

C

D

6. B







Propiedades Adicionales A

1.

Prof. Lic.



C

Triángulos Notables:

B

Rectángulos

 x=    

45º

x



A

2. x

45º

B

B

 

k 3

74º

53º 25k

7k

5k

3k 16º

n

B a

37º

24k

 

A b

30º

k

x

3.

2k

k



m

m n 2

60º

k 2

k

71,5º k

4k 63,5º

k 10

26,5º

18,5º

m n  a  b

k 5

k

2k

3k

n m

4.

Congruencia de Triángulos m

Primer Caso: ALA

a  b  m n

n

(Angulo–Lado–Angulo) Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.

n



b

a

5.

B

m

x

y

 A

B'



 C

A'



C'

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 ABC   A 'B 'C '

Teorema de la base media En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad.

 ABC   A 'B 'C '

Segundo Caso: LAL (Lado–Angulo–Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

B AC  2MN

M 

N

AC // MN



B

Teorema de la Bisectriz C A

B'

 

 C

A

C'

A'

 ABC   A 'B 'C '

 

Tercer Caso: LLL (Lado–Lado–Lado) B

Teorema de la Mediatriz B'

 C

A

C'

A'

 ABC   A 'B 'C '

CUADRILATEROS

Cuarto Caso: LLAm (Lado–Lado–Angulo mayor) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor. B

B'

Los cuadriláteros, es polígono de cuatro lados. CLASIFICACION: 1. Cuadrilátero Convexo Sus ángulos interiores ángulos convexos C B

 A

C

A'

C'

todo

A

D

son

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista 2. Cuadrilátero Cóncavo Posee un ángulo interior cóncavo B

AB  CD

Prof. Lic. y

BC  AD

III ROMBO: Sus cuatro lados congruentes y sus ángulos opuestos congruentes dos a dos.

D

B

A

C

b b

CUADRILÁTEROS CONVEXOS 1. PARALELOGRAMOS: Son cuadriláteros que poseen lados paralelos dos a dos y además congruentes entre sí, entre ellos encontramos:

A

C

dd

D

AB  BC  CD  AD

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

IV ROMBOIDE: Sus lados y sus ángulos opuestos son congruentes dos a dos entre sí: B

I CUADRADO: Sus cuatro ángulos rectos y lados congruentes. B

c c

a a

C

C D

A

AB  CD y BC=AD

µ  mC µ mA

A

µ µ y mB=mD

PROPIEDADES DE PARALELOGRAMOS

D

AB  BC  CD  DA

II RECTANGULO: Sus cuatro ángulos rectos y sus lados opuestos congruentes dos a dos. B

C

A

D

LOS

En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos adyacentes a un lado de todo paralelogramo sin suplementarios. Las diagonales de los paralelogramos se bisecan mutuamente.

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Prof. Lic.

TRAPECIOS

Son cuadriláteros que poseen dos lados opuestos paralelos se les denomina bases del trapecio y dos lados no paralelos. I Trapecio Escaleno: Es el trapecio en el cual sus lados no paralelos son de diferente longitud. B

C

Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios La longitud de la mediana (MN) es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases: MN 

D

A AB  CD

II Trapecio lados no congruentes B

Isósceles: paralelos

Sus son

Bb 2

La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales (PQ), es igual a la semi–diferencia de longitudes de sus bases.

C

PQ 

Bb 2

TRAPEZOIDES A

D

AB = CD

III Trapecio Rectángulo: B

C

Son cuadriláteros convexos que no poseen lados paralelos. Se tiene dos clases de trapezoides Trapezoide Asimétrico: C B

A

D

µ  mB µ  90º mA

b PROPIEDADES EN LOS TRAPECIOS C D N M Q

P

B

D A AB  BC  CD  AD Trapezoide Simétrico:

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista C

Si “G” triangulo D

B

Prof. Lic. es baricentro

x g G

AB  BC y

x  a b

AD=CD b

TEOREMAS COMPLEMENTARIOS: 

a

x

x b

b

b

a

A

a

del

 2



b

a a x

x

x

x

Bb 2

B

 2

x

x

Bb 2

b b 

B b

b

 x



a

aa

b

y

a

 x 2

x  y  180º c

a m

n b

D

A

c

b a

a c  b d

C

B

A

c

d

a

m=n y a=b

se

C

B

b

b

x

d d

En todo Paralelogramo cumple que:

D x

d

c

x=

a+b+c+d 4

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CIRCUNFERENCIA

Es el conjunto de todos los puntos aferentes que constituyen una línea curva plana y cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia “R” (R  radio) de un punto interior “O” denominado centro de la misma.

L 3  recta exterior Segmentos: PQ  cuerda AB  cuerda máxima o diametro MN  flecha o ságita TEOREMAS DE LA CIRCUNFERENCIA LT

B

M N

Og

L3

R

Si T es punto de tangencia:  OT  L T

O

A M

gP3 gP1

P

T g

Elementos de la Circunferencia Q

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O

L1

B

gP2 A

T

M O

A L2 Puntos:  “O” centro de circunferencia “T”  punto de tangencia P1  punto aferente de la circunferencia P2  punto interior a circunferencia P3  punto exterior a circunferencia Rectas: L 1  recta tangente L 2  recta secante

Si : OM  AB  AN=NB

N

B

Si : OM  ON  AB=CD

C N

D

la

A la

B

D

C

la

 

B

Si : AB //CD » »  BC=AD

P

PA  PB

A

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista

Prof. Lic.

congruentes B

B Si AC es el diametro A

C

 AµBC=90º

r

gC

Dg r A

¼ ¼ ACD=ADB

A Q

M

B

Concuencia: B

N

P

D C AB y CD: Tangentes Exteriores

r

O1

g

gO2 r

MN y PQ: Tangentes Interiores

A

 AB=CD y MN=PQ

¼ B=AO ¼ B =120º AO 1 2

Teorema de Poncelet

Obseración: B

c

a

C

r b

a  b  c  2r

Posiciones relativas dos Circunferencias

O1

Adicionales:

entre

A

D

AB // CD

O2

A

   1. Si las circunferencias son

y

x

B

P

m R APB =

x+y 2

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Si: “P” es punto de tangencia

y

x

U

N

C

P

z

x  y  z  180º

12. Si: “R” tangencia

es

»  m PN »  m PC » m PU

punto

de

POLIGONOS

Es todo conjunto de segmentos consecutivos, los cuales siguen diferentes direcciones. Es decir es toda poligonal cerrada

B y R

4

x

x=y

A 5

A

4

N

3

C

F

C

5 2

Si: “T” es punto de tangencia B

3

1

6 6

T

M

2

D

1

E

Elementos D A

AB //CD

Si: “T” es punto de tangencia

Lados : AB ; BC ; CD ; ..... Vertices : A ; B ; C ; .... Ángulos interiores: 1 ;  2 ;  3 ; ..... Ángulos exteriores: 1 ;  2 ;  3 ; ..... Diagonal: FC

a

a=b

T

b

Diagonal media : MN Clasificación Por su Forma 1. Polígono Plano: Lados

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista coplanares

3 Polígono Equiángulo: Poseen todos sus ángulos interiores congruentes

gC

Bg Ag

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a a

gD

2. Polígono Alabeado: Lados no coplanares

a a a

a

6. Polígono Regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez

A 

E

D

B



C

1 Polígono Convexo: Sus ángulos interiores son convexos. B g

A

B

g

4 Polígono Irregular: Son los que poseen ángulos y lados desiguales.

C

D

2 Polígono Cóncavo: Uno o mas ángulos interiores son cóncavos. B

C E

1

g

3

2

g

g

A

g4 D

5. Polígono equilátero: Poseen sus Lados congruentes B

C

A

D

POR SU NÚMERO DE LADOS Triangulo : 3 lados Cuadrilátero : 4 lados Pentágono : 5 lados Hexágono : 6 lados Heptágono : 7 lados Oc6togono : 8 lados Eneágono : 9 lados Decágono : 10 lados Undecágono : 11 lados Dodecágono : 12 lados Pentadecágono : 15 lados Icoságono : 20 lados

Razonamiento Geometrico M.C. Javier Evangelista

PROPIEDADES: Para todo polígono de “n” lados: En todo polígono numéricamente: los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos centrales son iguales. A partir de un vértice de un polígono convexo se puede trazar  n  3 diagonales. El numero de diagonales, se obtiene por: N D 

n  n  3 2

La suma de las medidas de los ángulos interiores resulta ser: S i  180º  n  2

La suma de las medidas de los ángulos exteriores, resulta ser: Se  360º

La suma de las medidas de los ángulos centrales S c  360º

La medida de un ángulo interior de un polígono regular o equiángulo: Ri 

180º  n  2 n

La medida de un ángulo exterior de un polígono regular o equiángulo. Re

360º n

Prof. Lic.