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• martin

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1.

Determinar rigurosamente si cada una de las siguientes funciones tiene un único punto fijo en el intervalo dado. a) 𝑔 (𝑥) = 1 −

𝑥2 4

en [0 , 1] Gráfica

i.

Por el teorema de existencia

: 𝑔([0,1]) ⊂ [0,1] ∴∃

ii.

Por el teorema de unicidad

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑥

:𝑔’(𝑥) = − 2 |𝑔′ (𝑥)| = |−2−𝑥 . ln2| = |−ln2| 1

|𝑔′(𝑥)| = 𝑙𝑛2. | 𝑥 | < 1 2 ∴ ∃ 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜

b) 𝑔 (𝑥) = 2−𝑥 en [0 , 1]

Gráfica

Análisis

iii.

Por el teorema de existencia

: 𝑔([0,1]) ⊂ [0,1] ∴∃

iv.

Por el teorema de unicidad

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜

:𝑔’(𝑥) = −2−𝑥 . ln2 |𝑔′ (𝑥)| = |−2−𝑥 . ln2| = |−ln2| 1

|𝑔′(𝑥)| = 𝑙𝑛2. | 𝑥 | < 1 2 ∴ ∃ 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜

c)

1

𝑔 (𝑥) = 𝑥 en [0.5 , 5.2] Gráfica

Análisis

i.

Por el teorema de existencia

: 𝑔([0.19 , 2]) ⊆ [0.5 , 5.2] `o 𝑔([0.5 , 5.2]) ⊆ [0.5 , 5.2] ∴∃

ii.

Por el teorema de unicidad

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜

:𝑔’(𝑥) = −1/𝑥 2 |𝑔′ (𝑥)| = |− |𝑔′ (𝑥)| =

1 𝑥2

1 | 𝑥2