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• Yahmi Soo Han

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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

ING. CIVIL

INDICE I. II.

III.

IV. V.

INTRODUCCION OBJETIVOS 1. OBJETIVO GENERAL 2. OBJETIVOS ESPECIFICOS DESARROLLO DEL TEMA CAPITULO I: INTEGRALES ITERADAS CAPITULO II: INTEGRALES TRIPLES CAPITULO IV: APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE CONCLUCIONES BIBLIOGRAFIA

CALCULO III

Mg. Roger Cutimbo Luque

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INTRODUCCION En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando el capitulo de integrales iteradas es decir funciones del tipo 𝑓: 𝐷 ⊊ 𝑅 2 → 𝑅. La integral triple tiene varias aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, asi como el significado de una integral de una función de variable real es el área. En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo 𝑓: 𝐵 ⊊ 𝑅 3 → 𝑅, tal como se hizo en la sección anterior.

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OBJETIVOS 1. OBJETIVO GENERAL Comprender el funcionamiento y las aplicaciones que comprenden las aplicaciones de las integrales triples mediante integrales iteradas y así facilitar nuestro aprendizaje. 2. OBJETIVOS ESPECIFICOS  

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Utilizar dichas aplicaciones para desarrollar problemas de ingeniería. Compartir los conocimientos adquiridos y aumentar nuestros conocimientos en este campo.

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CAPITULO I INTEGRALES ITERADAS ¿QUE ES UNA INTEGRAL ITERADA? Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables. Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa, o también si es el caso de una integral triple ya sea dz. PASOS PARA REALISAR UNA INTEGRAL 

 

Los límites de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración pero los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos o tres variables de integración. Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria y la integrar por segunda vez se obtiene el valor real. Los límites de integración determinan la región de integración.

EJEMPLO 01: Calcular: ∬(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑦 = −1 , 𝑦 = 1, 𝑥 = 3 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦: Graficamos las rectas:

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Esta región se representa de la siguiente manera 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 ; −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 Lo que nos permite reescribir 𝐼 = ∬(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 3

1

𝐼1 = ∫ ∫ (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 0

−1

1

𝐼1 = ∫ (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 −1

𝐼1 = (𝑥𝑦 − 𝑦 2 ) 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 − 1 𝑎 1 𝐼1 = [𝑥(1) − (12 )] − [𝑥(−1) − (−12 )] 𝐼1 = 2𝑥 Entonces: 3

𝐼2 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 0

𝐼2 = 𝑥 2 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 3 𝐼2 = [(3)2 ] − [(0)2 ] 𝐼=9

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CAPITULO II

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función f respecto de z, tomando x e y como constantes, resultando una función de dos variables. La integración iterada de esa función, primero respecto de y y luego respecto de x da como resultado el valor de la integral triple. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior, pero podríamos intercambiar las variables: El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Una vez elegida la variable para la primera integración, la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras variables; podemos escribir Sea d una región cerrada y acotada del espacio 𝑅 3.

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