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• Angela Thalia Maguiña Calvo

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EJECICIO 1. Generalmente hay muchas maneras de pasar de f(x) = 0 a x = g(x) e incluso se pueden obtener distintas formas de g(x) al despejar x de un mismo termino f(x) . Por ejemplo, en la ecuación polinomial 𝑥 3 − 2𝑥 − 2 = 0 Al despejar x del primer término se puede llegar a 3

a) 𝑥 = √2𝑥 + 2 b) 𝑥 = √2 + c) 𝑥 =

2 𝑥

2 𝑥

2

+ 𝑥2

¿cuál sería más ventajoso para encontrar la raíz que esta en el intervalo [1,2]? Calcule con un mismo valor inicial dicha raíz empleando las tres g(x) y compare los resultados. RESOLUCION Sea la función general 𝑓(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 − 2 Ecuación equivalente 𝑥 = 𝑔(𝑥) 

𝑥 = √2𝑥 + 2



𝑥 = √2 +



𝑥=

3

2 𝑥

+

2 𝑥

2 𝑥2

TEOREMA DEL PUNTO FIJO 𝑔(𝑥) 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [a, b] 1 . Tiene punto fijo si 𝑔([𝑎, 𝑏 ]) ⊂ 𝑒𝑛 [a, b] 2. Cumple con el criterio de convergencia |𝑔´(𝑥)| ≤ 1, 𝑔´(𝑥) es continua y existe.

3.

Analizamos cada uno de ellos 3

a) 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 2 Grafica 𝑔(0) = 1.259 𝑔(1) = 1.5874 𝑔(2) = 1.817

Es continua y una función creciente, el intervalo [1.5874, 1.817] ⊂ [1,2]

b) 𝑔(𝑥) = √2 +

2 𝑥

Grafica 𝑔(1) = 2 𝑔(2) = 1.73

Es continua y una función decreciente, el intervalo [1.73, 2] ⊂ [1,2]

c) 𝑔(𝑥) =

2 𝑥

+

2 𝑥2

𝑔(1) = 4 𝑔(2) = 1.5

Es continua y una función decreciente, el intervalo [1.5, 4] ⊄ [1,2]

4. Determinaremos que |𝑔´(𝑥)| ≤ 1 Derivamos 𝑔(𝑥), con 𝑥𝑜 = 1.5 que es el promedio de los intervalos 3 a) 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 2 2 −1 𝑔´(𝑥) = (2𝑥 + 2) ⁄2 3

𝑔´(1.5) = 0.2275 b) 𝑔(𝑥) = √2 + 𝑔´(𝑥) =

2 𝑥

−1 2 −1 −2 (2 + ) ⁄2 ∗ ( 2 ) 2 𝑥 𝑥

−1 2 −1 (2 + ) ⁄2 2 𝑥 𝑥 𝑔´(1.5) = −0.2334 𝑔´(𝑥) =

|𝑔´(1.5)| = 0.2334 c)

𝑔(𝑥) =

2 𝑥

2

+ 𝑥2 −2 4 𝑔´(𝑥) = 2 − 3 𝑥 𝑥 𝑔´(1.5) = −2.0740