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MATEMÁTICA

TEMA 1 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

2.- La simplificación de:

a = base n = exponente p= potencia

A) 5

B) 3

C) 1

3.- Al Simplificar:

n

a=p

n+m

n

n

a .a =a

(a.b) =a .b

0 ,5

2 0 ,2

C)

D)

a

n

a n m

(a ) =a

a n

b a b

n

nm

am

n

m n

an b

n

A)

n

E

b

a

b

1

3

B) 2

a n

m

a

3

2

a

2

1

2

1

E) 3

5

n

2 5

2 5

5

5

2

5

a . a . a ... a 2

8

5

20 veces a

1

9

1

8

D)4

a . a . a ... a

N IVEL I 4

1

50 veces

m n

n

3

5.- Simplificar

A) 1

EJERCIC IOS

16

1

5

n

E

2

5

C)5

También se tiene que:

1.- Efectuar:

2

5

a mn

3.- Radicación: La raíz n-ésima de un número a (no negativo cunado n es par), llamada radicando; es otra expresión talque esta raíz elevada a n, nos da el radicando a, es decir:

a

E)

4.- Determinar el valor de:

n

b a

B)

A) 1

n

2 1 9 3

2

Se obtiene:

am n a

1

n

a

E)1/4 3

1 2

E

m

D)1/2

2

3

2.- Leyes de Exponent es

n

405 6 . 200 5 4 3 375 .3240 .648

E

1I.- Potencia ción: Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado de esta operación se le llama potencia.

B) a

-30

C) a

30

D)

N IVEL II 1

1

2 1

1.- Simplificar:

4 2

1

256

2

8

2

22

1

a

E)

3

a

MATEMÁTICA A) 1

B) 2

C) 3

D)4

E) 5

A) 2

2

B) 1

C)8

D)

2

E) 4

2.- Simplificar:

a

1 2 a

1 A) 3

a

2

B) 7

b

1 3 b

E

1 5

n

a

c nb n

n

n

b

Para:

E) -2

n

xx

A) ax

n

+

4.- Si x,y

B) abc

n

x

B)

x

a

C)a

x

D)x

E) a

y

2x

D) 1

1

32x 4

E) 1

xx yyy

B) x

y

y x

x

C)x

2

2y

y

x y

2

52x

x 1

28 4

10 2

3

x

1

x 2

y x 2x y x

x

Se obtiene: A)

x

x+6

B) 2

x-5

C)2

D)4

D) y

E)

x

y

a

a

x

a a 1

2

1

a 1

a

a

a

1 ; a 0

1

5.- Reducir:

P B) 2

2

a 1

2

a 1

2

2a a 2

2

2a a 2

2

C)16

3

2a a 2

3

4

a

4

D)32

E) 64

es:

x

A) a

6.- Si: x = 2 , hallar el valor de:

A B) 32

x2 . x

C)64

1 x

E) 8

10.- La Simplificación de:

y

y

2

a

B) a

a 1

. aa

2

1

a

C)1

D)2

E) 3

1 x

D)128

E) 256

NIVEL III: 1.-Simplificar:

7.-Si el exponente final de x es 15 en:

P a

x

a 1 a

. x

a

Hallar a

-x

abc

A) x

A) 16

3

9.- Al Simplificar:

tal que y-x 2 , hallar el valor mas simple de:

E

A) 1

x 2n

n

c

C)a-b-c

xx

x

a

E A) a+b+c

x n

c

1 5

a nc

x

8.- Reducir:

c

D)20

an n b

3.- Al simplificar:

b

1 3

C)10

c

a

2a

2

. x

3

a

x. x 2 .a x 3

A) x

a b

B)2 x

a

C) x

b c

ab

D) x

x

a b bc

c a

x

b c ac

E)1

3

2.- Racionalizar el denominador:

E

1 3

4

3

2 1

x

c a

A) 8

B) 5

C)3

D)3

E) 1

A) 3 3 B) 3 4 C) 3 2 D) 3 2 1 E ) 3 3 1

x

3.-Al simplificar:

6x

x

y

3x

12

A) 19b b

3x - y 2x

b

B)6 x b19 x

b

12 y

TEMA 2

x + 4y

b

x + 3y

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

C)3 x b9 x

12 y

36

D)b

b

E)b 6 b

Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable.

y

4.-Si x = 2, hallar el valor de

E A) 1

B) -1

x

xy

y

C)-2

x

3

y

4y

2

2

D)2

E) 0

y

Las ecuaciones pueden ser: 3 x + 3x2 – 7 = 0

Ecuaciones Algebraicas

2

y

2

5.-Hallar el valor de a +b en: b

a

a b a

B) 5

C)10

b

ab D)13

NIVEL I 1-A 2-A NIVEL II

3-C

4-B

5-C

1-E 2-C 6NIVEL - E III 7 - B

3-B 8-A

4-D 9-B

5-D 10 - B

1-E

3-D

4-C

5-C

2-D

x x

a b

A) 1

1

x

3

2

4/3

Ecuaciones Trascendentes E) 9

3

2 z

2x – 4x + 1 =

ecuación polinomial

0

ecuación fraccionaria

0

ecuación irracional

0

ecuación exponencial

log x – x3 = 0

ecuación logarítmica

sen x – 8 = 0

ecuación trigonométrica

Clasificación de las ecuaciones según su solución A) Ecuación com patib le.- Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. B) E cuación compatible determ inada.- Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: x-3=0 c.s. = { 3 } C) Ecuación compatible indeterm inada.- Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los números reales. Ejemplo: (x–3)=x–3 x=x 0x = 0 c.s. = R D) Ecuación incom patib le.- Es aquella que no tiene ningún elemento en

su conjunto solución, es decir su solución es el vacío. Eje mpl o: x – 4 = x + 5 0 x = 9 c.s. =

donde

denota el conjunto vacio.

PROBLEMAS 1.

2.

3.

4.

Una fracción irreducible tiene la siguiente propiedad, al sumar cinco unidades a su numerador y 9 unidades al denominador, la fracción no cambia de valor. La suma de sus términos es: a) 10 b) 14 c) 18 d) 28 e) 36 A una pollada asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del número de mujeres y éste el triple de los niños. Hallar el número de hombres. a) 367 b) 234 c) 315 d) 400 e) 600 A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 968 unidades. La suma de los dígitos que forman el número par mencionado es: a) 14 b) 16 c) 20 d) 12 e) 18 La suma de 4 números diferentes es 24, la suma de los 2 mayores es el doble de la suma de los 2 menores, la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros 2 números. Halle la suma de las diferencias del mayor con el menor y de los intermedios mayor con menor. (suponer que m es el número mayor) a) 32 b) 8 c) 4 d) 4m – 32 e) 32 – 4m

5.

Dos números suman 2320. Si uno de ellos le transfiere 240 unidades al otro, ambos quedan con igual cantidad. El menor número es igual a: a) 202 b) 840 c) 1320 d) 920 e) 1400

6.

Se tiene tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres números es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7.

Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le siguen, dé un total de 905? a) 175 b) 183 c) 191 d) 177 e) 181

8.

Hallar un número cuyo quíntuplo aumentado en su triple del quíntuplo da 500. a) 30 b) 36 c) 25 d) 45 e) 50

9.

La señora Maritza, tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a) 9 b) 11 c) 33 d) 13 e) n.a.

10.

La suma de dos números es 74, su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es la diferencia de estos números? a) 40 b) 60 c) 50 d) 20 e) 30

11.

¿Qué cantidad de arroz de 6 soles el kilo debe mezclarse con arroz de 10 soles el kilo para obtener 120 kilos de mezcla, de manera que, vendidos a 7 soles el kilo, no se produzca pérdida ni ganancia? a) 100 y 20 b) 80 y 40 c) 70 y 50 d) 90 y 30 e) 60 y 60

12.

Preguntando a Esteban por su edad, responde: si el doble de mi edad se quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene Esteban? a) 51 años b) 37 años c) 39 años d) 43 años e) 63 años

13.

Percy nació cuando Maritza tenía 18 años. Si actualmente la suma de sus edades 64 años. ¿Cuántos años tiene maritza? a) 31 b) 41 c) 27 d) 39 e) 26

14.

El doble de un número sumado con el triple de otro da como resultado 8, y el quíntuplo del segundo es igual al triple del primero aumentado en 7. Dar la suma de ambos números. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

15.

Dos obreros trabajan juntos ganando semanalmente uno de ellos s/. 20 más que el otro. Después de igual número de semanas reciben s/. 2400 y s/. 2100 respectivamente ¿Cuánto gana semanalmente cada uno de los obreros? a) 110 y 130 b) 220 y 240 c) 160 y 180 d) 100 y 120 e)140 y 160

16.

Si tú piensas en un número, cuya mitad es igual a cuatro unidades más que una tercera parte del número que tienes en mente. ¿Qué número es? a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48

17.

Vendí la octava parte de mis naranjas, después la sexta parte y finalmente la quinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una de las que traje. ¿Cuántas eran? a) 140 b) 102 c) 130 d) 120 e) 150

18.

La suma de las edades de Alan y Jorge es 65 años, y dentro de 10 años, la edad de Jorge será los 5/12 de la de Alan. ¿cuál es la edad de Alan? a) 60 años b) 50 años c) 35 años d) 25 años e) 15 años

19.

El total recaudado por concepto de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, si los estudiantes pagaron s/. 0.75 por cada boleto y las demás persona pagaron s/. 1.25 por cada boleto. ¿Cuántos boletos de estos últimos se vendieron? a) 350 b) 380 c) 550 d) 500 e) 450

20.

21.

Un café que se vende a s/. 6 el kilo, se mezcla con café que se vende a s/. 5 el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/. 5.40 el kilo ¿Cuántos kilos se utilizará de cada clase? a) 6 y 14 b)8 y12 c) 7 y 13 d) 9 y 11 e) 4 y 16 Calcule la solución de la ecuación a) 30

b) 5

B)

1

3

4

11 2 x

7 2 10

8 4 3

c) 20

2.2.Conjuntos acotados A) Cota superior Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de R sí y sólo sí: x ” k ; x S

d) 13

Cota inferior Un número real k es una cota inferior de s si y sólo si x • k ;

x

S

e) 10

2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO 2.1.Intervalos Sean dos números reales a y b tales que a a}

a

a

C)

b

a

[a,+’[ = {x

C otas inferio res

x

] ’,b] = {x

R / x ” a}

Supremo Un número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de R, y se escribe c = sup S si: c es cota superior de S (x ” c, x S) c es la menor cota superior de S, es decir:

D)

Ínfimo Un número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R, y se escribe c = inf S si: d es cota inferior de S (x • d, x S) d es la mayor de las cotas inferiores de S, es decir: Si k R / x • k, x S, entonces k ” d Por lo tanto, d no necesariamente pertenece a S

E)

Máximo Si c es supremo de S y c

b

x

x

C otas s upe rior es

Si k R / x ” k, x S, entonces k • c Por lo tanto, c no necesariamente pertenece a S

F)

a

S

S, entonces c es máximo de S (c = máx S)

Mínimo Si d es ínfimo de S y d S, entonces d es mínimo de S (d = min S) Ejemplo: dado el conjunto S = ]2, 5] el sup S =5, además 5 S, entonces el máx S = 5. el ínf S = 2, pero 2 S, entonces S no tiene mínimo. ] ’,b[ = {x

R / x < b}

Problemas 1. Se sabe que el número de conejos que cría Juan es tal que el triple x a disminuido en 5, es mayor que 33, y el cuádruple aumentado en 9 es menor que 65. Calcule el número de conejos a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

x

b

2.

3.

La diferencia entre las edades de Jorge y Raúl es mayor que 4, pero menor que 7. Si Raúl tiene 36 años. Determinar el producto de los dígitos de la edad de Jorge. a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42 Para la confección de un determinado número de problemas, se duplicó este número y se eliminaron 40 que eran muy fáciles, quedando menos de 60. Si se hubiera triplicado el número original y aumentado 20, habrían más de 164. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la cantidad de problemas que había inicialmente? a) 5 b) 13 c) 12 d) 11 e) 6

4.

Un kilo de naranjas contiene entre 50 y 100 unidades de vitamina. Si cada kilogramo cuesta entre 1.5 y 2.4 soles. ¿Cuánto será lo máximo a gastar por consumir 400 unidades de vitamina? a) 9.6 soles b) 12 soles c) 19.2 soles d) 20.2 soles e) 24 soles

5.

El número de libros que tiene Miguel en su biblioteca es tal que si le disminuimos 20 y luego lo dividimos por 4, resulta mayor que 8, en cambio, si le agregamos 5 y luego lo dividimos por 6, resulta menor que 10. Si luego adquiere 2 colecciones de 6 libros cada una ¿Cuántos libros tendría Miguel luego de la compra? a) 24 b) 25 c) 52 d) 55 e) 66

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Propiedades ŇDŇ • 0, a R ŇDŇ= 0 a=0 ŇDŇ =Ň-aŇ Ňa.bŇ = ŇDŇ ŇEŇ Ňa+bҔ ŇDŇ ŇEŇ (desigualdad triangular)

7.

Un bisabuelo aficionado a la matemática, nota que el número de nietos que tiene es igual al triple del número de hijos menos cinco, y el número de bisnietos es igual al doble del número de nietos, aumentado en 3. Se da cuenta también que el exceso del número de nietos sobre el número de hijos es mayor que 6 y el exceso del número de bisnietos sobre el número de nietos es menor que 17. Calcular el número de bisnietos que tiene a) 6 b) 13 c) 23 d) 30 e) 36 Max tiene cierta cantidad de caramelos, se come 5 y le restan más de la tercera parte, luego se compra 10 más con lo que tendría menos de 14 caramelos. Indicar cuántos tenía inicialmente a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42

3. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real a denotado por ŇaŇ se define como: a, si a 0 a a, si a 0 Geométricamente ŇaŇ es la distancia entre el punto donde se encuentra a y

a

2

Propiedades adicionales 8. ŇDŇ= b b•0 (a = b v a = -b) 9. ŇDŇ ŇEŇ a=b a = -b 10. Si b >0 entonces: ŇDŇ< b -b < a < b ŇDŇ ” b -b ” a ” b 11. ŇDŇ > b a>b a < -b ŇDŇ • b a•b a ” -b Ejercicios 1. 2.

6.

a

ŇDŇ2 = a2 ŇDŇ ” a ” ŇDŇ

3. 4.

Resolver Ň7xŇ= 4 – x a) x=4 b) x=1/2 c) x=-1/2 x=2/3 Resolver Ň2x +2Ň= 6x – 18 a) x=2 x=5 b) x=3 c) x=-2 x=3

d) x=-2/3 x=1/2 d) x=5

e) x=-2/3 x=4

e) x=2

2

Resolver Ňx + 2Ň= 2x + 1 a) x=-1/2 o x=2 b) x=-1/3 o x=1

c) x=-1/2 o x=1

d) x=1

e) x=-1/2

2

Resolver x -2Ňx Ň – 3 = 0 a) x=-1, x=3 b) x=3 c) x=1, x=-3

d) x=-3, x=3

e) x=-1, x=1

5.

Resolver Ňx - 2Ň = Ň3 - 2x Ň a) x=1 x=5/3 b) x=-5/3 x=-1

6.

Hallar el conjunto solución de: Ňx - 3Ň= x – 3 a) x=0 x=3 b) x R c) [•3 d) x=3 e) x

7.

Se cumple que: Ňx - 2Ň< 5, y se tiene Ňx + 1Ň 0 a) b) R c) ]-3,9[ d) ]-’,-3[ u ]9,’[

e) ]-3, ’[

Ejercicios y problema s 01. Calcular 2x+y del sistema: x

2

Resolver Ň2x – 3x – 9Ň < 2Ňx – 2x -3Ň a) ]-5,20[ b) ]-’,-5/4[ d) ]-’,1/4[ e) ]1/4,’[

a1

c) [-1/9,1/3]

b) ]-’,23/5[ u ]13,’[ e) ]6,13[

2

[

3

6

c1

a2 x

C ompa tible indeterminado b)

6, 6]

a1 x b1 y

C ompa tible Determinado Si:

e) 1, 5

2

a) ]23/5,13[ d) ]23/5,6[

16.

si x

Resolver Ň9 - x Ň •

x

15.

x 1

x

Resolver Ň2x - 5Ň< 3 a) ]-4,4[ b) ]-4,1/2[ c) ]-1/2,1[

d) [

14.

SISTEMAS DE ECUACIONES

e)14 Dado el sistema

a)[

13.

d) 12

Hallar el mínimo del conjunto solución de: Ň2x + 7Ň= x + 5 a) x=2/3 b) x=2 c) x=-5 d) x=-2 e) x=-2/3

a) -1/4 ,1 11.

c) 10

TEMA 3

c) ]-1/4,’[

y

2 4 3x 2 y

x

1

y 6

a) 3

b) 7

c) -4

d) 1

e) 0

2

14

02. Calcular “x.y” del sistema: 3x

y

2 x

y 2

11 7

a) 6

b) 8

c) 16

d) 12

e) 21

03. Calcular “x” en el sistema: 4x

1

6x

1

3y

1

5y

1

14

12. Resolver el sistema:

a) 0,25

b) -0,25

c)0,5

d)-0,5

e) 0,125

2

3

6x y

2

3x

y

z

a b y

4ab

a b y

2a 2

1

z

14

z

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2

e) 5

13. Calcular “x” del sistema:

1

05. Calcular el valor de “k” si el sistema adjunto presenta infinitas soluciones: 2k 1 x ky 6 a) 8 b) 6 c) -8 d) -2 e) 2 7,5 x 4 y

3

x

y

x x

y w 1 z w 1

y

z w

b) -2

c) -3

d) 5

1

x x

y 1 y 1

1 b 1 b

ab 1

ab 1

ab 1

ab 1

y

a) 8,5

2

a b 2ab

e) 2

1,3

2

a) a

b) 7,6

5 x

b) b

c) ab

d) a+b

3 y

25x 9 y

e) a/b

c) 8,4

e) 6,5

81

b) 3

c) -1

d) 25

e) 23

16. Resolver c)-2

d) -6

e) 12

x x

a) 1

d) 5,6

3

Encontrar “x+y” a) 20 b) 24 c) 26

09. Evaluar “n” si el sistema es inconsistente 12

10 y 1,0

15. Dado el siguiente sistema

bx 4 y 7

2

n 1y

a 1

Encontrar el valor de “x+y”

e) 3

4

n 6 x 6y

a

1

d) b 1

10x a) -1

08. Calcular “ab” sabiendo que los sistemas son equivalentes ax 3 y 8 3x ay 7 a) 2 b) 6

3x

1

y

c) a 1

5

y

4x by

y

x

b) a 1

x

x

bx ay

x

14. Dado el sistema de ecuaciones

07. Del siguiente sistema, calcular

ax by

e) 2ª

a) b 1

06. Calcular el valor de “x-y+z-w” del sistema:

z

2b 2

Y calcular el valor de “x+y” a) a b) b c) ab d) a-b

04. Calcular “x+2y+z” del sistema:

2x y

a bx a bx

2

y

1 z

y

2

4

z

2

9 10

{x,y,z}

R

+

8

Encontrar “x.y.z” d) -3

e) 5

n

10. ¿Para qué valor del parámetro “k” el sistema: Será compatible determinado

a) 120/13

b) 128/9

c) 64/3

d) 32/9

e) 100/13

17. Resolver el sistema y encontrar la suma de todos los valores de x; y; z

k

2 x 6y

2x

k 1y

k 1

a) R e) 1

b) R - {1}

c) R - {1;-2}

11. Calcular “m” si el sistema es incompatible x my 1 a) 1 b) -1 c) -3 mx 3my 2m 3

d) R - {2;-5}

d) 0

e) 2

xy x y 7 xz x z 11 yz y z 5 a) 6

b)-6

c) 8

d) 4

e) -8

18. Resolver el sistema y dar el valor de “y”

2x

5y

3

6

3x

5y

2

10

7

a)

2

b) 5

25. Para qué valores del parámetro “k” el sistema: Tiene infinitas soluciones.

c) 6

d) 2 3

6

x

2 y 3z 14

x

z

a

3y z

2

a) 1 y 17 {17}

b) -17 c) R d) R – {-17} e) R –

a

xy

2

b y

2

1

a) ± 1 b) ±2

c) ± ½

d) ± ѿ

e) ±3

2x 7 y m 3x 5 y 13

c)

m

3 26 3

91 5 91 5

22. Al resolver el sistema 1 i x 1 i y 2iz 3 1 i x 1 i y 2z x

b) 26 < m 91

3 5 26 91 d) 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.

2

Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax + c = 0), las raíces son: c a

El valor

1

1,2

Pueden darse varios casos: Si la ecuación es

2

Se resuelve sustituyendo y = x , y se obtiene ay + by + c = 0. Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado. Se calculan las cuatro raíces de x como y ; x x y

4ac

2

=b - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que Si >0 , la ecuación tiene dos raíces reales distintas; Si =0 , existe una única solución doble dada por x = -b/2a, Si 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas. Si y1 < 0 e y2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos). 4.5. Ecuaciones irracionales Forma general:

ax

n bx c

d

Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical. El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en: - Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada. - Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita. - Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a los métodos habituales. - Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución «falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de comprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólo una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución. Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se realiza una sustitución apropiada. Como por ejemplo: x4 + 5x2 – 84 = 0

se deduce que:

x

2

4p d

2

2

x

p

0

Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial). 4.4 Ecuaciones bicuadradas Estas ecuaciones tienen como forma general: ax4 + bx2 + c = 0 Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones.

4

2

Haciendo: x = z, de donde: x = z 2 z + 5z – 84 = 0 Reemplazando: (z + 12)(z – 7) = 0 z + 12 = 0 z–7=0 z = - 12 z=7 2 2 x = - 12 x =7

4.6 Ecuaciones Incompletas: 2

06. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado, un estudiante comete un error en el término constante de la ecuación y obtiene como raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente del término de primer grado y obtiene como raíces – 9 y – 1. La diferencia entre la suma y el producto de las raíces de la ecuación correcta es: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

2

Son de la forma ax + bx = 0 ax + c = 0 Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente forma: 2

2

En: ax + bx = 0

En: ax + c = 0 x1 x2

0

c a

b a

NIVEL II

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y AUTÓNOMO

2

01. Sabiendo que “m” y “n” son las raíces de la ecuación: x – 8x + C = 0.

NIVEL I

Calcular el valor de: m

01. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces “m” y “n” si se sabe que: 2 I. x + (m – 1)x + m – 2 = 0 tiene una sola solución 2 real. II. x – (n + 1)x + 2n = 0 tiene una raíz igual a 3. A. x2 + 9x + 18 = 0 2 C. x – 9x – 18 = 0 2 E. x – 6x – 18 = 0

B. x2 – 6x + 18 = 0 2 D. x – 9x + 18 = 0 2

02. Hallar los valores de “k” para que las raíces de la ecuación: kx + x + kx + 2 = 0 sean reales e iguales. Señalar la suma de sus valores. A. 4 B. 5 C. 6 D. – 2 E. 8 2

2

03. Las raíces de la ecuación: x – 4x + 2 = 0, son “a” y “b”. El valor de: a + b

2

es: A. Un número irracional B. Es un número racional menor que 1. C. Es un número imaginario D. Es un entero positivo E. Es un número complejo 04. La suma de dos números es dos y su producto – 4. Hallar la suma de sus recíprocos. A. ½ B. – ¼ C. ¼ D. –½ E. 1/5 05. Un postulante y sus amigos compran cierto número de lapiceros por 144 soles. Si cada lapicero hubiera costado 2 soles menos, comprarían uno más. El número de amigos de postulante es:

n

2

2C

2

16

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

02. De las siguientes ecuaciones: 2 x + x + k = 0 …………. ( 1 ) x2 – 5x + k = 0 ………… ( 2 ) Se sabe que una de las raíces de (2) es el triple de una raíz de la ecuación (1). El valor de k es: A. 4 B. – 4 C. 6 D. – 6 E. 5

03. La menor raíz de la ecuación: x A. 12

B. 16

C. 18

1 x D. 7

11 es: E. 8

A. 6

B. 8

C. 11

D. 15

E. 2

04. Determinar el valor de “m” para que las raíces de la ecuación sean opuestas: 8mx2 + 7(m – 1)x + 1 = 0. A. 1 B. 2 C. – 2 D. – 1 E. 3 2

05. Las raíces de la ecuación: 3x + 2x + 2 = kx + k son recíprocas. Cuál es el valor de la constante “k”? A. 1 B. – 2 C. 2 D. 0 E. – 1 2

06. Determinar los valores que debe tener “k” en la ecuación: 9x + k = 0, para que las soluciones sean números reales. A. [0;+ [ B. [9; + [ C. [3; + [ D. ]- ;0] E. ]- ;3] 2

07. Calcular el valor de “k” en la ecuación: x + (2k + 5)x + k = 0. Si una raíz excede a la otra en tres unidades. A. 2 B. 1 C. -1 D. – 2 E. 3

2

08. Sea la ecuación cuadrática: ax + bx + c = 0 y sus raíces r1; r2. Se puede afirmar: I. Si r1 + r2 r1.r2 ĺ b + c = 0 II. Si r1 es opuesta de r2 ĺ b = 0 2 III. Si r1 = 2r2 ĺ 2b = 9ac A. Las tres afirmaciones son verdaderas B. I y II son verdaderas C. I y III son verdaderas D. II y III son verdaderas E. Sólo II es verdadera 09. Se sabe que 2 + 3 es Determinar dicha ecuación. A. x2 – 4x + 1 = 0 2 B. x + 4x + 1 = 0 2 C. x – 4x – 1 = 0 2 D. x – 4x + 2 = 0 E. x2 + 4x – 3 = 0

una

raíz

de

una

ecuación

Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(402x)x. 3

Convertimos los litros a cm : 5000 3 cm . Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: 2x)x>5000 Por tanto, inecuación.

el

problema

se

resuelve

estudiando

(60-2x)(40-

esta

cuadrática.

10. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es: A. 10/2 m B. 5m C. 15m D. 20m E. 10m

Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que el fútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en el gimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos para construir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfiles de al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura y anchura? La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecido esto a los demás:

b a

Llamó “E´ a la altura y “D´ a la base. Como disponemos de 16 metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde: a = 16-2b y el área del hueco de la hache: A = ab = b(16-2b) Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación: x(16 - 2x) 20; o bien: x(16 – 2x) – 20 0

Importante:

INECUACIÓN A partir de un rectángulo de cartón de 40 cm de ancho y 60 de largo deseamos formar una caja recortando cuatro cuadrados, uno en cada vértice, para su doblado posterior. ¿Qué valores podemos dar al lado de los cuatro cuadrados para que el volumen de la caja sea al menos

I. Si a > b > 0 ĺ a n b n II. Si a < b < 0 ĺ 1) a 2n b 2n 0 2b 1 0;n 2) 2 n 1

a

III. Si a < 0

b

0

;

n

a

n

b

0; n N

N

b > 0, además: a

x b

0 x

2

de 5 litros?

2

2

Máx{a ; b }

Efectuando un análisis algebraico del tema: Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la caja medirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x.

IV. Propiedad del trinomio positivo: Sea P(x) = ax2 + bx + c ; P(x) > 0

ļ a>0

0 Primero hallamos su discriminante: = 72 – 4(3)(-6) = 121 Como > 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es factorizable: (3x – 2)(x + 3) = 0

De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3 Ubicándolos en la recta real de los números: +

-

+

-3 2/3 Rpta.: ]-’, 3[ ]2/3; +’[ 2.

2

Resolver: 2x – 4x + 13 0 = 42 – 4(2)(13) = - 88 2 Como: < 0, entonces 2x – 4x + 13 es siempre mayor que cero para todo x, luego la solución es todos los reales. Rpta.: R

3.

Resolver: 1 x

1 Restando a ambos miembros 1: 1 x x 1 x +

4.

0 0 +

1 Rpta.: ]0; 1[

Resolver: x 3 x 1 - Determinamos el dominio: x + 3 •0, entonces: x • - 3

x 1 (x 1) 2

x 3 x 3

01. Si: 2x – 1

[4; 11]. Hallar el menor valor que satisface a:

x 3 x 1 A. 9/7

B. 5/7

C. 11/7

M

D. 10/7

E. 12/7

02. Hallar la suma de los valores enteros que NO satisfacen a la inecuación: x2 – x – 20 > 0 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 E. 8

A. R

x=0 -

0

Nivel I.

03. Determinar el complemento del conjunto solución de la inecuación: 4x2 - 28x + 49 > 0

1

Puntos críticos: x = 1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

2

2

x +x–2>0 - Calculamos los puntos críticos: x1 = - 2 ; x2 = 1 - Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional: Para x = - 2 : - 2 + 1 2 3 = - 2 no es raíz de la inecuación. Para x = 1 : 1 + 1 1 3 = 0 si es raíz de la inecuación - Determinamos el signo de la inecuación irracional:

B. R-{7/2} C. {7/2}

E. R+

D. Ø 2

04. Hallar el conjunto solución de la inecuación: x – 4/3 x + 4/9 < 0 A. R B. Ø C. {2/3} D. 0 E. Ø’ 05. Hallar la unión de los conjuntos solución de las inecuaciones: 2 4x – 13x + 3 > 0 2 2x – x + 5 < 0 + + A. R B. Ø C. R D. R E. R 0 06. Un agricultor quiere levantar una cerca rectangular junto a un río. Va ha usar 120m de material. Cuál es el área más grande que puede cercar? Tener en cuenta que no habrá cerca en el lado del río. 2 2 2 2 2 A. 2400m B. 3600m C. 1400 m D. 1800m E. 1600m 07. Determinar la suma de los enteros que simultáneamente cumplen las inecuaciones:

6x

5 7

A. 30

4x

7

B. 39

y

3x

2

2 C. 42

75

2x

D. 49

2

x . 60

08. Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la inecuación: Para: x [-3; 1[ es ( - ) Para x ]1 ; +’[ es ( + )

Solución: x

(1; +’)

1

2

x 1

3x 1

A. ]-’; -1[ ]1/3; 3[

?

B. ]1/3; 3[

C. ]-1; 3]

D. [-1; 1/3]

E. ]-’; +’[

09. A un estudiante le dan a vender cierta cantidad de pollitos. Después de vender 35, le quedan todavía un poco más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vende enseguida 18, con lo que restan aún algo menos de 22. Cuántos pollitos le dieron a vender? A. 60 B. 70 C. 71 D. 73 E. 72 10. Resolver: x > -’; x > 5 ; A. Incompatible D. 5 < x < +’

) x b2 II. a2 > b3 III. a3 < b3 Son ciertas: A. I y II B. II y III C. I y III D. I, II y III

x 9,9 C. 5 < x < 10

4

3

2

08. Resolver la desigualdad: x + 96x – 144 < 6x + 7x A. -4 < x < 3 B. – 4 < x < 4 ; x 3 C. 3 < x < 4 D. – 3 < x < 3

Nivel II 01. Si a y b son dos números positivos donde a > b, identificar dónde está el error en la siguiente secuencia: 2 a.b > b …………………. (1) 2 2 ab – a > b – a2 ………………. (2) a(b – a) > (a + b) (b – a) …………… (3) a > a + b ………………….. (4) 0 > b …………………….. (5) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 2

02. Resolver: 15x – 29x – 14 > 0 A. x> 7/3 B. x -2/5

D. x