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GRADIENTE GEOMETRICO

Definiciones 

Es aquel que se incrementa periodo tras periodo a partir de la primera cuota mediante una razón constante que se expresa de forma porcentual, llamada G. (Cifuentes, 2010)



Es una serie de cuotas que crecen o decrecen en un porcentaje calculado sobre la cuota anterior. (Arango, 2010)



Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el gradiente geométrico decreciente, dependiendo de que las cuotas aumenten o disminuyen en ese porcentaje. (Orozco, 2011)



En el gradiente geométrico cada pago es igual al anterior multiplicado por uno más una constante G, si la constante es positiva el gradiente será creciente, si es negativo el gradiente será decreciente. (Uribe, 2011)



Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al del periodo inmediatamente anterior disminuido u incrementado en un mismo porcentaje. Esta variación porcentual puede ser positiva o negativa, originando así lo que

se conoce con los nombres de gradiente geométrico creciente o gradiente geométrico decreciente, respectivamente. (Miner, 2010) Ley de formación

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago. (Uribe, 2011)

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una constante, así como se muestra a continuación:

A 1=Primer pago A 2= A 1 ( 1+G )=Segundo pago 2

A 3= A 2 ( 1+G )= A 1 ( 1+G ) Tercer pago 3

A 4 = A3 ( 1+ G )= A1 ( 1+G ) Cuarto pago

…….

A n= A 1 ( 1+G )

n−1

=Nuevo pago

Con las expresiones siguientes se encuentra un valor presente (VP) y un valor futuro (VF) de una serie gradiente geométrica o exponencial, conocidos el número de pagos (n), el valor de cada pago (A), la variación (G) y la tasa de interés (i). (Arango, 2010)

FORMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICO Valor presente Creciente

Dónde:

Decreciente

VP=Valor presente G=variación

A=Serie de pagos VP=

[

A [ ( 1+G )n ( 1+i )−n−1 ] G−i

]

VP=

[

A [ ( 1−G )n ( 1+ i )−n −1 ] G+i

]

n=numero de periodos

i=tasa de interés por periodo

Valor futuro Creciente

Dónde:

Decreciente

VF=Valor presente G=variación

[

VF=

A [ (1+G ) −( 1+ i ) G−i n

n

]

]

A=Serie de pagos

[

A [ (1−G )n−( 1+i )n ] VF= G+i

]

n=numero de periodo s

i=tasa de interés por periodo

La cuota de una serie gradiente geométrica se determina de la siguiente manera:

Creciente Cuotan= A ( 1+G )

n−1

Decreciente n−1 Cuotan= A ( 1−G )

(Cifuentes, 2010)

Gradiente geométrico creciente

Valor presente de un gradiente geométrico creciente Es un valor ubicado en el presente equivalente a una seria de pagos periódicos que aumentan cada uno con respecto al anterior, en un porcentaje fijo. (Orozco, 2011)

El flujo de caja es el siguiente:

A

Ejercicio: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $ 850.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 18

Datos: VP=? G=10

i=3 n=24

A=$ 850.000

Desarrollo:

[

A [ ( 1+G )n ( 1+i )−n−1 ] VP= G−i

[

]

850.000 [ ( 1+0.1 )24 (1+0.03 )−24 −1 ] VP= 0.1−0.03 VP=$ 46.694 .334,68

]

Cuotan= A ( 1+G )n−1 Cuota18=850.000 ( 1+0.1 )

18−1

Cuota18=4.296.299,74 (Arango, 2010)

Valor futuro de un gradiente geométrico creciente El valor futuro de un gradiente geométrico es un valor ubicado en la fecha del último pago o ingreso equivalente a una serie de pagos periódicos, que crecen cada periodo en un porcentaje constante. (Uribe, 2011)

Ejercicio Se desea determinar el valor futuro equivalente al pago de 10 cuotas variables, que a partir de la segunda cuota se incrementan en un 3% del valor de la cuota inicial de $500.000. La corporación financiera reconoce el 1,5% al mes. Datos: VF=?

G=3 i=1,5

n=10 A=$ 500.000

Desarrollo:

[

A [ (1+G )n −( 1+ i )n ] VF= G−i

[

]

500.000 [ ( 1+0.03 )10 − (1+ 0.015 )10 ] VF= 0.03−0.015

]

VF=6.112 .518,48 (Uribe, 2011) Gradiente geométrico decreciente Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un porcentaje constante. (Orozco, 2011) El flujo de caja es el siguiente:

A Valor presente de un gradiente geométrico decreciente

El valor presente de un gradiente geométrico decreciente es un valor, ubicado un periodo anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un porcentaje fijo. (Uribe, 2011)

Ejercicio: Calcular el valor presente de 24 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en 2%, siendo el primer pago de $ 1’000.000 teniendo una tasa de interés del 30% capitalizable semestralmente. Además halle el valor de la cuota 12.

Datos: VP=? G=5

i=4 n=24

A=$ 1.500 .000

Desarrollo:

[

A [ ( 1−G )n ( 1+ i )−n −1 ] VP= G+i

[

]

1.000 .000 [ (1−0.02 )24 (1+0.15 )−24−1 ] VP= 0.02+0.15

VP=$ 5.755.812,68

]

Cuotan= A ( 1−G )n−1 Cuota12=1.500 .000 (1−0.05 )

12−1

Cuota12=853.200,14 (Orozco, 2011)

Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente Es un valor futuro equivalente a una serie periódica de pagos o ingresos que disminuyen en un porcentaje fijo. El valor futuro de esta serie queda ubicado en la fecha del último pago o ingreso. (Uribe, 2011)

Ejercicio Calcular el valor que se tendrá ahorrando en una entidad financiera si se hacen seis depósitos que disminuyen cada mes en un 1%, el primer deposito es de $2.000.000 y le reconocen una tasa de interés del 2% mensual.

Datos: VF=? G=0.01

i=0.02 n=6

A=$ 2.000 .000

Desarrollo:

[

A [ (1−G )n−( 1+i )n ] G+i

[

2.000.000 [ ( 1−0.01 )6−( 1+0.02 )6 ] 0.01+ 0.02

VF=

VF=

] ]

VF=$ 12.312 .151,32 (Cifuentes, 2010)

Bibliografía Arango, A. A. (2010). Matematicas financieras. Colombia: Nomos. Cifuentes, J. C. (2010). Matematicas financieras. Colombia: Uninorte. Orozco, J. d. (2011). Matematicas financieras aplicadas. Bogota: Ecoe. Portus, L. (1997). Matematicas financieras. Colombia: Printer Colombiana. Uribe, J. A. (2011). Matematicas financieras empresariales. Bogota: Ecoe.

EJERCICIO EN CLASE Calcular el valor futuro equivalente a 12 pagos que aumentan cada mes en 2.0% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $2.000.000 Datos: VF=?

G=0.02 i=0.03

n=12 A=$ 2.000 .000

Desarrollo:

[

VF=

[

VF=

A [ (1+G )n −( 1+ i )n ] G−i

]

2.000.000 [ ( 1+0.02 )12−( 1+0.03 )12 ] 0.02−0.03

VF=31.503.818,46

]