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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MI3

Proyecto no. 1

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DESCRIPCIÓN DE CALIFICACIÓN Presentación Ejercicios resueltos Ejercicio(s) calificado(s) CALIFICACIÓN TOTAL

Nombre:

María Celeste Cuellar Minera 201701113________ Katelyn Gissell Pérez Leiva

201700506________

Profesor:

Renaldo Girón______________________________

Auxiliar:

Julio Marroquín_____________________________

Introducción Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas de primer orden con respecto a una variable independiente. Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y con ello se presentan varias aplicaciones para estas ecuaciones. Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría para poder resolverlos. A continuación, se presenta un caso, el cual es el vaciado de tanques por medio del principio de Torricelli, el cual consiste en la salida de líquido a través de un orificio situado en el fondo del tanque. Por medio de este método se puede resolver una ecuación diferencial para calcular en cuanto tiempo puede vaciarse un tanque cónico, o para saber cuanto liquido queda en el tanque después de cierto tiempo.

Justificación Este proyecto se trabaja con la finalidad de que el estudiante aprenda a resolver los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y poder aplicarlas en los diferentes casos que se pueden presentar en la vida diaria. Además, se aprende a trabajar en grupo y poder ver las cosas desde otro punto de vista para la resolución de problemas. Es muy importante este trabajo porque se aprenden distintas formas de trabajar con ecuaciones, además es muy beneficioso porque se aprende a trabajarlas por medio de una aplicación como lo es Wolfram Mathematica.

Marco Teórico El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una relación en la que intervienen la variable dependiente, la función incógnita y su derivada de primer orden. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita, llamada también "ecuación resuelta respecto a su primera derivada". Ejemplos:       

Separación de variables Ecuaciones homogéneas Ecuación de Bernoulli Ecuaciones exactas Ecuaciones reducibles a exactas Ecuaciones lineales Reducción a separación de variables

Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer. Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. ETAPAS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO 1) Formulación matemática del problema científico: Las leyes científicas, que, por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. Si la intuición o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan útil es ese modelo.

2) Solución de las ecuaciones Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemáticas. 3) Interpretación científica de la solución Con el uso de las soluciones conocidas, el matemático o físico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigación posterior en las interpretaciones de experimentos previos. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no están de acuerdo con la teoría, debe revisar el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales son:       

Crecimiento poblacional Decrecimiento radioactivo Ley de Newton de enfriamiento o calentamiento Problemas de mezclas Ley de Torricelli Circuitos RC y RL en serie Trayectorias Ortogonales

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de gravedad. A partir del Teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. “La velocidad de un líquido un tanque abierto, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio” El vaciado de tanques y recipientes es un proceso no estacionario dado que se tiene una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de liquido en el recipiente. Al no haber ingreso de fluido, esta descarga provocará

un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que se puede plantear el balance general de la siguiente forma: 1 2

𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ→𝑣 = √2𝑔ℎ

Esta es la ecuación es conocida como la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v del flujo de agua a través de un orificio en el fondo del tanque lleno con agua hasta una altura o profundidad h es igual a la velocidad de un objeto que cae libremente desde una altura h; es decir: 𝑣 = √2𝑔ℎ Ecuación 1 Donde: v = la velocidad teórica de salida del líquido h = la distancia desde la superficie del liquido al centro del orificio g = la aceleración de la gravedad Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es 𝑑𝑉 = −𝑎 𝑣 𝑑𝑡 Ecuación 2 Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2): 𝑑𝑉 = −𝑎 𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡 Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene: 𝑑𝑉 𝑑ℎ = 𝐴(ℎ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ecuación 3 Comparando las ecuaciones (2) y (3): 𝐴(ℎ)

𝑑ℎ = −𝑎 𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡 Ecuación 4

Sea h la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t, a el área del orificio de salida ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, c el coeficiente de descargar y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanques. Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.

Proyecto

Resultados Inciso a. Teniendo la ecuación diferencial de la gravedad estándar, derivando en ambos lados de la función, utilizando separación de variables para integrar la función. Agregando la constante de integración y despejando tiempo de la función de velocidad, sustituyendo en la función de altura se tiene que: v = - √𝟐𝒈𝑯 Inciso b. Deducción de ecuación diferencial mediante la ley de Torricelli, 𝒅𝒉 A(h)* 𝒅𝒕 =-a* Inciso c. (2 h5/2)/5 = -0.000307444 t + 0.07 Inciso d. El tanque tardará 3.80 minutos en vaciarse. Inciso e. El tanque tardará 10.24 minutos en vaciarse. Por lo tanto el tanque que se vaciará más rápido es el primer tanque (con su vértice hacia abajo). Inciso f. Se determinó teóricamente que el tanque tardará 0.76 s en vaciarse, mientras que experimentalmente el tanque tardó 20 s en vaciarse, dichas variaciones pueden deberse a varios factores entre los que se encuentran los errores sistemáticos en la toma del tiempo y el hecho de aproximar el área del espejo de agua al área de un cuadrado. Sin embargo, el resultado es cercano por lo que se puede concluir que la ley de Torricelli es un buen modelo del vaciado de tanques.

Conclusiones 1. Con la ayuda de ecuaciones diferenciales se pueden obtener funciones para resolver problemas de trabajo diario. 2. Se puede utilizar cualquier tipo de software para el desarrollo de proyectos de este tipo que ayudan con la interacción de la persona con el programa. 3. El tanque cónico con el vértice hacia arriba se vacía en 10.24 min, de forma más lenta en comparación al tanque con el vértice hacia abajo, en 3.80 min. 4. Teóricamente que el tanque seleccionado tardará 76 s en vaciarse, mientras que experimentalmente el tanque tardó 58 s en vaciarse.

Recomendaciones 1. Aprender los diferentes comandos y familiarizarse con el programa a utilizar para que el desarrollo del proyecto sea más sencillo y fácil.

2. Siempre identificar bien la figura del tanque para poder buscar una relación mas sencilla y así la resolución del problema sea mas fácil.

3. Escribir todos los datos que proporciona el problema primero y después verificar que es lo que piden, para poder armar una ecuación y después buscar métodos para resolver la ecuación obtenida.

Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_tema3_5.pdf https://es.slideshare.net/paopedroza/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferenciales-a-problemasvaciado-de-tanques-autoguardado http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo%20Ec%2 0Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf . MATEMÁTICAS AVANADAS PARA INGENIERIA. Dennis G. Zill, Warren Wright. CUARTA EDICIÓN. Editorial Mc Hall Hill.