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UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE MEXICO PLANTEL “LIC. ADOLFO LÓPEZ MATEOS” CALCULO DIFERENCIAL PROYECTO COLABORATIVO CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN MAESTRA: PAULINA GARCÍA VILLASEÑOR INTEGRANTES:

• ERICK EDUARDO FONSECA ESPINOZA • ANA PAOLA GUADARRAMA DÍAZ • EMILIANO NAVARRO CORRAL

• ANDY AMED RÓMULO CANTINCA • RODRIGO PEÑA VEGA • JOSUE JOSAFAT VELÁZQUEZ AVILÉS GRUPO 523

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION La continuidad de funciones es uno de los estudios principales de una función. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe. Para que haya continuidad en punto se deben cumplir ciertas condiciones. La primera es que f(a) exista. La función tiene que definirse en el punto en el cual se pretende la continuidad o sea que f(a) ha de ser un número real. En la siguiente condición se cumple que lim f (x) existe. Aquí los valores de la función se aproximan a un solo número real a medida que x se aproxime a “a” por el lado izquierdo por el lado derecho. Como última condición lim f (x)= f (a). Los valores de la función deben acercarse al número real f(a) a medida que x esté próximo a “a” por izquierda y por derecha.

PROBLEMAS DE APLICACION 1. Erick Eduardo Fonseca Espinoza • El coste de fabricación de una bolsa hermética de plástico viene dado por la función 𝟓 +𝒙−𝟒 𝒙 𝟓 𝒇´ሺ𝒙ሻ = − 𝟐 + 𝟏 𝒙 𝒇´ሺ𝒙ሻ = 𝟎

𝒇ሺ𝒙ሻ =

−

𝟓 +𝟏=𝟎 𝒙𝟐

𝟏=

𝟓 𝒙𝟐

𝒙𝟐 = 𝟓 𝒙 = ±ξ𝟓 ൫𝟎, ξ𝟓൯൫ξ𝟓 + ∞൯ 𝒇´ሺ𝟏ሻ = −𝟒 < 𝟎 𝒇´ሺ𝟑ሻ =

𝟒 >𝟎 𝟗

𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒆

𝒇൫ξ𝟓൯ = 𝟐ξ𝟓 − 𝟒 ≈ 𝟎. 𝟒𝟕 2. Ana Paola Guadarrama Díaz • Disponemos de una barra de aluminio de 66 metros para construir una portería de fútbol. Si queremos que el área de la portería sea máxima, ¿cuánto deben medir los postes y el larguero? 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔 𝒚=

𝟔−𝒙 𝟐

𝑨ሺ𝒙ሻ = 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒙 ∙

𝟔−𝒙 𝟐

𝒙𝟐 = 𝟑𝒙 − 𝟐 𝑨´ሺ𝒙ሻ = 𝟑 − 𝒙

𝒚=

𝟔−𝒙 𝟑 = 𝟐 𝟐

∴ 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 1.5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 3. Emiliano Navarro Corral • Hallar dos números x,y∈]0,5[x,y∈]0,5[ cuya suma sea 55 de modo que la diferencia x−1/yx−1/y sea máxima. 𝒙+𝒚=𝟓 𝒚=𝟓−𝒙

𝒇ሺ𝒙ሻ = 𝒙 −

𝟏 𝒚

𝟏 𝟓−𝒙 𝟏 𝒇´ሺ𝒙ሻ = 𝟏 − ሺ𝟓 − 𝒙ሻ𝟐 =𝒙−

ሺ𝟓 − 𝒙ሻ𝟐 − 𝟏 𝒇ሺ𝒙ሻ = ሺ𝟓 − 𝒙ሻ𝟐 𝟐𝟒 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 = ሺ𝟓 − 𝒙ሻ𝟐

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 𝟏𝟎 ± ξ𝟒 𝟔 = 𝟐 𝟒 ሺ𝟎, 𝟒ሻሺ𝟒, 𝟓ሻ

𝒙=

𝒇´ሺ𝒙ሻ = 𝟏 −

𝟏 ሺ𝟓 − 𝒙ሻ𝟐

𝒇´ሺ𝟏ሻ > 𝟎

𝒇´ሺ𝟒. 𝟓ሻ < 𝟎 𝒚= 𝟓−𝒙= 𝟏 4. Andy Amed Rómulo Cantinca • Calcular la longitud de los lados del triángulo isósceles cuyo perímetro es 55 para que su área sea máxima.

5.

Rodrigo Peña Vega • Se quiere construir un marco rectangular para un cuadro de área 8dm28dm2. El precio del marco lateral es de 4€/dm4€/dm y el del marco superior e inferior es de 2€/dm2€/dm.

6.

Josué Josafat Velázquez Avilés • Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 16×8cm16×8cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado LL en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.

CONCLUSION GENERAL Concluimos que la continuación de funciones son términos que aunque no sabemos que necesitamos, en muchas situaciones de la vida son muy útiles. Además de que en muchos campos se utilizan, como en la física o en la química; estas de hecho son el principio de muchos de los descubrimientos de las leyes que al día de hoy han servido como avance y base en la física, química, etc.

REFLEXIONES DE LOS INTEGRANTES Erick Eduardo Fonseca Espinoza El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico. Al aplicarlo, es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la

concentración de una mezcla o predecir el número de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden resolverse gracias a esta disciplina. Ana Paola Guadarrama Diaz Sin duda, es una rama de las Matemáticas con más aplicaciones, incluso en la física, la química y las ciencias sociales y económicas, permite plantear modelos que resuelven problemas surgidos del mundo real; es decir, al cuantificarlos, se obtienen conclusiones matemáticas que facilitan el análisis y la interpretación del fenómeno sobre el cual gira el problema y de esa forma posibilita las predicciones sobre su comportamiento. Emiliano Navarro Corral El cálculo en sí, tiene mucha importancia en la actualidad, principalmente porque la mayoría de las tecnologías que hoy utilizamos empezaron siendo simples ideas que con la ayuda del cálculo se fueron desarrollando hasta llegar a lo que hoy son, simplemente muchas de ellas necesitaron del cálculo por lo menos fundamental, para lograrse y llevar a cabo su funcionamiento. Andy Amed Rómulo Cantinca La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. Rodrigo Peña Vega El cálculo diferencial e integral es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación.

El cálculo es la herramienta matemática apropiada para estudiar el movimiento de un objeto bajo la acción de una o varias fuerzas, o un fenómeno de crecimiento o decrecimiento. Podemos hablar de dos partes muy vinculadas entre sí: el cálculo diferencial y el cálculo integral. Josué Josafat Velázquez Avilés La importancia del Cálculo en la vida cotidiana es muy extensa, ya que la ciencia y la tecnología modernas básicamente serían imposibles sin él. Las leyes naturales se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo.

PROYECTOS INDIVIDUALES

ERICK EDUARO FONSECA ESPINOZA Continuidad de una función a lo largo de la historia El concepto de función vino a conocerse un siglo despúes, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por numeros o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmenet se conoce, pues siete años despúes, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. esta denominación es bastante natural y comprende cada metodo mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. asi, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma estan determinadas por x y se les llama funciones de x''. Aplicación de la continuidad de una función en diferentes areas del conocimiento La continuidad de una función se utiliza para encontrar puntos en donde no esta definida y poder evaluar que sucede en la vida real en esos puntos. La continuidad de una función nos sirve para conocer aquellos puntos donde la misma no esta definida, esto es usado en diversas áreas pues en algunas ramas como económia, arquitectura, medicina, modelos se idean fórmulas o funciones que no estan definidas en ciertos puntos y que hay que ver que sucede en la vida real en dicho punto y porque no esta definida.

Ejercicios de continuidad •

1) 𝒇ሺ𝒙ሻ =

𝑓ሺ−2ሻ =

𝒙𝟐 −𝟒 𝒙+𝟐

𝒆𝒏 𝒙 = −𝟐

ሺ−2ሻ2 − 4 4 − 4 0 = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 −2 + 2 0 0 𝑥 2 − 4 ሺ−2ሻ2 − 4 4 − 4 0 = = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑥−2 −2 + 2 0 0

𝐿𝑖𝑚 𝑥 → −2 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟

𝑥 2 − 4 ሺ𝑥 + 2ሻሺ𝑥 − 2ሻ = = ሺ𝑥 − 2ሻ ሺ𝑥 + 2ሻ 𝑥+2

𝐿𝑖𝑚 𝑥 → −2 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑣𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝐿𝑖𝑚 𝑥 → −2

ሺ𝑥 − 2ሻ = ሺ−2 − 2ሻ = −4

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −2

• 𝑓ሺ𝑥ሻ =

2) 𝒇ሺ𝒙ሻ

𝟏 𝒙+𝟏

𝒆𝒏 𝒙 = −𝟏

1 1 = = 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 −1 + 1 0

𝑉𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐿𝑖𝑚 𝑥 = −1

1 1 1 = = = 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑥 + 1 −1 + 1 0

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

• 3) 𝒇ሺ𝒙ሻ = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 3 2 𝑓ሺ1ሻ = ሺ1ሻ − ሺ1ሻ − 4ሺ1ሻ = 1 − 1 − 4 = −4 𝐿𝑖𝑚 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑥→1 = ሺ1ሻ3 − ሺ1ሻ2 − 4ሺ1ሻ = 1 − 1 − 4 = −4 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 1

ANA PAOLA GUADARRAMA DIAZ

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION A LO LARGO DE LA HISTORIA

INVESTIGAR LA APLICACIÓN DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN DIFERENTES ÁREAS DEL CONOCIMIENTO

Como sabemos las funciones están presentes en nuestra vida cotidiana, en el espacio que recorre un automóvil o en los espacios topológicos como ejemplo, una línea continua es algo que no se corta que tiene que seguir, las aplicaciones de la continuidad como las funciones en si es algo más complejo; la ecuación de la continuidad es muy utilizada para poder realizar diferentes análisis de boquillas, de tuberías, de la altura de álabes de turbinas y comprensores. La ecuación de cotidianidad o conversación de masa es una herramienta de mucha utilidad para lograr realizar el análisis de fluidos que fluyen por medio de tubos o ductos los cuales tienen un diámetro variable. En la química también se utiliza la continuidad de funciones interpretado como la relación que existe entre el área y la velocidad que tiene un fluido en un lugar determinado y que nos dice que el caudal de un fluido es constante a lo largo de un circuito hidráulico.

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION 1. 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑓ሺ𝑥ሻ =

𝑥 2 −6𝑥+9 𝑒𝑛𝑥 = 𝑥−3 2 3 − 6ሺ3ሻ + 9

3 =

9 − 18 + 9 0 = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 0 0

3−3 ሺ𝑥 − 3ሻሺ𝑥 − 3ሻ 𝑓ሺ𝑥ሻ = =𝑥−3 ሺ𝑥 − 3ሻ 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑥 − 3 = 3 − 3 = 0 lim = ሺ𝑥 − 3ሻ = ሺ3 − 3ሻ = 0 𝑥→3

∴ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑙 lim 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 𝑡𝑎𝑚𝑝𝑜𝑐𝑜 ∴ 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 2. 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 1 𝑓ሺ𝑥ሻ = 13 − 12 − 4ሺ1ሻ 𝑓ሺ𝑥ሻ = 1 − 1 − 4 = −4

𝑙𝑖𝑚 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 = 𝑥→1

𝑙𝑖𝑚 = 13 − 12 − 4ሺ1ሻ = −4 𝑥→1

∴ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 𝑒𝑙 lim 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 3. 𝑓ሺ𝑥ሻ =

4 ξ𝑥+1

𝑒𝑛 𝑥 = 3 4 4 4 𝑓ሺ𝑥ሻ = = = =2 ξ3 + 1 ξ4 2 4 𝑙𝑖𝑚 = 𝑥→3 ξ𝑥 + 1 4 4 4 𝑙𝑖𝑚 = = = =2 𝑥→3 ξ3 + 1 ξ4 2 ∴ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 𝑦 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 en el punto 3

Emiliano Navarro Corral

Historia de continuidad de una función a lo largo de la historia: Las funciones son una parte muy importante de la matemática y el termino función ha ido cambiando con el tiempo. Los primeros conceptos de función se dieron desde hace muchos siglos atrás, se tiene registrado que desde el siglo XVLLL distintos matemáticos comenzaron a usar el concepto de “función” y con la ayuda de los trabajos de Galileo Galilei se comienzan a acercar mucho al concepto de función y así comienza la historia de esta. Durante los siguientes siglos se siguió investigando y perfeccionando este concepto de función, pero no fue hasta el siglo XIX, que Bernard Rieman, quien es el fundador de la teoría moderna de las funciones, presenta una tesis la cual cambia todo el concepto de función variable compleja. El mismo define la continuidad de una función como la función z que recorre de una manera continua todos los valores comprendidos entre los valores fijos. Seria en el 1841 cuando Karl Weiertrass cuando atribuye a la teoría de funciones analíticas. Aplicación de la continuidad de una función en diferentes áreas del conocimiento: Un claro ejemplo donde la continuidad de una función se ve muy bien aplicada y es de alta importancia es en la economía, ya que como vimos en esta clase la mayoría de recursos necesarios para hacer funcionar bien la economía mundial, desde cuantos trabajadores son necesarios en una empresa para no tener mayoría de producción y por esto mismo de desperdicio, así que con una función se puede saber cuantos trabajadores son necesarios para producir la cantidad correcta que el consumidor esta dispuesto a consumir y con esto evitar el riesgo de perdidas que podrían ser desde unos pocos productos hasta llegar a casos de fabricación masiva pero que el consumidor no esta dispuesto a consumir.

Ejercicios de continuidad: 1.

𝑓 ሺ𝑥 ሻ = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4

𝑒𝑛 𝑥 = 1

𝑓 ሺ1ሻ = ሺ1ሻ3 − ሺ1ሻ2 − 4ሺ1ሻ = −4 Esta es una función continua ya que nos da como resultado un numero real

2. 𝑓 ሺ𝑥ሻ =

𝑥 2 −4 𝑥+2

𝑒𝑛

x = -2

𝑁𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 lim ሺ

𝑥→−2

ሺ𝑥 − 2ሻሺ𝑥 + 2ሻ = ሺ𝑥 − 2ሻ = −4 𝑥 + 2

Esta función presenta un casi de discontinuidad evitable ya que en el punto es indeterminado, pero si existe su límite. 1

3. 𝑓 ሺ𝑥 ሻ = 𝑥+1 𝑒𝑛𝑥 = −1 Nos da un resultado indeterminado

lim =

𝑥→−1

1 1 = ሺ−1ሻ + 1 0

𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂

Este es un caso de una discontinuidad infinita ya que no existe un numero real en el punto ni en el limite.

Andy Amed Rómulo Cantinca

A lo largo de la historia la función se fue convirtiendo en un objeto matemático aceptado, pero la definición de función continua significó importantes esfuerzos a los matemáticos. A principios del siglo XIX se inició la formulación formal de este concepto, así se tiene que Bolzano (1817) la define como: “f(x) es continua en un intervalo, si para todo valor de x en un intervalo, la diferencia f(x+∆x) - f(x) llega a ser y permanece menor que cualquier cantidad dada ∆x suficientemente pequeña, ya sea positiva o negativo”. Posteriormente Cauchy dio otra definición que no es muy diferente que la anterior: “La función f(x) permanecerá continua respecto a x entre límites dados, si entre esos límites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un incremento infinitamente pequeño de la función misma”. Con Cauchy se llegó entonces a la formulación definitiva y formal del concepto de continuidad, tal como ahora lo conocemos, por medio de la siguiente definición: “f(x) es continua dentro de un intervalo, si el límite de la variable f(x) cuando x se aproxima a x0 es f(x0), para todo x del intervalo”. A pesar de la larga historia de este concepto, los alumnos la consideran como una noción intuitiva y por lo tanto evidente. Este concepto no es un tema aislado, ya que se considera que forma parte de un gran tema como es el análisis del comportamiento de una función de variables reales. El análisis de la continuidad de una función en un punto es una propiedad local. Esta propiedad puede ser instruida a partir de las gráficas de funciones en determinados puntos. APLICACIÓN DE LA CONTINUIDAD DE UNA UNCION EN LA ECONOMÍA Teorema 3.6: 1º) La clausura de un subconjunto A de  es el menor subconjunto cerrado de IR que contiene a A. 2º) El interior de un subconjunto A de  es el mayor subconjunto abierto de  que está contenido en A. Esto equivale a decir que 1º) cl (A) es un subconjunto cerrado de  y que cualquiera que sea el subconjunto cerrado B de , si A está contenido en B, entonces cl (A) también está contenida en B; y 2º) que int (A) es un subconjunto abierto de IR y que si B es

un subconjunto abierto de  y está contenido en A, entonces B está contenido en int (A). Demostración: En aras de cubrir otros temas más urgentes para las aplicaciones a la Economía, puede omitirse la demostración detallada de este teorema, aunque su significado sí que es esencial. Definición 3.6: Se dice que un subconjunto de la recta real es “compacto” si es cerrado y acotado, esto es, si su complemento es abierto y hay algún positivo tal que ningún elemento de dicho subconjunto tiene valor absoluto mayor que ese positivo. Ejemplo: 1) Todo intervalo cerrado de extremos finitos, es decir, [a, b], con a y b números reales, es compacto, pues obviamente es cerrado y es también acotado, ya que el positivo a + b es mayor que el valor absoluto de cualquier elemento del intervalo dado. 2) Ningún intervalo abierto es compacto, ya sea que tenga extremos finitos o infinitos, pues o no es cerrado o, si lo es (como sería en el caso del intervalo ]-, [ que es a la vez abierto y cerrado), no es acotado. 3) Todo subconjunto de  que sea unión de una colección finita de intervalos cerrados de extremos finitos es un compacto, pues, siendo unión de una colección finita de cerrados, ha de ser cerrado y es acotado obviamente. 4) El conjunto {1/k : k  }  {0} es compacto pero, en cambio, no lo es el conjunto {1/k : k  }. La demostración de estos dos asertos queda como ejercicio simple a cargo del estudiante.

Rodrigo Peña Vega

Concepto de continuidad de una función a lo largo de la historia El concepto de continuidad ha ido variando mucho dependiendo de cada época en la que nos situemos. Los pitagóricos habían supuesto que el espacio y el tiempo pueden ser imaginados como constituidos por puntos e instantes, pero tanto el espacio como el tiempo tienen también otra propiedad, que es más fácil de intuir que definir conocida como continuidad. Con Descartes, la noción de continuidad toma un carácter geométrico ligado a las curvas. Con Newton (1643-1727) la noción de continuidad continúa siendo geométrica y está ligada al tiempo. Con Leibniz (1646-1716) la continuidad toma un carácter espacial. Euler define las funciones continuas como aquellas en las que todos sus valores están ligados por una misma ley o dependen de la misma ecuación, es decir, las que están definidas por una sola expresión analítica.

Aplicaciones de las continuidades en la vida cotidiana: Al hornear un pastel sabemos que tenemos un límite de ingredientes para que este tenga buen sabor, para la administración en gráficas de producción, construcción, ingeniería, estadística, medicina, y en general son cosas que no deben de pasar de esa línea que divide los límites.

EJERCICIOS

JOSUE JOSAFAT VELAZQUES AVILES

Continuidad de una Función a lo Largo de la Historia En una función continua se producen variaciones en los valores de la función para los puntos cercanos del dominio. El dominio es el conjunto de partida de una función, o sea aquellos valores para los cuales la función se define. Entonces la palabra continuidad quiere decir que se produce un pequeño cambio en la variable x o un cambio en el valor f (x). Entonces la gráfica consiste solo de un único trozo de curva ya que no contiene interrupciones. El concepto de función comienza con las relaciones observadas entre babilonios y egipcios, quiénes fueron los primeros en brindar un avance del concepto de función. Conforme pasó el tiempo en la palabra comenzó a difundirse y a mejorarse ya a principios del siglo XVIII algunos matemáticos se poco a poco otras matemáticas fueron tomando en cuenta los errores que había cometido aron por la justificación de los procedimientos y las dificultades encontradas en el desarrollo de los principios y métodos del cálculo diferencial e integral. Con los trabajos de Galileo Galilei se inicia una relación matemática explícita la que se acercó mucho el concepto de función y así está comienza su historia. Poco a poco otras matemáticas fueron tomando en cuenta los errores que había cometido Euler, Cauchy fue uno de ellos En 1844 demostró que una función mixta nada por distintas fórmulas a veces sí podría expresarse con una sola fórmula la función y= x para > - < 0, y= x para x < 0 podía expresarse mediante la raíz de X elevada al cuadrado por lo que venció tenía caso dividir las funciones como lo había hecho Euler. Ya más adelante en 1821, Cauchy define la idea de que sí cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de todas las otras ordinariamente se conciben distintas cantidades expresadas mediante la variable independiente.

Se puede aplicar en •

Ingeniería civil

•

Economía

•

Arquitectura

Ejercicios 1

1) 𝑓 ሺ𝑥 ሻ = 𝑥+1 𝑒𝑛 𝑥 = −1

Indeterminado

Paso 1 𝑓 ሺ𝑥 ሻ =

1 −1+1

=

1 0

Discontinuidad Infinita

Paso 2 1

1

𝑓 ሺ𝑥 ሻ = −1+1 = 0

2) 𝑓 ሺ𝑥 ሻ = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = −1 Paso 1 𝑓 ሺ𝑥 ሻ = −1 − 1 + 4 = 2 Paso 2 𝑓 ሺ𝑥 ሻ = −1 − 1 + 4 = 2

Presenta Continuidad

3) 𝑓 ሺ𝑥 ሻ =

𝑥 2 −4 𝑥+2

𝑒𝑛 𝑥 = −2

Indeterminado

Paso 1 𝑓 ሺ𝑥 ሻ =

ሺ−2ሻ2 −4 ሺ−2ሻ + 2

=

4−4 0

0

=0

Discontinuidad

Evitable Paso 2 𝑓 ሺ𝑥 ሻ =

𝑥 2 −4 𝑥+2

=

ሺ𝑥−2ሻሺ𝑥+2ሻ 𝑋+2

= 𝑥 − 2 = −2 − 2 = −4