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• Jonathan Perugachi

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PROYECTO DE CALCULO 2 PATRONES EN INTEGRALES

En este proyecto se utiliza un sistema algebraico computarizado para investigar integrales indefinidas de familias de funciones. Observando los patrones que ocurren en la integral de varios miembros de la familia, conjeture primero, y después demuestre, una formula general para la integral de cualquier miembro de la familia. El sistema algebraico computarizado que usamos se denomina ¨ SYMBOLAB¨

1.a) Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar las siguientes integrales.

Con la ayuda de nuestros SYMBOLAB obtuvimos los siguientes resultados.

i) ∫

1 𝑑𝑥 (𝑥+2)(𝑥+3)

= ln(𝑥 + 2) − ln(𝑥 + 3)

1 𝑑𝑥 (𝑥+1)(𝑥+5)

=

1 𝑑𝑥 (𝑥+2)(𝑥−5))

=

ii) ∫

iii) ∫

iv) ∫

1 (𝑥+2)

2 𝑑𝑥

=

ln(𝑥+1) 4 ln(𝑥−5) 7

− −

ln(𝑥+5) 4 ln(𝑥+2) 7

1

− 𝑥+2

En todos los resultados no se ha proyectado ¨…+ C¨

b) Basado en el patrón de sus respuestas del inciso a) conjeture el valor de la integral.

∫

1 𝑑𝑥 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)

Si a ≠ b. ¿Qué pasa si a = b?

Observando el inciso a), se puede notar que esta integral tiene la estructura similar a los ejercicios i, ii y iii, donde a ≠ b. También se puede notar que en la solución al darse ln (𝑥 + 𝑎) este se divide para b – a y darse ln (𝑥 + 𝑏) este se divide para a – b. De esta manera se dedujo lo siguiente:

1

∫ (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏) 𝑑𝑥

=

ln(𝑥+𝑎) 𝑏−𝑎

+

ln(𝑥+𝑏 ) 𝑎−𝑏

+C

El ejercicio iv del inciso a) cumple la condición donde a = b. Entonces siguiendo la estructura de la solución al mismo, se deduce que:

1

∫ (𝑥+𝑎)2 𝑑𝑥

=

1

− 𝑥+𝑎 + C

c) Verifique su conjetura pidiendo a su SAC que evalúe la integral del inciso b). Después demuéstrela utilizando fracciones parciales.

Al insertar la integral solicitada del inciso b) en nuestro sistema algebraico computarizado obtuvimos lo siguiente:

Como siguiente paso se procede a demostrar la solución de esta integral.

Si a ≠ b 𝟏

* ∫ (𝐱+𝐚)(𝐱+𝐛) 𝐝𝐱

→

→

𝟏

𝐀

= (𝐱+𝐚) + (𝐱+𝐚)(𝐱+𝐛)

𝐁 (𝐱+𝐛)

𝟏

= 𝐀 (𝐱 + 𝐛) + 𝐁 (𝐱 + 𝐚)

𝟏

= 𝐀 (𝐱 + 𝐛) + 𝐁 (𝐱 + 𝐚)

𝟏

= 𝟎 + 𝐁 (𝐱 + 𝐚)

𝐁

=

𝐁

=

∗ Si x + b = 0 →

𝟏 (𝒙+𝒂) 𝟏 (𝒂−𝒃)

∗ Si x + a = 0 → →

→

𝟏

= 𝐀 (𝐱 + 𝐛) + 𝐁 (𝐱 + 𝐚)

𝟏

= 𝐀(𝐱 + 𝐛) + 𝟎

𝐀

=

𝐀

=

𝟏 (𝒙+𝒃) 𝟏 (𝒃−𝒂)

𝟏

𝐀

𝐁

∫ (𝐱+𝐚)(𝐱+𝐛) dx = ∫ (𝐱+𝐚) dx + ∫ (𝐱+𝐛) dx = 𝑨∫(

𝟏 𝟏 + 𝑩 ∫ 𝐱+𝐚) (𝐱+𝐛)

= 𝑨 ln(𝑥 + 𝑎) + 𝑩 ln(𝑥 + 𝑏)

=

→

x=-b

=

𝟏 (𝒃−𝒂)

ln(𝑥 + 𝑎) +

ln(𝑥+𝑎) (𝑏−𝑎)

+

𝟏 (𝒂−𝒃)

ln(𝑥 + 𝑏)

ln(𝑥+𝑏 ) (𝑎−𝑏)

+C

x=-a

Si a = b 𝟏

* ∫ (𝐱+𝐚)𝟐 →

𝐮=𝐱+𝐚

→

∫ (u)2

1

dx

; 𝒅𝐮 = 𝐝𝐱

dx = ∫(𝑢 )−2 dx = −u−1 + C

=

→

=

1 𝑢

− +C

−

1 (𝑥+𝑎)

+C

2.a) Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar las siguientes integrales.

Con la ayuda de nuestros SYMBOLAB obtuvimos los siguientes resultados.

i) ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ). cos(2𝑥) 𝑑𝑥

cos(x)

=

2

ii) ∫ 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 ). cos(7𝑥) 𝑑𝑥 =

iii) ∫ 𝑠𝑒𝑛 (8𝑥 ). cos(3𝑥) 𝑑𝑥 =

−

cos(4x)

−

8

cos(3𝑥)

−

cos(5𝑥) 10

6 cos(10𝑥)

−

20 cos(11𝑥) 22

b) Basado en el patrón de sus respuestas del inciso a) conjeture el valor de la integral.

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 Observando el inciso a), se puede observar que el modelo de esta integral cuenta con una estructura similar a los ejercicios i, ii y iii, donde a ≠ b en los 3 casos. Al analizar la suma y la diferencia de los ángulos y la estructura en las respuestas de las integrales de los ejercicios i). ii) y iii), se dedujo lo siguiente:

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥

=

cos[(𝑏−𝑎)𝑥] 2(𝑏−𝑎)

−

cos[(𝑎+𝑏 )𝑥] 2(𝑎+𝑏)

+C

c) Verifique su conjetura pidiendo a su SAC que evalúe la integral del inciso b). Después demuéstrela utilizando las técnicas de la sección 7.2 ¿Para qué valores de a y b es válida?

Al insertar la integral solicitada del inciso b) en nuestro sistema algebraico computarizado obtuvimos lo siguiente:

Como siguiente paso se procede a demostrar la solución de esta integral con métodos de la sección 7.2

Para realizar esta demostración hay que tomar en cuenta que 𝐜𝐨𝐬[(𝐚 − 𝐛)𝐱] = 𝐜𝐨𝐬[(𝒃 − 𝒂)𝒙] por la identidad cos(x) = cos(-x)

* ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = =

cos[(𝑏−𝑎)𝑥]

−

2(𝑏−𝑎) cos[(𝑎−𝑏)𝑥] 2(𝑏−𝑎)

−

cos[(𝑎+𝑏)𝑥] 2(𝑎+𝑏) cos[(𝑎+𝑏)𝑥] 2(𝑎+𝑏)

Vamos a resolver esta integral desde su resultado, por lo tanto vamos a diferenciarla, es decir vamos a derivar la respuesta y demostrar que es igual a la función de la integral.

cos[(𝑎+𝑏)𝑥] 1 1 → dxd [cos[(𝑎−𝑏)𝑥] − ] = {−𝑠𝑒𝑛[(𝑎 − 𝑏)𝑥](𝑎 − 𝑏) } − {−𝑠𝑒𝑛[(𝑎 + 𝑏)𝑥](𝑎 + 𝑏) } 2(𝑏−𝑎) 2(𝑎+𝑏) 2(𝑏−𝑎) 2(𝑏+𝑎)

1

1

= { 2 sen(ax − bx) } + { 2 sen(ax + bx) } 1

1

2

2

= { (sen ax cos bx − cos 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥) } + { (sen ax cos bx + cos 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥) }

= =

sen ax cos bx 2

−

cos 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 2

+

sen ax cos bx 2

+

cos 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 2

2 sen ax cos bx 2

= 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥

Esta fórmula aplica para los valores que cumplan la condición a ≠ b

3.a) Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar las siguientes integrales.

Con la ayuda de nuestros SYMBOLAB obtuvimos los siguientes resultados.

i) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

=

ii) ∫ 𝑥 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 1 2

1

𝑥 2 ln(𝑥) − 𝑥 2 4

1

1

iv) ∫ 𝑥3 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

1

v) ∫ 𝑥7 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

1

iii) ∫ 𝑥2 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =

3 3 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 3 9 4 4 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 4 16

8 8 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 8 64

b) Basado en el patrón de sus respuestas del inciso a) conjeture el valor de la integral.

∫ 𝑥𝑛 ln(𝑥) 𝑑𝑥 Observando el inciso a), nos damos cuenta que la de esta integral es similar a los ejercicios i, ii, iii, iv y v. Al analizar la suma del grado de las x (n) en las integrales y la potencia de las mismas en el resultado, se dedujo lo siguiente:

∫ 𝑥𝑛 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

1

𝑛+1 𝑛+1 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 +C 2 𝑛+1 (𝑛+1)

c) Utilice la integración por partes para demostrar la conjetura que hizo en el inciso b). ¿Para qué valores de n esto es válida?

∫ 𝑥𝑛 ln(𝑥) 𝑑𝑥 → ∫ 𝑥𝑛 ln(𝑥) 𝑑𝑥

=

𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 , 𝒅𝒖 =

= ln 𝑥 = ln 𝑥

=

; 𝒅𝒗 = 𝒙𝒏 , 𝒗 =

𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

= ln 𝑥

=

𝒅𝒙 𝒙

𝟏 𝒏+𝟏 1 𝑛+1

𝟏 𝒏+𝟏 𝟏 𝒏+𝟏 𝟏 𝒏+𝟏

𝒙𝒏+𝟏 − ∫ 𝒙𝒏+𝟏 − 𝒙𝒏+𝟏 −

𝒙𝒏+𝟏 ln 𝑥 −

𝟏 𝒏+𝟏

𝟏

∫ 𝒏+𝟏 𝟏 𝒏+𝟏 𝟏 𝒏+𝟏

𝑥 𝑛+1 ln(𝑥) −

𝒅𝒙

𝒙𝒏+𝟏 𝒙

𝒙

𝒏+𝟏

∫𝒙

𝒙

𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝒙𝒏+𝟏 ( 𝒏+𝟏 )

1 (𝑛+1)2

𝑥 𝑛+1 + C

𝟏 𝒙𝒏+𝟏 𝒏+𝟏

Esta fórmula es válida para todos los valores que cumplan con las siguientes condiciones: n+1 ≠ 0 y n ≠ -1. 4.a) Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar las siguientes integrales.

Con la ayuda de nuestros SYMBOLAB obtuvimos los siguientes resultados.

i) ∫ 𝑥

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

=

𝑒 𝑥 (𝑥 − 1)

=

𝑒 𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)

ii) ∫ 𝑥 2

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

iii) ∫ 𝑥 3

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

iv) ∫ 𝑥 4

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

=

v) ∫ 𝑥 5

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒 𝑥 (𝑥 5 − 5𝑥 4 + 20𝑥 3 − 60𝑥 2 + 120𝑥 − 120)

=

𝑒 𝑥 (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 − 6) 𝑒 𝑥 (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 12𝑥 2 − 24𝑥 + 24)

b) Basado en el patrón de sus respuestas del inciso a), conjeture el valor de

∫ 𝑥 6 𝑒 𝑥 dx. Después, utilice su SAC para verificar su conjetura. Para desarrollar esta integral vamos a ver los productos, el orden de los índices y la alternancia de los símbolos (+, -) que se dan en los ejercicios iii, iv y v. iii) ∫ 𝑥 3

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

iv) ∫ 𝑥 4

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

=

v) ∫ 𝑥 5

𝑒 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒 𝑥 (𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5.4𝑥 3 − 5.4.3𝑥 2 + 5.4.3.2𝑥 − 5.4.3.2.1)

=

𝑒 𝑥 (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3.2.1𝑥 − 3.2.1)

𝑒 𝑥 (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4.3𝑥 2 − 4.3.2𝑥 + 4.3.2.1)

→ ∫ 𝑥 6 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒 𝑥 (𝑥 6 − 6𝑥 5 + 6.5𝑥 4 − 6.5.4𝑥 3 + 6.5.4.3𝑥 2 − 6.5.4.3.2𝑥 + 6.5.4.3.2.1) = 𝑒 𝑥 (𝑥 6 − 6𝑥 5 + 30𝑥 4 − 120𝑥 3 + 360𝑥 2 − 720𝑥 + 720)

Al insertar la integral en nuestro sistema algebraico computarizado obtenemos lo siguiente:

Este resultado tiene una similitud en la estructura, pero no esta factorizada.

c) Basados en los patrones de los incisos a y b haga una conjetura en relación con el valor de la integral:

Con el análisis realizado en el inciso b y con los resultados observados en los ejercicios del inciso a, se ha determinado que: ∫ 𝑥 𝑛 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 𝑛 - 𝑛𝑥 𝑛−1+ n (n-1) 𝑥 𝑛−2 - n (n-1)(n-2) 𝑥 𝑛−3 …..±𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2). . (𝑛 − 𝑘)

d) Utilice la inducción matemática para demostrar la conjetura que hizo en el inciso c)