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SOLIDOS DE REVOLUCION EN GEOGEGRA ACTIVIDAD 5 UNIDAD 3

PRESENTADO POR JOHN ALEXANDER FRANCO OTALVARO YEFFERSON DANIEL JAIMES GOMEZ ELIZABETH CINTURA LADINO JOURDEN JOUSSETH OROZCO OROZCO JAIME RODRIGO LIZARAZO COLMENARES.

PRESENTADO A PABLO CUBIDES PROFESOR CALCULO INTEGRAL

INGENIERIA INDUSTRIAL

CORPORACION UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA AGOSTO 2019

EJERCICIO A. Realizado por John Alexander Franco. 𝐲 = 𝟒 − 𝐱𝟐,

𝑠𝑖 𝑥 = 𝑜

𝐱 = 𝟎,

𝐲=𝟎

𝑦=4 0 = 4𝑥 2

𝑠𝑖 𝑦 = 0

𝑥2 = 4 𝑥 = ±2

2

𝑣 = 2𝜋 ∫ 𝑥 (4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 0 2

= 2𝜋 ∫(4𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 0

4𝑥 2 𝑥 4 = 2𝜋 ( − ) 2 4 = 2𝜋 [2(22 ) −

(22 ) ] − 2𝜋 (0)0 4

= 2𝜋 (8 − 4) 𝑣 = 8𝜋

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠

Para la resolución y obtención del solido en representación de volumen y revolución dados los resultados anteriores 𝑣 = 8𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 Procedemos al siguiente procedimiento por medio de la aplicación multifuncional GeoGebra.

Gráfico 1. Vista en 2D Función general. Realizado por John Alexander Franco

Gráfico 2. Vista efectuada en 2D, función aplicada entre los limites f, -2,2. John Alexander Franco

Gráfico 3. Vista Lateral- Moldeamiento del solido en vista 3D, rotación vertical sobre el eje y X= 0 y Y= 0. John Alexander Franco.

Gráfico 4 Moldeamiento del solido 3D rotación vertical sobre el eje y. Vista superior derecha. John Alexander Franco.

Gráfico 5. Vista efectuada en 2D y 3D para el requerimiento en modelo solido de revolución. John Alexander Franco.

NOTA : Se utiliza para la solución del procedimiento matemático el método de castillos o también conocido como caparazones cilíndricos.

CONCLUSIONES: En este trabajo se da a conocer una forma interactiva y creativa de ver las matemáticas, pudiendo hacer construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, solidos, ecuaciones, como se muestra anteriormente, de esta manera se pueden potenciar las matemáticas para que nosotros los estudiantes tengamos más motivación a la hora de hacer geometría y se pueda entender de una manera más creativa algo que quizás antes no llamaba mucho la atención.

Ejercicio B. Realizado por Daniel Jaimes Gómez •

𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4

Teniendo en cuenta el desarrollo y planteamiento del ejercicio, trabajaremos con base a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 , donde todos los valores dados en 𝑥 seran equivalentes a todos los valores dados en 𝑦. Por con siguiente tenemos que: f(x) x

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

Dadas las condiciones donde los límites definidos para el desarrollo del volumen del solido están dados por 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4, tenemos la siguiente representación gráfica:

Ahora, para la ejecución y cálculo del volumen tenemos que: 𝑉𝑖 = 2𝜋(𝑥𝑖 − 1)𝑥𝑖 ∆𝑥 Dónde: 2𝜋 = 𝑘(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) (𝑥𝑖 − 1) = (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝑥𝑖 = (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜) ∆𝑥 = (𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑜 𝑔𝑟𝑜𝑠𝑜𝑟) Por lo que definimos para la solución de la integral: 𝑉𝑖 = 2𝜋(𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 )∆𝑥

Entonces: 4

𝑉 = ∫ 2𝜋(𝑥 2 − 𝑥)𝑑𝑥 1 4

4

𝑉 = 2𝜋 (∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 ) 1

𝑉 = 2𝜋 (

1

𝑥3 4 𝑥2 4 | − | ) 3 1 2 1

43 13 42 12 𝑉 = 2𝜋 (( − ) − ( − )) 3 3 2 2 64 1 16 1 𝑉 = 2𝜋 (( − ) − ( − )) 3 3 2 2 𝑉 = 2𝜋 (

63 15 − ( )) 3 2

𝑉 = 2𝜋 (21 − (

15 )) 2

𝑉 = 2𝜋 (

42 15 − ) 2 2

𝑉 = 2𝜋 (

27 ) 2

𝑉 = 27𝜋 Por consiguiente, el volumen del solido de revolución está dado por 27𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠.

Gráfico 6. Vista en 2D función general. Daniel Jaimes Gómez

Gráfico 7. Vista en 2D función definida por los limites x= 1 y x=4. Daniel Jaimes Gómez

Gráfico 8. Moldeamiento del solido de revolución. Daniel Jaimes Gómez.

Gráfico 9. Vista lateral del solido de revolución. Daniel Jaimes Gómez.

Gráfico 10. Vista superior del solido de revolución. Daniel Jaimes Gómez

Gráfico 11. Vistas en 2D y 3D de la función definida para el modelo del solido de revolución. Daniel Jaimes Gómez.

Nota: Se utilizó el método de casquillos o caparazones cilíndricos.

Conclusiones. -

El ambiente dinámico de GeoGebra permite una mejor visualización de las diversas representaciones de una situación. GeoGebra optimiza la realización de cálculos y sus diversas vistas unifican el aprendizaje. El cálculo del volumen del solido de revolución realizado mediante las leyes establecidas coincide con lo arrojado por el Software GeoGebra.

EJERCICIO C: Realizado por Elizabeth Cintura c. 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑

𝒙 = 𝟎,

𝒚=𝟏

Gráfico 12. Vista general de función f(x)= 𝒙𝟐 + 𝟑

Gráfico 13. Vista superior solido en revolución. Elizabeth Cintura.

Gráfico 14. Vista 2D y 3D Solido en revolución. Elizabeth Cintura

𝒃

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝟏

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙[𝟒 − (𝒙𝟐 + 𝟑)]𝒅𝒙 𝟎 𝟏

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟒𝒙 − 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟎 𝟏

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ (𝒙 − 𝒙𝟑 )𝒅𝒙 𝟎 𝟏

𝒙𝟐 𝒙𝟒 𝟐𝝅 [ − ] 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐𝝅 ( − ) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐𝝅 ( ) 𝟒 =

𝝅 𝟐

unidades cubicas

Conclusiones. Decimos que, al utilizar el programa de GeoGebra y nuestra función dada, permite visualizar de manera más fácil el comportamiento de esta, logrando interactuar en varios factores (Animación, color, etc.), que permiten comprender de manera más amena el tema de solidos de revolución. El método utilizado fue capas cilíndricas o casquetes ya que es un método sencillo de realizar para la función 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏.

EJERCICIO D : Realizado por Jourden Orozco. 𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 ;

𝒙 = 𝟎,

𝒚=𝟎

Gráfico 15. Realizado por Jourden Orozco

DESARROLLO

9 − 𝑥2 ≥ 0 3

𝑣 = 2𝜋 ∫ 𝑥(9 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 0 3

= 2𝜋 ∫ (9𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 0 3

9𝑥 2 𝑥 4 = 2𝜋 [ − ] 2 4 0 9∙9

= 2𝜋 [( 2 − 81

= 2𝜋 [ 4 ] =

81 4

) − (0 − 0)]

81𝜋 2

EJERCICIO D : Realizado por Jaime Rodrigo Lizarazo

𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 4 Tabla de valores X -2 0 2 y 4 0 4 32 = 9 −32 = 9

Gráfico 16. Jaime Rodrigo Lizarazo

Gráfico 17. Jaime Rodrigo Lizarazo

DESARROLLO 2

= 2 𝜋 ∫ 𝑥(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑜 2

=2 𝜋 ∫𝑜 𝑥(𝑥 3 ) 𝑑𝑥 2

= 2 𝜋 ∫ 𝑥( 𝑜

= 2𝜋 (

𝑥4 ) 4

24 ) − 2 𝜋 (0) 4

= 2 π (4) = 8 π= 8 𝜋 ∪3

BIBLIOGRAFIA Geogebra tutoriales. (2016). Solidos de revolución en GeoGebra. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Kknz5a3q1U8