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PLACAS DELGADAS MEDIANTE MÉTODOS CLÁSICOS

A NÁLISIS DE E STRUCTURAS II 4 O DE I.C.C.P.

Por R. Gallego Sevilla, G. Rus Carlborg y A. E. Martínez Castro

Departamento de Mecánica de Estructuras e Ingeniería Hidráulica , Universidad de Granada Edificio Politécnico Fuentenueva, C/ Severo Ochoa s/n, CP 18071 Granada

Octubre de 2007

Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen

Ecuación de gobierno: w,xxxx + 2 · w,xxyy + w,yyyy = Donde: D=

E h3 ; 12 (1 − ν 2 )

I=

p( x, y) D

EI h3 ;D= 12 1 − ν2

(0.1)

(0.2)

P( x, y)

x

y Qy

Qx Mxy

My M yx

Mx

A partir del campo de desplazamientos verticales, w( x, y), se obtienen: Giros:

θx =

∂w = w,x ; ∂x

θy =

∂w = w,y ∂y

(0.3)

Momentos unitarios: Mx

  = − D w,xx + ν w,yy   = − D w,yy + ν w,xx = −2 G I w,xy = − D (1 − ν ) w,xy

My Mxy

(0.4)

E . 2 (1 + ν ) Cortantes unitarios: siendo G =

Qx Qy Cortante generalizado en bordes: Vx Vy

  = − D w,xxx + w,xyy   = − D w,yyy + w,yxx

  = − D w,xxx + (2 − ν ) w,xyy   = − D w,yyy + (2 − ν ) w,yxx

I

(0.5)

(0.6)

Índice general

Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen

I

Capítulo 1. Placas delgadas rectangulares

1

1.1. Placas delgadas rectangulares. Método de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

1.1.2. Carga puntual. Función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Carga distribuida en una linea y = η 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4

1.1.4. Carga distribuida en una linea y = f ( x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.5. Momento puntual M y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Momento distribuido M y ( x) en una línea y = η 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

1.1.7. Superficie de carga lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8. Superficie de carga en un parche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9

1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Función de carga con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 12

1.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada . . . . . . . . 1.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento M y

13

en dos bordes paralelos (caso simétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en

14

dos bordes paralelos (caso antimétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal . . . . . . .

15 16

II

C APÍTULO 1 Placas delgadas rectangulares

1.1. Placas delgadas rectangulares. Método de Navier El método de Navier es aplicable en las siguientes condiciones: 1. Placa rectangular, de dimensiones a × b. 2. Condición de apoyos simples en los cuatro bordes (placa tetraapoyada en bordes rectos). w = 0; w,nn = 0 Considérese la referencia R(O; x, y, z), situada en una esquina de la placa, con x ∈ [0, a] e y ∈ [0, b]. La ecuación de gobierno de flexión de placas delgadas es la siguiente: ∆2 w( x, y) =

p( x, y) D

(1.1)

siendo: ∆2 = w,xxxx + 2 w,xxyy + w,yyyy w( x, y) ⇒ Campo de desplazamiento vertical, positivo en sentido z positivo. p( x, y) ⇒ Carga superficial, positiva en sentido z positivo. D ⇒ Rigidez de la placa de espesor h, y constantes elásticas E, ν , con D =

E h3 . 12 (1 − ν 2 )

La solución general es: ∞

w( x, y) = donde n, m ∈

∞

∑ ∑

n=1 m=1

wnm sen

n π x

m π y b

(1.2)

   n 2  m 2 2 = + a b

(1.3)

a

sen

,y wnm

pnm ; = 4 · π D Fnm 1

Fnm

Los coeficientes p nm corresponden con el desarrollo en serie de Fourier doble con extensión impar para la carga: Z aZ b n π x m π y 4 pnm = p( x, y) sen sen dxdy (1.4) ab 0 0 a b ∞

p( x, y) =

∞

∑ ∑

n=1 m=1

pnm sen

1

n π x a

sen

m π y b

(1.5)

1.1.1. Carga uniforme Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es constante, de valor p 0 .

z p( x, y) = p0

y x a

b Desplazamiento:

16 p0 sn ( x) sm ( y) n m π 6 D Fnm n = 1,3,5... m = 1,3,5,... ∞

w( x, y) =

∑

∞

∑

(1.6)

con: Fnm =

   n 2  m 2 2 + a b

sn ( x) = sen

n π x

 m aπ y  sm ( y) = sen b

2

(1.7)

(1.8)

1.1.2. Carga puntual. Función de Green. Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es una fuerza puntual, de valor p 0 .

z p( x, y) = p0 δ ( x − ξ ; y − η)

η ξ

y

x a

b Desplazamiento:

w( x, y) = p0 · K ( x, y; ξ , η) ∞

K ( x, y; ξ , η) =

∞

∑ ∑

n=1 m=1

4 sn (ξ ) sm (η) sn ( x) sm ( y) a b π 4 D Fnm

(1.9) (1.10)

donde sn , sm vienen dadas en Eq. (1.8) y Fnm en Eq. (1.7). La función K ( x, y; ξ , η) es la función de Green (o solución fundamental) al problema de placas delgadas rectangulares con condiciones de contorno en apoyos simples.

La solución para una carga p( x, y) puede construirse a partir de la función de Green. w( x, y) =

Z aZ b 0

0

p(ξ , η) K ( x, y; ξ , η) dξ dη

3

(1.11)

1.1.3. Carga distribuida en una linea y = η 0 . Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es lineal, distribuida según la función q( x) en una línea de y constante, de valor η 0 .

z q( x)

η0 y x a

b Carga: p( x, y) = q( x) δ ( y − η 0 )

(1.12)

Desplazamiento: ∞

w( x, y) =

∞

∑ ∑

n=1 m=1

4 · sm (η0 ) sn ( x)sm ( y) γn π 4 a b D Fnm

con:

γn =

Z a 0

sn (ξ )q(ξ )dξ

(1.13)

(1.14)

Si la función q( x) se expresa mediante su desarrollo en serie (en seno), se tiene: ∞

q( x) = 2 qk = a k∈

Z a 0

∑ qk sk ( x);

k=1

p( x) sk ( x)dx

(1.15)

. La expresión del desplazamiento queda: ∞

w( x, y) =

∞

∑ ∑

n=1 m=1

qn 2 sm (η0 ) sn ( x) sm ( y) b π 4 D Fnm

(1.16)

Para carga constante q( x) = q 0 , y la integral en Eq. (1.14) queda:   2 q0 a nπ γn = 0

Por tanto:

∞

w( x, y) =

∑

∞

∑

n = 1,3,5... m = 1

n impar n par

8 q0 sm (η0 ) sn ( x) sm ( y) n π 5 b D Fnm 4

(1.17)

(1.18)

1.1.4. Carga distribuida en una linea y = f ( x). Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es lineal, distribuida según la función q( x) en una línea definida en el plano xy según la función y = f ( x ).

z q( x) y = f ( x) y x a

b Carga:

p( x, y) = q( x) δ ( y − f ( x))

(1.19)

Coeficientes de la carga: pnm =

4 ab

Desplazamiento:

Z a

∞

w( x, y) =

q( x)sn ( x) sm ( f ( x)) dx

0

∞

∑ ∑

n=1 m=1

π4

(1.20)

pnm sn ( x)sm ( y) D Fnm

(1.21)

Caso particular: y = c x. pnm =

4 ab

Z a 0

q( x)sn ( x) sen

m π c x b

dx

(1.22)

Caso particular. Carga constante en una diagonal: q( x) = q 0 ; y = (b/ a) x. pnm =

4 q0 ab

Z a 0

sen

n π x a

sen

m π x a

dx =

2 q0 δnm b

(1.23)

donde δnm es la delta de Kronecker, definida como sigue:

δnm =

 1

si n = m si n 6= m

0

5

(1.24)

1.1.5. Momento puntual M y Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En el punto de coordenadas (ξ , η) actúa un momento M y .

z

η ξ

y

My

x

a

b Desplazamiento: w( x, y) =

4 My a b2 D

π3

∞

sn (ξ ) cm (η) m sn ( x) sm ( y) Fnm m=1 ∞

∑ ∑

n=1

(1.25)

con: cm (η) = cos

6

m π η b

(1.26)

1.1.6. Momento distribuido M y ( x) en una línea y = η0 Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En la línea y = η0 se aplica un momento M y , distribuido (My( x) = ∑∞ n = 1 Mn s n ( x ) )

z

M y ( x) η0 y x a

b Desplazamiento: wnm = llamando cm (η0 ) = cos

 mπ η  b

0

(1.27)

se tiene: ∞

w( x, y) =

 mπ η  2 m Mn 0 cos b b2 π 3 D Fnm

2 m M n Cm ( η 0 ) sn ( x) sm ( y) 2 3 m = 1 b π D Fnm ∞

∑ ∑

n=1

7

(1.28)

1.1.7. Superficie de carga lineal Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es de la forma p( x, y) = p 0 /b · y (triangular en y).

z

p0 y x a

b Carga: p( x, y) = p0

y b

(1.29)

Término wnm wnm =

−8 p0 · (−1)m , con n impar n m π 6 D Fnm

w( x, y) = −

8 p0 π6 D

(−1)m sn ( x) sm ( y) n = 1,3,5,... m = 1 n m Fnm ∞

(1.30)

∞

∑

∑

8

(1.31)

1.1.8. Superficie de carga en un parche Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es constante en un parche, con variable x ∈ [0, a] e y ∈ [b/2, b]. z

p0 y x

b/2 a

b

Desplazamiento:

8p w( x, y) = 6 0 π D

sn ( x) · ∑ n = 1,3,5,... n ∞

"

∞ 1 − (−1)m/2 sm ( y) − sm ( y) ∑ ∑ m Fnm m = 2,4,6,... m = 1,3,5,... m Fnm ∞

9

#

(1.32)

1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de Levy El método de Levy es aplicable en las siguientes condiciones: 1. Placa rectangular, de dimensiones a × b. 2. Condición de apoyos simples en dos bordes paralelos. w = 0, w ,nn = 0. El método de Levy presenta ventajas sobre el método de Navier, en general: Se elimina en parte el fenómeno de Gibbs para la representación de cargas con valores no nulos en los bordes perpendiculares a los simplemente apoyados. Las series convergen más rápido. Sólo hay 1 sumatorio. Considérese la siguiente figura: z

p( x, y)

Condiciones cualesquiera

? x

y

? a

b

La función de carga, p( x, y), se expresa en serie, como sigue: ∞

p( x, y) =

∑

n=1

gn ( x) sen (λn y)

con:

λn =

nπ b

(1.33)

(1.34)

La función gn ( x) se obtiene mediante integración: gn ( x) =

2 b

Z b 0

p( x, y) sen(λn y) dy

(1.35)

La función de desplazamientos tiene forma de serie en seno: ∞

w( x, y) =

∑ wn (x) sen(λn y)

(1.36)

n=1

Sobre esta serie, se observa que: El coeficiente wn no es una constante. Es una función de x. Por construcción, la serie cumple las condiciones de contorno en y = 0 e y = b. Las funciones wn ( x) se determinan sustituyendo las derivadas de la ecuación (1.36) en la ecuación de gobierno: ∆2 w( x, y) =

10

p( x, y) D

(1.37)

La ecuación diferencial para w n ( x) es: 2 gn ( x) d4 wn ( x) 2 d wn ( x) λ − 2 + λn4 wn ( x) = n 4 2 D dx dx

(1.38)

Esta ecuación se puede reescribir con una notación más compacta, wnIV ( x) − 2 λn2 wnI I ( x) + λn4 wn ( x) =

gn ( x) D

(1.39)

Esta ecuación es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), lineal, con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando dos soluciones: la del problema homogéneo, w hn ( x), que es siempre p

la misma, y depende de cuatro constantes (A n , Bn , Cn , Dn ) más una solución particular,w n ( x), que depende de la función g n ( x). p

wn ( x) = whn ( x) + wn ( x)

(1.40)

Solución del problema homogéneo: La E.D. a resolver es:

(whn ) IV ( x) − 2 λn2 (whn ) I I ( x) + λn4 whn ( x) = 0

(1.41)

whn ( x) = ( An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x)

(1.42)

Su solución general es:

donde Ch = cosh y Sh = senh. Solución del problema particular p Se resuelve sustituyendo w n por wn en la ecuación 1.39. Finalmente, imponiendo las condiciones de contorno en x = 0, x = a se resuelven las constantes (An , Bn , Cn , Dn ). Una buena elección de la referencia, en problemas con simetría o antimetría, facilita la expresión de la solución. Para eso se han introducido las funciones hiperbólicas

11

1.2.1. Función de carga con coeficientes constantes En este caso, g n ( x) = bn (constante). Así: ∞

p( x, y) =

∑ bn sen(λn y)

(1.43)

n=1

La solución particular es fácil de obtener. La ED para determinarla es la siguiente: p

p

p

(wn ) IV ( x) − 2 λn2 (wn ) I I ( x) + λn4 wn ( x) = p

bn D

(1.44)

p

Probando una solución de la forma w n ( x) = ωn , (una constante), se tiene: p

ωn =

bn D λn4

(1.45)

Y la solución general será:

∞

w( x, y) =

∑

n=1



 bn sen(λn y) ( An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x) + D λn4

12

(1.46)

1.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es constante, de valor p 0 . z p0

x

y a

b

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Desplazamiento: w( x, y) =

con:

2 p0 b4 ∞ 1 × ∑n=1,3,5,... D ( n π )5 Ch(αn )   2 Ch(αn ) + λn x Sh(λn x) − (2 + αn Th(αn )) Ch(λn x) sen(λn y)

λn αn

=

nπ b

=

nπ a 2b

13

(1.47)

(1.48)

1.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento M y en dos bordes paralelos (caso simétrico) Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En dos bordes paralelos actúa una distribución de momentos simétrica, M y ( x).

z My y

a

x b

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de momentos aplicados tales que M y ( x, b/2) = M y ( x, −b/2). El problema es simétrico en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos. El momento se desarrolla en serie como: ∞

M y ( x) =

∑

Mn sin (λn x)

(1.49)

M( x) sin (λn x)

(1.50)

n=1

Los coeficientes Mn se obtienen integrando: Mn = Desplazamiento: a w( x, y) = 2π D o bien:

con:

2 a

Z a 0

  Mn b · Th(αn ) Ch(λn y) − y Sh(λn y) sin (λn x) ∑ 2 n = 1 n Ch (α n ) ∞

  b Mn · Th(αn ) Ch(λn y) − y Sh(λn y) sin(λn x) w( x, y) = ∑ 2 n = 1 2 λ n D Ch (α n )

(1.51)

∞

λn αn

=

nπ a

=

nπ b 2a

14

(1.52)

(1.53)

1.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en dos bordes paralelos (caso antimétrico) Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En dos bordes paralelos actúa una distribución de momentos antisimétrica, M y ( x).

z My y

a

x b

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de momentos aplicados tales que My( x, b/2) = − M y ( x, −b/2). El problema es antisimétrico (o antimétrico) en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos. El momento se desarrolla en serie como: ∞

M y ( x) =

∑

Mn sin (λn x)

(1.54)

M( x) sin (λn x)

(1.55)

n=1

Los coeficientes Mn se obtienen integrando: 2 Mn = a Desplazamiento: w( x, y) = o bien:

0

  Mn b · α λ λ Cth ( ) Sh ( y ) − y Ch ( y ) sin (λn x) n n n ∑ 2 n = 1 n Sh (α n ) ∞

  b Mn Cth ( ) Sh ( y ) − y Ch ( y ) sin (λn x) · α λ λ n n n ∑ 2 n = 1 2 λ n D Sh (α n )

(1.56)

∞

w( x, y) = con:

a 2π D

Z a

λn αn

=

nπ a

=

nπ b 2a

15

(1.57)

(1.58)

1.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . Se aplica una carga distribuida, de valor máximo q.

q

y q x

b

a

Superficie de carga: p( x, y) =

2qy b

(1.59)

Desplazamiento: w( x, y) =

2 q a4 ∞ 1 · 5 Sh (α ) D n=∑ ( n π ) n 1,3,...   4y Sh(αn ) − [2 + αn Cth(αn )] Sh(λn y) + λn y Ch(λn y) sen(λn x) b

con:

αn =

(1.60)

nπ b 2a

(1.61)

nπ a

(1.62)

λn =

16