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• Esther Marilu Villano Camarena

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PLACAS Para elemento rigidez como las placas se debe considerar los efectos de las deformaciones por momentos flexionante y por fuerza cortante, debido a que ellos son los que proporcionan la resistencia y rigidez lateral ante solicitaciones por cargas horizontales (sismo). 𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝐻 = ≥ 10 ∶ 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑒𝑟𝑎𝑙𝑡𝑒𝑠 𝐷

𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝐻 = ˂10 ∶ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑒𝑟𝑎𝑙𝑡𝑒𝑠 𝐷

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMETO PLACA: 𝑘 (𝑒)

Para el análisis se incluye la deformación por corte que esta expresado a través del parámetro “Ø”. Tenemos una placa:

Tenemos la placa con los 6 grados de libertad

En donde: ∅=

12 𝐸𝐼 𝐺𝐴𝑆 ℎ2

𝐴𝑆 = 𝐺=

1 .𝐴 𝐾

𝐸 2. (1 + μ)

0≤μ≤    



1 2

∅ = Factor de corte, que cuantifica las importancias de las deformaciones por corte. 𝐺 = 0.4 E; módulo de corte. El valor de 1 𝐴𝑆 = . 𝐴 𝐾 Donde K: factor de forma o Para un rectángulo K = 6/5 o Para un circulo K = 10/9 μ = módulo de Poisson. o Concreto armado μ=0.25;

𝐾𝑔

G=0.4E;

E=15000√𝑓′𝑐 (𝑐𝑚2 )

G=0.385E;

E=2000000 (𝑐𝑚2 )

o Acero μ=0.30;

Para secciones rectangulares

𝐾𝑔

PROBLEMA Se tiene una placa mostrada en la figura la placa es de 0.30 metros de espesor y de 2 metros de peralte. La altura de entrepiso es de 3m. Además de formar parte de un sistema pórtico, la columna es de 0.30*0.60 m. La sección transversal de la viga es de 0.30*0.60. La luz entre ejes es de 3 metros. Determine:   

Las fuerzas internas en los extremos de los elementos. Dibujar el DFC y DMF. Las fuerzas en las caras de apoyo de la viga.

1. Cálculos previos A = 0.30*2.00 = 0.60 m2 I=

0.30∗2³

= 0.2 𝑚4

12 𝐷 2

2 2

Ø = 3 ( ℎ ) = 3 (3) =

4 3

h = 3 m. E = 2.5 x 106 𝑡𝑛/𝑚² G = 0.4 x E 2. Tenemos la placa de nuestro problema, idealizaremos la placa con los 6 grados de libertad, como esta empotrada los grados de libertad “1-2-3” no se considera, tenemos una fuerza de 10 toneladas por la cual existe un desplazamiento horizontal la cual es el grado de libertad “4”, tenemos pisos superiores las cuales generan una reacción generando un desplazamiento vertical la cual es el grado de libertad “5”, tenemos un momento generando una torsión la cual es el grado de libertad “6”.

3. Tenemos la matriz de rigidez general ya mostrada en la cual descartaremos los grados de libertad “1-2-3” eliminando las columnas y filas “1-2-3” quedándonos solamente con las columnas y filas “4-5-6” en ese orden.

4. Ya tenemos la matriz de rigidez de la placa.

Reemplazamos los valores de los cálculos previos.

𝑘= [

95238.095 0 142857.143

0 500000 0

142857.143 ] 0 380952.389

Tenemos un matriz del sistema de un pórtico del cual es parte la placa.

5. Calculo del vector de fuerzas externas del sistema. 𝑃 = 𝑃ℎ − ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 Ph (Fuerzas Nodales). 0 0 𝑃ℎ = 0 0 [10]

Fuerzas empotramiento perfecto.

0 0 ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 = 0 0 [0] Por lo tanto 0 0 𝑃= 0 0 [10] 6. Calculo del vector desplazamiento. Según la formula 𝜇 = [𝑘 −1 ]. [𝑃] Primero: La inversa de la matriz de rigidez de la placa, la calcularemos con ayuda de un sitio web el cual anexaremos en la bibliografía.

Segundo: Vector fuerza del sistema. 0 0 𝑃= 0 0 [10]

Tenemos el vector desplazamiento, del mismo modo la calcularemos con ayuda de un sitio web el cual anexaremos en la bibliografía.

4.1342565006 𝑥 10−6 −5.3210404837 𝑥 10−5 𝜇 = −1.3780854993𝑥 10−5 1.5507832580𝑥 10−5 [ 1.7248364778 𝑥 10−4 ] 7. Vector de las fuerzas internas de los elementos para la placa. 𝑓 = 𝑘 .𝑢

95238.095 0 𝑓=[ 0 500000 142857.143 0

142857.143 1.7248364778 𝑥 10−4 ] [ 4.1342565006 𝑥 10−6 ] 0 380952.389 −5.3210404837 𝑥 10−5

8.82552760 𝑓 = [ 2.06715825 ] 4.369890231 Redondeando: 8.826 𝑓 = [2.067] 4.370 8. Tenemos finalmente los Diagramas de Fuerza Cortante y Diagramas de Momento Flector.

CONCLUSIONES 

Del mismo modo que vamos realizando el análisis para los elementos estructurales se tiene una matriz general la cual vamos descartando columnas y filas según los grados de libertad y así poder tener la matriz de rigidez.

BIBLIOGRAFÍA 

Santana T. Ronald. “Análisis Estructural – Análisis Matricial en 2D – Método de la Rigidez”. 1ª Edición. 2008.



Matrix RESHISHXX. (2011). 2019, del Sitio web: https://matrix.reshish.com/es/inverCalculation.php