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• Hugo Moran

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APLICACIÓN DEL CÁLCULO VECTORIAL: DETERMINAR LAS DIMENSIONES DE UN CONTENEDOR Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Ingeniería Automotriz

La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc.

RESUMEN: Muchas son las aplicaciones del cálculo vectorial, a través de este proyecto se le dará la solución para determinación de las dimensiones de un contenedor por medio de la aplicación de los multiplicadores de La grange. Por medio de la optimización se logró obtener el coste mínimo posible del contenedor, primero se planteó la función que se tenía que minimizar para luego plantear la ecuación que relacionaba las distintas variables del problema, después de lo hecho despejamos la variable, para luego hacer la derivada, y gracias a los demás procesos se obtuvo el resultado que buscábamos, es decir, las dimensiones de tal manera que el coste fuera el mínimo posible.

2.2.2 ¿PARA OPTIMIZACIÓN?

QUÉ

SIRVE

LA

Es aplicable principalmente para áreas como la Economía, pero aun cuando no estemos interesados en estudiar eso, nos es útil porque en nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuáles elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos más de lo que podría haber sido de realizar una simple operación.

PALABRAS CLAVE: Derivadas parciales, Multiplicadores de la grange, sistemas de ecuaciones lineales, volumen del paralelepípedo.

2.2.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Sirven para determinar a partir de la derivada si una función es creciente o decreciente en ciertos intervalos definidos a partir de unos puntos llamados puntos críticos, los cuales sirven para darse una idea de cómo es una función específica.

1 INTRODUCCIÓN Las grandes ideas de producción se basan en la reducción de costos y optimización de los productos, nosotros como ingenieros en formación debemos dar soluciones óptimas a los problemas que se nos presenten y nos competan en nuestros diferentes campos de trabajo. La optimización consiste en maximizar o minimizar una función real, esta incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios. El principal objetivo de este artículo es aplicar los conocimientos del cálculo vectorial y el teorema de Lagrange para resolver problemas de optimización.

2.2.4 ¿COMO SE RESUELVE PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN?

UN

Hemos definido los siguientes pasos para hacer más fácil resolver manualmente un problema de optimización, puesto que pueden surgir dificultades al tratar de comprender los enunciados y hacer su planteamiento matemático. Resolver por medio de derivadas ayuda con los problemas anteriormente mencionados. Resolver de manera algebraica y gráfica a la par ayuda a comprender más fácilmente el problema y los resultados:

2.2.4.1. PASOS:

2 CALCULO VECTORIAL

1. Hacer un dibujo representativo. (Esto es opcional pero ayuda mucho a no confundirse al asignar valores y otras cosas.)

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

2. Hacer el planteamiento del problema. (Es decir, quién es X, Y, qué datos tenemos, qué buscamos, etc.) 3. Dejar una sola variable en el problema. (Para facilitar las operaciones, es necesaria y es usual que se despeje Y)

2.2 OPTIMIZACIÓN

4. Simplificar (Hace más fácil el resto del problema, simplificar todo lo posible.)

2.2.1 ¿QUÉ ES OPTIMIZACIÓN? La definición de optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca.

5. Derivar (Sacar f'(x) y f''(x) si es posible)

1

6. Igualar a cero para despejar x

grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

7. Sustituir 8. Escribir solución para tener en cuenta el resultado. [1]

2.3 MULTIPLICADORES DE LA GRANGE En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.[2]

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

2.6 MÉTODOS DE SOLUCIÓN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.6.1 SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. .

2.4 DERIVADAS La derivada es la pendiente de la recta tangente delgráfico en el punto x.Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera. [3]

2.6.2 IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

2.4.1 DERIVADAS PARCIALES Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

2.6.3 REDUCCIÓN Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. [5]

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. Cuando una magnitud A es función de diversas variables (X, Y, Z,…), es decir: . [4]

2.7 VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer

2

Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Usar multiplicadores de La grange para determinar sus dimensiones de manera que su coste sea el mínimo posible, sabiendo que la base cuesta $5 por pie cuadrado y las caras laterales $3 por pie cuadrado. Primero hallamos la función con valores extremos:

(1) Y la restricción: (2)

El volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.

Aplicamos el teorema de Lagrange para las dos funciones y tenemos: (3) (4)

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

(5)

Para determinar las dimensiones del contenedor resolvemos el sistema ecuaciones y hallando los valores de x, y, z.

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm3.

Dividimos la Ec. 3 y Ec. 4

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo: En general, si, a, b, c y son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

(6)

Dividimos la Ec. 4 y Ec. 5 La ecuación es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

[6] Remplazamos Ec. 6 y Ec. 7 en la Ec. 2, y de este modo hallamos el valor de y.

2 ANALISIS DE DATOS 3.1 PROBLEMA:

3

>>diff(f,x) ans = 5*y + 6*z

(8)

>>diff(f,y) Remplazamos Ec. 8 en la Ec. 6 y hallamos el valor de x.

ans = 5*x + 6*z >>diff(f,z)

(9)

ans = Remplazamos Ec. 8 en la Ec. 7 y hallamos el valor de z.

6*x + 6*y >> g = x*y*z; >>diff(g,x) ans = y*z

Dimensiones del contenedor

>>diff(g,y) ans = x*z >>diff(g,z)

Ahora que tenemos los valores de x (Ec. 9), y (Ec. 8), z (Ec. 10) reemplazamos en la Ec. 1 para hallar costo mínimo.

ans = x*y

3.2.2 GRAFICAS: Grafica de la derivada parcial de la función respecto a x 5*y + 6*z >> [Y,Z] = meshgrid(-5:.05:5); >> X = 5*Y + 6*Z; >>meshc(X,Y,Z);

3.2 MATLAB: 3.2.1 DERIVADAS PARCIALES: Utilizamos matlab para resolver las derivadas parciales de la función con valores extremos (f) y la restricción (g). >>syms x y z >> f = 5*x*y + 6*x*z + 6*y*z;

4

Grafica 3

Grafica 1 Grafica de la derivada parcial de la función respecto a y

3 CONCLUSIONES

5*x + 6*z

Después de haber realizado nuestras investigaciones y el desarrollo del problema planteado, podemos concluir que gracias a la optimización y a los multiplicadores de Lagrange, pudimos darle la mejor solución al problema, que era determinar las dimensiones de un contenedor en forma de paralelepípedo rectangular. Y a través de los procesos obtuvimos el resultado esperado el cual era lograr la reducción al máximo del costo total del contenedor, el cual fue de $1038.42. En la elaboración de este trabajo se nos fue de gran ayuda los temas que ya habíamos visto a lo largo de nuestro curso de cálculo vectorial como optimización, máximo y mínimo, multiplicadores de Lagrange, derivas, entre otras.

>> [X,Z] = meshgrid(-5:.05:5); >> Y = 5*X + 6*Z; >>meshc(X,Y,Z);

4 REFERENCIAS [1] [2]

[3]

Grafica 2

[4]

Grafica de la derivada parcial de la función respecto a z

[5]

6*x + 6*y [6]

>> [X,Y] = meshgrid(-5:.05:5); >> Z = 6*X + 6*Y; >>meshc(X,Y,Z);

[7]

5

Optimizacion: (08-04-2013). Multiplicadores de la grange:< http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange>( 08-04-2013). Derivadas:< http://es.slideshare.net/y355y/definicion-dederivada> (08-04-2013). Derivadas Parciales:

(08-042013). Sistemas de ecuaciones lineales:(08-04-12). Volumen del paralelepipedo: ( 08-04-2013).