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INVOPROYS - ISEG

Apuntes de Invest igación de Volumen 6: Métodos de Pronóstico Lic. Jorge Luis Medrano La Paz – Bolivia 2012

Este volumen describe los métodos de pronóstico cuantitativos, más usuales y tienen como objetivo coadyuvar a la programación y planeación en escenarios futuros para la toma de decisiones en la práctica económica y administrativa tanto pública como privada.

Apuntes de Investigación Operativa

6 Métodos de Pronóstico Las decisiones empresariales que se toman hoy determinan las consecuencias del mañana, por lo que es necesario generar escenarios que muestren el comportamiento del futuro, por lo tanto “las proyecciones o pronósticos son vitales para toda organización empresarial y para toda decisión gerencial importante”1

1. Definición Un pronóstico se define como la predicción de hechos y condiciones futuros, sobre la base de un conjunto de información clave, con cierto grado de probabilidad de lo que pudiera pasar bajo ciertas condiciones (supuestos). Un pronóstico es una estimación anticipada del valor de una variable convirtiéndose en una herramienta fundamental para la toma de decisiones dentro de las organizaciones. Los pronósticos se utilizan en: planeación y control de inventarios, producción, finanzas, ventas, comercialización, etc. En el campo de la gestión de la producción y las operaciones, los pronósticos forman parte de los procesos administrativos de planeación y control, un buen pronóstico determinará en gran medida la supervivencia, el crecimiento y la rentabilidad a largo plazo, así como la eficiencia y efectividad a corto plazo. ¿Por qué se debe pronosticar? Un pronóstico se realiza para reducir la incertidumbre acerca de lo que puede acontecer en el futuro proporcionando información cercana a la realidad que permita tomar decisiones. Entre algunas razones que justifican la necesidad de realizar pronósticos se encuentran: • • •

Me interesa el futuro porque es el sitio donde voy a pasar el resto de mi vida

El entorno económico de los negocios es cambiante, dinámico y por lo tanto altamente incierto. La intuición no necesariamente da los mejores resultados La planeación s un proceso continuo que requiere retroalimentación y necesita mejoras permanentes.

1 “Administración de la Producción y las Operaciones” Chase Aquilano Jacobs. Ed. Lily Solano Arévalo. 8va. Edición. Santa Fé de Bogota - Colombia, 2001.

Lic . Jorge Lu is Medrano L l .

Métodos de Pronóstico

Ahora bien nadie puede predecir el futuro con certeza, pues no tenemos una bola mágica para saber lo que pasará mañana. Entonces ¿Por qué pronosticar? Porque necesitamos cierta base o criterio que justifique un curso de acción acerca de una decisión. A partir del pronóstico que generemos, estaremos decidiendo dónde asignar nuestros recursos escasos.

2. Horizonte temporal2 Pronóstico a corto plazo: hasta 1 año; aunque casi siempre es menor que 3 meses Pronóstico a mediano plazo: de 3 meses a 3 años. Pronóstico a largo plazo: comprende 3 años o más. Los diferentes escenarios temporales de los pronósticos responden a algunas de las siguientes razones: •

•

•

La planeación de nuevas instalaciones: diseñar nuevas fábricas, realizar nuevos diseños o poner en práctica un nuevo proceso de producción; requieren de un pronóstico de la demanda de productos existentes y nuevos a largo plazo. Planeación de la producción: como la demanda de productos y servicios varía de un mes a otro, se deben elevar o reducir las tasas de producción. Para esto se necesitan los pronósticos a mediano plazo. Programación de la fuerza de trabajo: como la demanda de los productos y servicios varía de una semana a otra, se necesitan pronósticos a corto plazo.

3. Tipos de pronóstico Desde el punto de vista del proceso de planeación se pueden diferenciar los pronósticos económicos (variables del entorno), los pronósticos tecnológicos (índices de progreso tecnológico) y los pronósticos de demanda o pronósticos de ventas.

Según Hanke y Reitsch (1996) los pronósticos se pueden clasificar según tres criterios: •

•

2

Criterio temporal, según el cual existen pronósticos a corto y a largo plazo. Estos últimos ayudan a establecer el curso general de la organización en un plazo largo de tiempo, mientras que los primeros se utilizan para diseñar las estrategias que se utilizarán inmediatamente y serán ejecutadas por niveles medios en la organización. Criterio de entorno, según el cual el pronóstico se relaciona directamente con la posición en cuanto al entorno micro y macro relativos a los detalles de una organización. Estos tipos de detalles son el micro pronóstico y el macro pronóstico. Un ejemplo de micro pronóstico es que el gerente de producción sepa cuánto se necesitará para la producción anual de un producto determinado, mientras que un macro detalle sería conocer el incremento en la carga tributaria (impuestos) que el gobierno aplicará en el siguiente año fiscal. “Principios de Administración de Operaciones”. Render – Heizer. Ed. Pearson P.H. 5ta. Edición. México – 2004.

Apuntes de Investigación Operativa

•

Criterio metodológico, según el cual se clasifica a los pronósticos en cualitativos y cuantitativos, el primero se aplica cuando se emite el juicio de una persona, mientras que los cuantitativos se refieren a procesos mecánicos que dan como resultado datos matemáticos.

Chase, Aquilano y Jacobs (2001) hacen una clasificación de los pronósticos en base a lo que consideran importante de analizar. Para ellos, hay cuatro tipos de pronósticos, los cuales son: cualitativos, de análisis de series de tiempo, causales y modelos de simulación

4. El sistema de pronóstico Los pronósticos proporcionan información para tomar mejores decisiones. El primer paso es identificar la decisión que determina qué es lo que se va a pronosticar, el nivel de detalle necesario y con qué frecuencia se realizará. “Los pronósticos de ventas, calidad de materiales,

ingresos, gastos, uso de energía o los tiempos de llegada de los clientes son una necesidad común en las empresas”. La identificación del problema determina la misión o el propósito, que se muestra como necesidad del pronóstico y constituye el punto de partida para el diseño del sistema de pronósticos. Las principales características de un problema de pronósticos son el marco del tiempo, el nivel de detalle, la exactitud necesaria y el número de aspectos a pronosticar. En los sistemas de producción, casi siempre es de interés el pronóstico de la demanda con el fin de decidir cuánto producir, las decisiones a largo plazo (nuevas plantas, aumentos de capacidad, nuevos productos, etc.) con frecuencia dependen de un pronóstico de demanda, en este caso las decisiones se basan en la tendencia de los pronósticos para varios años sucesivos y no en una sola estimación de demanda. La clave para entender los problemas de pronósticos se encuentra en la comprensión del proceso, el caso más usual es el proceso que crea la demanda de un producto, esto se consigue analizando las características del problema y los datos existentes (si existen), estableciendo los objetivos y metas del pronóstico. Render y Heizer, señalan 7 pasos en el sistema de pronóstico: 1. 2. 3. 4. 5.

Determinar el uso del pronostico Seleccionar los aspectos (variables) que se quiere pronosticar. Determinar el horizonte temporal del pronóstico. Seleccionar la técnica o modelo de pronóstico. Reunir (recolectar, seleccionar y sistematizar) los datos necesarios para elaborar el pronóstico. 6. Aplicar el método elegido a los datos y obtener los resultados del pronóstico. 7. Validar e implementar los resultados.

Lic . Jorge Lu is Medrano L l .

Métodos de Pronóstico

Diseño de un Sistema de Pronóstico

Fuente: Tomado de http://adminoperaciones.blogspot.com/

Apuntes de Investigación Operativa

5. Métodos y técnicas de pronósticos Básicamente se tienen los métodos cualitativos y cuantitativos. Los métodos cualitativos están basados en juicios y opiniones de un grupo de individuos, que forman el panel de pronóstico, respecto a los factores causales de las variables que se quieren pronosticar. Hacen poco uso de la información histórica y casi siempre consideran un horizonte de largo plazo. Principalmente se desarrollan para construcción de escenarios referidos a las alternativas hipotéticas futuras y para investigación de las posibilidades de factibilidad de proyectos tecnológicos. Entre los métodos cualitativos más usuales, se encuentran: 1.

El Consenso de comité ejecutivo o Jurado de opinión de ejecutivos, consiste en utilizar información proveniente de los ejecutivos de alto nivel de todos los ámbitos de la organización para llegar a un pronóstico grupal, a menudo suele combinarse con métodos estadísticos.

2. El método Delphi, es muy similar al anterior, utiliza tres tipos de informantes (tomadores de decisión, personal de la organización y entrevistados expertos) para llegar a un pronóstico general.

3. Composición de la fuerza de ventas, es una técnica en la que los vendedores estiman sus niveles de ventas de un determinado tiempo y lugar.

4.

La encuesta en el mercado de consumo (encuesta a clientes), permite obtener información, con métodos no formales, de clientes reales y potenciales acerca de sus planes e intenciones de compra.

5. La analogía histórica y las investigaciones de mercado3 son procedimientos útiles para productos y servicios nuevos. La analogía histórica estima las ventas futuras de un producto nuevo con el conocimiento de las ventas de un producto similar y las investigaciones de mercado son encuestas de mercado que consisten en cuestionarios por correo y/o entrevistas telefónicas. Los métodos cuantitativos se basan en el análisis y procesamiento de información (por lo general histórica), generando pronósticos numéricos, son útiles en el mediano y corto plazo porque la información disponible se analiza estadísticamente asumiendo continuidad y estabilidad de los cambios de mercado y los cambiostecnológicos. Los métodos cuantitativos se pueden clasificar en: series temporales, modelos causales o asociativos y modelos de simulación. En este capítulo, nos concentraremos en las series temporales y los modelos causales. 3 En realidad las investigaciones de mercado combinan métodos estadísticos y técnicas cualitativas, para recopilar información de diferentes maneras y probar hipótesis sobre el mercado.

Lic . Jorge Lu is Medrano L l .

Métodos de Pronóstico 6. Análisis de series temporales Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, para series ordenadas secuencialmente de periodos de tiempo, por ejemplo: El Alto: Ventas de carne de pollo, 2000- 2008 (En kilogramos)

1500 1250 1002

1054

1120

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

849 875 891

2000

Kilos

1975

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

El análisis de series de tiempo es el procedimiento mediante el cual se identifican y separan los factores relacionados con el tiempo que influyen sobre los valores observados de la serie. Una vez que se identifican esos valores, se les puede utilizar para mejorar la interpretación de los valores históricos de la serie de tiempo y para pronosticar valores futuros. Los modelos de series temporales, asumen una relación funcional de una variables de pronóstico dependiente del tiempo: Y = ƒ (Xt), esto quiere decir que se pronostica el valor futuro de la variable basado en patrones establecidos en el pasado. 6.1. Descomposición de una serie temporal Los datos de una serie temporal se pueden comportar de diferentes formas a través del tiempo, puede que se presente una tendencia, un ciclo; variaciones estacionales (anual, trimestral, semestral, …), no tener una forma definida o aleatoria. En este sentido una serie de tiempo tiene cuatro componentes, típicos: •

•

• •

Tendencia (T), movimiento a lo largo de los valores de la serie de tiempo durante un número prolongado de periodos Fluctuaciones Cíclicas (C), movimientos recurrentes (arriba y abajo) con respecto a la tendencia, por varios periodos, Variaciones Estacionales (E), movimientos respecto a la tendencia y que no duran más de un año. Variaciones Irregulares (I), variaciones erráticas con respecto a la tendencia, que no pueden atribuirse a efectos estacionales o cíclicos.

El valor observado de una serie de tiempo puede ser representado como: Y = T x C x E x I

Apuntes de Investigación Operativa

El profesor Gabriel Leandro, señala algunos tips que pueden ayudar a determinar los componentes de una serie de tiempo: Datos estacionarios: • Las fuerzas que generan la serie se han estabilizado y el medio permanece relativamente sin cambios, la estabilidad se puede lograr mediante correcciones sencillas a factores como crecimiento de la población o la inflación. • La serie se puede transformar en una serie estable y es un conjunto de errores de pronóstico, de una técnica de pronóstico que se considera adecuada. Datos con tendencia: • Productividad creciente y nueva tecnología producen cambios. • El incremento de la población elevan la demanda por productos. • El poder de compra se afecta por la inflación. • Aumenta la aceptación en el mercado de un producto. Datos con estacionalidad • El clima influye en la variable de interés. • El año calendario influye en la variable. Series cíclicas • El ciclo del negocio influye sobre la variable. • Cambios en el gusto popular, cambios en la población y ambios en el ciclo de vida del producto. 6.2. Métodos cuantitativos para el análisis de series temporales •

• • • • •

•

Promedio Móvil Simple Se promedia un periodo que contiene varios puntos de datos, dividiendo la suma de los valores de los puntos entre el número de puntos. Cada punto tiene la misma influencia. Promedio Móvil Ponderado. Ciertos puntos se ponderan más que otros, según se considere conveniente de acuerdo con la experiencia. Suavizamiento Exponencial. Los puntos de datos más recientes tienen mayor peso; este peso se reduce exponencialmente, cuantos más antiguos son los datos. Análisis de Regresiones Ajusta una línea recta a datos pasados, por lo general relacionando el valor del dato con el tiempo. El método de ajuste más común es el de mínimos cuadrados. Técnica Box Jenkins Muy complicada, pero al parecer la más precisa de las técnicas estadísticas disponibles. Series de Tiempo de Shiskin Eficaz para descomponer una serie de tiempo en estacionalidad, tendencia e irregulares. Requiere por lo menos tres años de datos históricos. Muy bueno para identificar puntos de cambio. Proyección de Tendencias Ajusta una línea de tendencia matemática a puntos de datos y la proyecta hacia el futuro.

Lic . Jorge Lu is Medrano L l .

Métodos de Pronóstico

Método de proyección

Cantidad de datos

Patrón de los datos

históricos Ajuste exponencial

5 a 10 observaciones

Los datos deben ser

simple

para fijar la ponderación

estacionarios

Ajuste exponencial de

10 a 15 observaciones

Tendencias pero no

Holt

para fijar la ponderación

estacionalidad

Ajuste exponencial de

Por lo menos 4 ò 5

Tendencias y

Winter

observaciones por

estacionalidad

Horizonte de

Tiempo de

Antecedentes del

proyección

preparación

personal

Corto

Corto

Poca sofisticación Ligera sofisticación

Corto a mediano

Corto Sofisticación

Corto a mediano

Corto

moderada

trimestre 10 a 20 observaciones

Modelos de la tendencia

para la estacionalidad, por

Tendencias y

de regresión

lo menos 5 por trimestre

estacionalidad

Sofisticación Corto a mediano

Corto

moderada

Largo tiempo para el

Modelos de regresión

10 observaciones por

Puede manejar

Corto, mediano o

desarrollo, corto para la

Sofisticación

causal

variable independiente

patrones complejos

largo

puesta en ejecución

considerable

Corto a mediano

Corto tiempo para

Poca sofisticación

Maneja patrones cíclicos y

Descomposición de las

Suficiente para ver 2

estacionales puede identificar

series de tiempo

picos y simas

los puntos críticos

Box Jenkins

50 o más observaciones

la moderación

Deben ser estacionarios o

Corto, mediano o

ser transformados en

largo

estacionarios

Largo

Alta sofisticación

Apuntes de Investigación Operativa

6.3. Medición del error del pronóstico Antes de desarrollar las diferentes técnicas de análisis de series temporales, es conveniente conocer algunas medidas para comparar la precisión las técnicas de pronóstico, medir su confiabilidad y buscar una técnica adecuada. El error de pronóstico (e) o desviación se define como: et = Yt − Yˆt , la diferencia entre el valor observado y el valor pronosticado. Existen diferentes medidas para estimar e error global del modelo de pronóstico, que sirven para comparar diferentes métodos y criterios y también como medida de desempeño, Las medidas más comunes son:

1.

Deviación absoluta media n

DAM =

∑ Y − Yˆ t

t =1

t

n

2. Error medio cuadrado

∑ (Y − Yˆ ) n

EMC =

2

t

t =1

t

n

3. Porcentaje de error medio absoluto n

∑

Yt − Yˆt Yt n

t =1

PEMA =

4. Porcentaje medio de error n

∑ PME =

t =1

(Y − Yˆ ) t

t

Yt n

Comencemos con un ejemplo: La tabla siguiente muestra las ventas de un producto alimenticio de la empresa APROC, en un mercado local y los pronósticos realizados por el departamento de ventas:

Lic . Jorge Lu is Medrano L l .

10 Programación Lineal

Cuadro No. 2 Ventas anuales APROC, 2000 - 2008 (Libras/año) Años Ventas Pronostico 2000 325 325 2001

372

360

2002

451

475

2003

550

580

2004

673

675

2005

700

745

2006

896

900

2007

1002

1000

2008

1200

1150

Fuente: Departamento de ventas APROC

Calculando los errores de pronóstico: Pronostico Error Años Ventas de ventas (e) 2000 325 325 0 2001 372 360 12,00

DAM

EMC

PEMA

PME

0

0

0

0

12,00

144,00

0,03

0,03

2002

451

475

-24,00

24,00

576,00

0,05

-0,05

2003

550

580

-30,00

30,00

900,00

0,05

-0,05

2004

673

675

-2,00

2,00

4,00

0,00

0,00

2005

700

745

-45,00

45,00

2025,00

0,06

-0,06

2006

896

900

-4,00

4,00

16,00

0,00

0,00

2007

1002

1000

2,00

2,00

4,00

0,00

0,00

2008

1200

1150

50,00

50,00

2500,00

0,04

0,04

18,8

685,4

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

11 Investigación de Operaciones

6.4. Modelos para pronósticos cuantitativos 6.4.1. Método del último valor Este método parte del supuesto de que los periodos recientes son los mejores para pronosticar el futuro. En este sentido el pronóstico en un periodo t, se define como:
 
 Veamos un ejemplo: Las ventas de carne de pollo en la ciudad de El Alto, durante los meses de enero y octubre del año que transcurre fueron: Cuadro No. 3 El Alto: Ventas de carne de pollo Enero-Octubre/2009 (Kilogramos/mes) Mes Demanda

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

23751

25612

24002

22101

23218

25000

25425

27201

30004

33125

Fuente: INE Cuadro No. 4 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del último valor) (En kilogramos/mes) Mes

Demanda

Pronóstico de demanda

Error

PEMA 35000

Enero

23751

-

-

-

Febrero

25612

23751

1861

0,073

Marzo

24002

25612

-1610

0,067

25000

Abril

22101

24002

-1901

0,086

20000

Mayo

23218

22101

1117

0,048

Junio

25000

23218

1782

0,071

Julio

25425

25000

425

0,017

10000

Agosto

27201

25425

1776

0,065

5000

Septiembre

30004

27201

2803

0,093

Octubre

33125

30004

3121

0,094

33125

Diciembre

33125

PEMA

6,83%

15000

0 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Noviembre

30000

Demanda

Pronóstico de demanda

Fuente: Elaboración propia

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

12 Programación Lineal

6.4.2. Método del promedio simple Este método consiste en considerar la media aritmética o promedio de todos los valores pertinentes (en la mayor parte de casos de todos los valores precedentes), el valor de dicho promedio será el pronóstico del periodo correspondiente. Veamos:

Junio

25000

23736,80

1263,20

0,05

5000

Julio

25425

23947,33

1477,67

0,06

0

Agosto

27201

24158,43

3042,57

0,11

Septiembre

30004

24538,75

5465,25

0,18

Octubre

33125

25146,00

7979,00

0,24

Noviembre

25943,90

Diciembre

25943,90

PEMA

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Cuadro No. 5 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio simple) (En kilogramos/mes) Pronóstic 35000 Mes Demanda o de Error PEMA demanda 30000 Enero 23751 25000 Febrero 25612 23751,00 1861,00 0,07 20000 Marzo 24002 24681,50 -679,50 0,03 15000 Abril 22101 24455,00 -2354,00 0,11 10000 Mayo 23218 23866,50 -648,50 0,03

Demanda 9,77%

Fuente: Elaboración propia Guía de cálculos (algunos ejemplos) Febrero: El promedio del mes de enero: Marzo: El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 = Abril: El promedio de enero, febrero y marzo: (23751 + 25612 + 24002) = Noviembre: El promedio desde el mes de enero hasta el mes de octubre =

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

23751,00 24681,50 24455,00 25943,90

Pronóstico de demanda

13 Investigación de Operaciones

Veamos la salida en QSB Secuencia: File
New Problem
Historical data
Solve and Analize
Simple Average (Promedio simple)

6.4.3. Método del promedio móvil Este método considera para el pronóstico el promedio de los “n” periodos más recientes, donde “n” es definido por la persona o equipo responsable del pronóstico y depende de la cantidad de datos históricos que se dispongan. El promedio móvil es la media aritmética de los “n” datos más recientes.4.

4

Una variante permite tomar también los valores adyacentes

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

14 Programación Lineal

Veamos: Cuadro No. 6 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de Mes Demanda Error PEMA 35000 demanda 30000 (n = 2) Enero 23751 25000 Febrero

25612

Marzo

24002

24681,50

-679,50

0,03

Abril

22101

24807,00

-2706,00

0,12

Mayo

23218

23051,50

166,50

0,01

Junio

25000

22659,50

2340,50

0,09

Julio

25425

24109,00

1316,00

0,05

Agosto

27201

25212,50

1988,50

0,07

Septiembre

30004

26313,00

3691,00

0,12

Octubre

33125

28602,50

4522,50

0,14

20000

Noviembre

31564,50

Diciembre

31564,50

PEMA

15000 10000 5000 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

0

Demanda Pronóstico de demanda (n = 2)

7,95% Fuente: Elaboración propia

Guía de cálculos (algunos ejemplos) Marzo: El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 = 24681,50 Noviembre: El promedio de septiembre y octubre: (30004+33125)/2 = 25943,90

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

15 Investigación de Operaciones

En QSB: File
New Problem
Historical data
Solve and Analize
Moving Average (Promedio movil) Ingresar: el número de periodos del promedio (number period average)

6.4.4. Método del promedio móvil ponderado Este procedimiento es una variante del promedio móvil, en el que se asignan diferentes pesos a los datos pasados, lógicamente la suma de las ponderaciones o pesos debe ser igual a 1. La experiencia sugiere que los últimos valores tienen mayor ponderación que los valores antiguos. La mejor forma de asignar las ponderaciones es mediante prueba y error, pero debemos tener cuidado cuando existen datos estacionales. La fórmula del promedio móvil ponderado es:

Donde: w1 + w2 + … + wn = 1

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

16 Programación Lineal

Veamos: Cuadro No. 7 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil ponderado) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de 35000 Error PEMA Mes Demanda demanda 30000 (n = 3) 25000 Enero 23751 25612

20000

Marzo

24002

15000

Abril

22101

24434,80

-2333,80

0,11

10000

Mayo

23218

23373,50

-155,50

0,01

5000

Junio

25000

23039,70

1960,30

0,08

0

Julio

25425

23885,60

1539,40

0,06

Agosto

27201

24856,10

2344,90

0,09

Septiembre

30004

26228,00

3776,00

0,13

Octubre

33125

28247,30

4877,70

0,15

Noviembre

31003,90

Diciembre

31003,90

PEMA

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Febrero

Demanda Pronóstico de demanda (n = 3)

8,7%

Fuente: Elaboración propia

Factores de ponderación: 3 meses antes

0,20

2 meses antes 1 mes antes

0,30 0,50

Guía de cálculos (algunos ejemplos) Marzo: El promedio ponderado: (0,20*23751) + (0,30*25612) + (0,50*24002) = 24434,80 Noviembre: El promedio ponderado: (0,20*27201) + (0,30*30004) + (0,50*33125) = 31003,90 6.4.5. Método de suavización exponencial Este método de pronóstico consiste en otorgar una ponderación mayor a las observaciones más recientes. Las ponderaciones se asignan mediante la constante “α”que varía según 0 < α < 1. El modelo de pronóstico se expresa como:
  
  1  
 Esta expresión implica que el pronóstico depende del valor observado anterior, el valor pronosticado anterior y el factor de suavizamiento, que determina el nivel de suavizamiento y la velocidad de reacción con respecto a las diferencias entre pronósticos y datos observados, mientras más rápido sea el crecimiento, mayor debe ser la tasa de reacción. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

17 Investigación de Operaciones

Partiendo del supuesto de que la importancia de los datos disminuye a medida que son más antiguos, el suavizamiento permite asignar más peso a los datos más reciente y por lo tanto puede generar mejores ajustes que los promedios móviles, es decir que por lo general tienen mayor grado de precisión. Esto hace que esta técnica es una de las más utilizadas. Cuadro No. 8 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de Mes Demanda Error PEMA 35000 demanda ( α = 0,75) 30000 Enero 23751 23751,00 25000

Febrero

25612

23751,00

1861,00

0,07

Marzo

24002

25146,75

-1144,75

0,05

Abril

22101

24288,19

-2187,19

0,10

15000

Mayo

23218

22647,80

570,20

0,02

10000

Junio

25000

23075,45

1924,55

0,08

5000

Julio

25425

24518,86

906,14

0,04

0

Agosto

27201

25198,47

2002,53

0,07

Septiembre

30004

26700,37

3303,63

0,11

Octubre

33125

29178,09

3946,91

0,12

Noviembre

32138,27

Diciembre

32138,27

PEMA

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

20000

Demanda Pronóstico de demanda (α = 0,75) 7,33%

Fuente: Elaboración propia Guía de cálculos (algunos ejemplos) Enero: El dato del pronóstico sólo es referencial Febrero: 0,75 * 23751 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 23751,00 Marzo: 0,75 * 25612 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 25146,75 Noviembre: 0,75 * 33125 + (1 – 0,75) * 29178,09 = 32128,27

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

18 Programación Lineal

En QSB: File
New Problem
Historical data
Solve and Analize
Single exponential smoothing (Suavizamiento exponencial simple) Ingresar: factor de suavizamiento (smoothing constant alpha)

Chase y Aquilano, señalan que el método del ajuste o suavizamiento exponencial es uno de los más utilizados por las siguientes razones: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Los modelos exponenciales son sorprendemente exactos. La formulación de un modelo exponencial es relativamente fácil. El usuario puede entender cómo funciona el modelo. Se requieren de pocos datos y pocos cálculos para utilizar el modelo. Los requerimientos de almacenamiento son bajos debido al uso limitado de datos. Las pruebas de exactitud en cuanto al desempeño del modelo son fáciles de calcular.

6.4.6. Método de suavizamiento exponencial para datos con tendencia (Holt) Ya indicamos que una serie temporal puede presentar un componente de tendencia (creciente o decreciente), en tal caso el suavizamiento exponencial podría no ajustarse de manera adecuada a los datos en tal caso es posible estimar un factor de tendencia, para los datos y aplicar un modelo biecuacional que ajuste los datos a la tendencia. Las proyecciones de suavizamiento exponencial pueden corregirse agregando un ajuste de tendencia, para lo cual se necesitan dos constantes de ajuste “α” y “β”, este último factor trata de reducir el impacto del error entre la realidad y el pronóstico.

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

19 Investigación de Operaciones

La ecuación que permite calcular el pronóstico con tendencia se define como:
       
  1             1    En este modelo S representa el pronóstico de base y G representa el comportamiento de la tendencia. IMPORTANTE. Para que la ecuación de tendencia funcione la primera vez que se utilice, el valor inicial debe registrarse manualmente, en el caso del pronóstico de base (S) puede ser el mismo valor observado, una estimación razonable o un cálculo basado en los datos anteriormente observados. Para el caso de la tendencia (G) se puede tomar el incremento agregado desde el primer dato hasta el último dato, por periodo de observación, con estos valores será fácil realizar los demás cálculos. Veamos: En el ejemplo de la demanda de carne de pollo se observa que los datos presentan un comportamiento creciente es decir una tendencia a la que aproximaremos una tendencia lineal. Cuadro No. 9 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial con tendencia) (En kilogramos/mes) Mes Enero

Demanda

St (α = 0,50)

Gt (α = 0,10)

Pronóstico de demanda

Error

PEMA

23751

23751,00

1041,56

Febrero

25612

25202,28

1082,53

24792,56

819,44

0,03

Marzo

24002

25143,40

968,39

26284,81

-2282,81

0,10

Abril

22101

24106,40

767,85

26111,79

-4010,79

0,18

Mayo

23218

24046,12

685,04

24874,24

-1656,24

0,07

Junio

25000

24865,58

698,48

24731,16

268,84

0,01

Julio

25425

25494,53

691,53

25564,06

-139,06

0,01

Agosto

27201

26693,53

742,27

26186,05

1014,95

0,04

Septiembre

30004

28719,90

870,68

27435,80

2568,20

0,09

Octubre

33125

31357,79

1047,40

29590,58

3534,42

0,11

Noviembre

32405,19

Diciembre

32405,19

PEMA

6,95%

Fuente: Elaboración propia ____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

20 Programación Lineal

Nótese que en el gráfico siguiente, se ve reflejada la tendencia de mejor manera que con los otros procedimientos vistos anteriormente (con excepción del método del último valor). 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

Demanda

Pronóstico de demanda

6.4.7. Método de suavizamiento exponencial para datos con estacionalidad (Winter) El método de invierno (Winter) se usa para series temporales en las que se encuentra presente la tendencia y la estacionalidad. Ya vimos como incluir la tendencia, ahora veremos cómo se incorpora la estacionalidad, para ello se define C, como el número de periodos en la duración del patrón estacional. (C = 4 si la información es trimestral, C = 12 si los datos son mensuales, C = 2, si se trata de semestres, etc.) Tomando las ecuaciones de pronóstico de base y tendencia del modelo anterior se tiene:   
 /  1             1    Donde N es el número de períodos de un ciclo estacional completo (N=2, N=4; N=12, etc.) Adicionalmente se requiere un procedimiento para revisar los factores estacionales ya que al hacer las suavizaciones se dispone de nuevos datos, para tal caso se aplica nuevamente una suavización exponencial para los factores estacionales:     /  1    ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

21 Investigación de Operaciones

En este caso el factor de suavizamiento γ en general es mayor a los parámetros α y β, debido a que el número de observaciones del factor estacional es uno al año. Con estas tres ecuaciones el pronóstico se obtiene como:
      Veamos un ejemplo (tomado de Bodoni-Hausman y Bierman, “Análisis Cuantitativo para los Negocios”). Las ventas mensuales de sopa de carne de pollo (en miles de cajas) en los tres últimos años fueron: Mes Enero

Año 1

Año 2

Año 3

219

236

243

Febrero

216

239

238

Marzo

218

221

224

Abril

185

194

194

Mayo

154

161

162

Junio

147

131

153

Julio

124

110

138

Agosto

93

101

128

Septiembre

127

131

151

Octubre

148

157

165

Noviembre

161

189

194

Diciembre

198

217

241

Promedio

165,83

173,92

185,92

Según el gráfico siguiente se aprecia un comportamiento estacional que se repite en los tres años: 300 250 200 150

Año 1

100

Año 2

50

Año 3

0

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

22 Programación Lineal

Paso a paso Paso 1: factores estacionales Con la información dada el primer paso consistirá en determinar los doce factores estacionales, lo cual se puede hacer simplemente dividiendo el promedio de cada mes individual en los tres años con respecto al promedio total de los tres años, por ejemplo para el mes de enero: Promedio total = (219 + 216 + … + 241)/36 = 6308/36 = Promedio del mes de enero = (219 + 236 + 243)/3 = Factor estacional del mes de enero = 232,67/175,22 =

175,22 232,67 1,3278

Realizando este procedimiento para todos los meses, en una hoja de cálculo se obtiene: Factores Mes Año 1 Año 2 Año 3 estacionales 219 236 243 1,32784 Enero Febrero

216

239

238

1,31833

Marzo

218

221

224

1,26126

Abril

185

194

194

1,09004

Mayo

154

161

162

0,90742

Junio

147

131

153

0,81991

Julio

124

110

138

0,70767

Agosto

93

101

128

0,61256

Septiembre

127

131

151

0,77806

Octubre

148

157

165

0,89410

Noviembre

161

189

194

1,03488

Diciembre

198

217

241

1,24794

Paso 2: Valores iniciales Calculo de la tendencia (G0): del año 3

Incremento mensual de las ventas de enero del año 1 a enero (243 – 219)/24 = 1 Tiempo transcurrido entre enero/año 1 y enero/Año 3

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

23 Investigación de Operaciones

Calculo del pronóstico de base (S0) Se toma el promedio de ventas mensuales durante el año 1 y se resta la mitad del año de tendencia. Promedio de ventas mensuales año 1 = 165,83 Mitad del año de la tendencia =6 Dado que G0 = 1
1 año
12 meses La mitad del año de tendencia es 6

Entonces S0 = 165,83 – 6 = 159,83 Paso 3: Calculo del pronóstico Teniendo los valores iniciales S0 y G0, ahora se puede calcular el pronóstico de base (S), la tendencia (G) y los factores estacionales (C), utilizando el suavizamiento exponencial correspondiente a cada caso. IMPORTANTE: Para el caso de los factores estacionales es más fácil comenzar con el primer punto de datos (en nuestro caso enero) que será el insumo para el pronóstico del mes de febrero Veamos los cálculos para los insumos del pronóstico del mes de febrero (datos de enero del año 1), tomando α = 0,20; β = 0,20; γ = 0,20 S1 = 0,20 (219/1,32784) + (1-0,20) (159,83+1) = 161,5 G1 = 0,20 (161,5-159,83) + (1-0,20) (1) = 1,16386 C1 = 0,20 (219/161,5) + (1-0,20) (1,16386) = 1,3332 Con esta información el pronóstico del mes de febrero:

Este procedimiento se repite para todo el año 1 En el caso del año 2 se toman en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 1. En el caso del año 3 se toma en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 2.

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

24 Programación Lineal

Realizando todos los cálculos se obtiene: Año 1 PRONOSTICO

Dt

Factor

Valores iniciales

St

Gt

Ct

Pronóstico

159,83

1

Enero

219

1,328

161,65

1,16386

1,3332215

Febrero

216

1,318

163,02

1,20497

1,31965563

214,65

Marzo

218

1,261

165,95

1,54963

1,27173368

207,13

Abril

185

1,090

167,94

1,63835

1,09234766

182,58

Mayo

154

0,907

169,61

1,64356

0,90753061

153,88

Junio

147

0,820

172,86

1,96501

0,82601007

140,41

Julio

124

0,708

174,90

1,98095

0,70793077

123,72

93

0,613

171,87

0,97849

0,5982644

108,35

Septiembre

127

0,778

170,93

0,59353

0,7710502

134,49

Octubre

148

0,894

170,32

0,35392

0,8890714

153,36

Noviembre

161

1,035

167,65

-0,25012

1,01996218

176,63

Diciembre

198

1,248

165,66

-0,59985

1,23740061

208,91

Agosto

Año 2 St

Gt

Enero

PRONOSTICO

Dt 236

Factor 1,328

167,45

-0,12151

1,34845567

220,06

Febrero

239

1,318

170,08

0,42974

1,33676409

220,81

Marzo

221

1,261

171,17

0,56038

1,27561619

216,85

Abril

194

1,090

172,90

0,79530

1,09828437

187,58

Mayo

161

0,907

174,44

0,94364

0,9106176

157,63

Junio

131

0,820

172,02

0,27213

0,81311254

144,87

Julio

110

0,708

168,91

-0,40441

0,69658899

121,97

Agosto

101

0,613

168,57

-0,39189

0,59844204

100,81

Septiembre

131

0,778

168,52

-0,32315

0,77230833

129,67

Octubre

157

0,894

169,88

0,01240

0,89609585

149,54

Noviembre

189

1,035

172,97

0,62883

1,03450176

173,28

Diciembre

217

1,248

173,95

0,69948

1,23941104

214,81

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

Ct

Pronóstico

25 Investigación de Operaciones

Año 3 PRONOSTICO

Dt

Factor

St

Gt

Ct

Pronóstico

Enero

243

1,328

175,76

0,92157

1,35527104

235,51

Febrero

238

1,318

176,96

0,97581

1,33840293

236,19

Marzo

224

1,261

177,47

0,88255

1,27293475

226,97

Abril

194

1,090

178,01

0,81414

1,09659622

195,88

Mayo

162

0,907

178,64

0,77734

0,90986716

162,84

Junio

153

0,820

181,16

1,12739

0,81939694

145,88

Julio

138

0,708

185,46

1,76002

0,70609398

126,98

Agosto

128

0,613

192,55

2,82695

0,61170602

112,04

Septiembre

151

0,778

195,41

2,83258

0,77239729

150,89

Octubre

165

0,894

195,42

2,26835

0,88574662

177,64

Noviembre

194

1,035

195,65

1,86215

1,02591068

204,51

Diciembre

241

1,248

196,90

1,73939

1,23632022

244,80

1,355

262.91

6.4.8. Correlación y regresión Correlación lineal En diversas ocasiones se analiza el grado de relacionamiento entre dos variables, por ejemplo entre la publicidad y las ventas, o la demanda de un producto y su precio. Una primera aproximación al problema, se puede encontrar mediante una representación gráfica en un plano cartesiano, que nos permitiría obtener una nube de puntos que muestre la existencia (o no) de algún tipo de relación (lineal, parabólica, exponencial, etc.) entre ambas notas. La correlación permite analizar la intensidad de la relación lineal entre dos variables, mediante el coeficiente de correlación lineal de Pearson, cuyo valor oscila entre –1 y +1 El coeficiente r se define como: 

 ,
  

∑   

 ∑    ! ∑

 !

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

26 Programación Lineal

Y

Y

Y

140

140

140

120

120

120

100

100

100

80

80

80

60

60

60

40

40

40

20

20

20

0

X 0

5

10

15

Correlación lineal directa (r
+1)

X

0 0

5

10

15

Correlación lineal inversa (r
-1)

X

0 0

5

10

15

Correlación no lineal (r
0)

De acuerdo con los gráficos se observa que cuando existe una relación directa (A mayor X mayor Y) la correlación tiende a 1, en una relación inversa (A mayor X, menor Y) la correlación tiende a -1, y en ausencia de relación lineal la correlación tiende a 0, pero esto puede indicar que existe otro tipo de correlación. El siguiente diagrama resume el análisis, del coeficiente de correlación, entre dos variables:

Propiedades del coeficiente de correlación de Pearson (r) • Es adimensional. • Sólo toma valores en [-1,1]. • Las variables son incorrelacionadas  r = 0. • Relación lineal perfecta entre dos variables  r = +1 o r = -1. o Excluimos los casos de puntos alineados horizontalmente o verticalmente. • Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal. o Siempre que no existan observaciones anómalas.

____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll.

27 Investigación de Operaciones

Análisis de regresión Cuando se piensa que una variable depende de la otra, se debe cuantificar la relación entre ellas, esto permite el valor de una variable (dependiente o explicada) a partir del valor de otra variable (independiente o explicativa). Los modelos de regresión intentan analizar este proceso. En el caso de las series temporales se trata de ajustar un conjunto de datos en el tiempo (puntos) a una función matemática conocida, por ejemplo en el siguiente gráfico: Bolivia: Demanda de café 2000-2009 (En kilogramos/año) Demanda de café (Kg)

1200

2000

602

1000

2001

389

2002

420

2003

525

2004

647

2005

720

2006

693

2007

992

2008

1050

2009

985

Kilos de café

Años

800 600 400 200 0 2000

2002

2004

2006

2008

2010

En este caso los puntos representan la cantidad demandada por año, en general se observa que la misma ha ido aumentando con el transcurrir de los años, por lo que parece existir una tendencia creciente la misma que se puede ajustar a una línea recta de la forma Y = a + bX. Es importante notar que la existencia de correlación entre variables no implica causalidad, la correlación sólo mide la fuerza de asociación entre dos variables cuantitativas; la regresión estudia la relación entre dos variables cuando una depende de la otra

La regresión lineal El tipo más frecuente y usual de tendencia es la lineal, según la cual los datos observados se pueden ajustar a una función lineal de la forma , donde es el valor pronosticado y Xt el periodo correspondiente a cada pronóstico, en este caso se trata de estimar los parámetros a y b, siendo a el valor de la tendencia cuando X = 0 y b es el valor de la pendiente de la función lineal.

____________________________

Lic. Jorge Luis Medrano

28 Programación Lineal

El método más común de estimación de los parámetros de la regresión a y b, es el de mínimos cuadrados ordinarios5, según el cual:

b=

∑ (X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X ) 2

a = Y − bX Donde Y son los datos observados en los periodos X. Veamos el ejemplo de la demanda de café: Manualmente:

(X − X )

(Y − Y ) (X − X ) (Y − Y ) (X − X )

2

Años

Xt

Demanda (Y)

2000

1

602

-4,5

-100,3

451,35

20,25

2001

2

389

-3,5

-313,3

1096,55

12,25

2002

3

420

-2,5

-282,3

705,75

6,25

2003

4

525

-1,5

-177,3

265,95

2,25

2004

5

647

-0,5

-55,3

27,65

0,25

2005

6

720

0,5

17,7

8,85

0,25

2006

7

693

1,5

-9,3

-13,95

2,25

2007

8

992

2,5

289,7

724,25

6,25

2008

9

1050

3,5

347,7

1216,95

12,25

2009

985

Σ

10 55

7023

4,5 0

282,7 0,00

1272,15 5755,5

20,25 82,5

Promedio

5,5

702,3

Calculando los parámetros:

5755,5 = 69,75 82,5 a = 702,3 − (69.75) * (5,5) = 318,66

b=

Estimación de los coeficientes de regresión por mínimos cuadrados. Los parámetros se pueden estimar mediante cálculos manuales, ingresando la información en una calculadora científica, en excel o en cualquier software estadístico o especializado de Investigación Operativa como el QSB. ____________________________ 5

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29 Investigación de Operaciones

Ms Excel ofrece diferentes alternativas para el cálculo de los parámetros: •

La forma más sencilla, se encuentra en agregar línea de tendencia a un gráfico de dispersión. También se puede estimar los parámetros mediante las funciones estadísticas: PENDIENTE
parámetro b INTERSECCION.EJE
parámetro a COEF.CORREL
parámetro r La forma más completa de obtener los parámetros de una regresión es a través del complemento “Herramientas de Análisis” utilizando la función Regresión.

•

•

Gráficamente 1200

y = 69,764x + 318,6 R² = 0,7911

Demanda

1000 800 600 400 200 0 0

2

4

6

8

10

12

Periodos

1. 2. 3.

Graficar la nube de puntos. Sobre uno de los puntos “agregar línea de tendencia. En el cuadro de dialogo, elegir lineal y marcar: □ Presentar ecuación en el gráfico □ Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico

Calculados los parámetros, la función de tendencia será: pueden realizar pronósticos para varios periodos, por ejemplo Año

Xt

Demanda

2010

11

1086,0

2011

12

1155,8

2012

13

1225,5

2013

14

1295,3

2014

15

1365,1

2015

16

1434,8

, con la cual se

Guía de cálculos (algunos ejemplos) Año 2010: Año 2011: Año 2015:

318,6 + 69,8*11 = 1086,0 318,6 + 69,8*12 = 1155,8 318,6 + 69,8*16 = 1434,8

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30 Programación Lineal

Otros tipos de tendencia Si bien la tendencia lineal es la más usual existe un menú de ajustes que pueden adecuarse a otro tipo de comportamiento de datos, en este caso nos referiremos a la tendencia exponencial y a la tendencia de tipo logarítmica que suelen presentarse con cierta frecuencia al momento de analizar series temporales. La regresión exponencial de la forma Y = aebX se caracteriza por presentar un crecimiento sostenido de los datos, en el ejemplo se observa una estimación de necesidades de tratamiento para personas que han contraído el VIH. 1000 800 600 400 200 0 1980 1000

1990

2000

2010

y = 1,0244e0,2669x R² = 0,9352

800 600 400 200 0 0

10

20

30

La regresión logarítmica de la forma Y = a + b Ln(X) se caracteriza por un crecimiento sostenido durante los primeros periodos para luego presentar una estabilización casi lineal durante los siguientes periodos, por ejemplo en los gráficos siguientes se muestra la demanda de chips para celulares en la región andina de Sudamérica.

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31 Investigación de Operaciones

35000

35000

30000

30000

25000

25000

20000

20000

15000

15000

10000

10000

5000

5000

0 1990

y = 6334ln(x) + 12741 R² = 0,9233

0 1995

2000

2005

2010

0

5

10

15

20

-:-

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32 Programación Lineal

Resolviendo pronósticos con el software QSB El QSB tiene integrado el programa “Forecasting and Linear Regression” (Pronostico y regresión lineal). Para ingresar una serie temporal el procedimiento es el siguiente: 1. File 2. New Problem Titulo del problema Unidad de tiempo (mes, trimestre, semestre, año, etc.) Número de periodos de observación (número de datos observados) 3. Ingresar los datos de la serie temporal: Por ejemplo Historical Mes Data 1 23751

4.

2

25612

3

24002

4

22101

5

23218

6

25000

7

25425

8

27201

9

30004

10

33125

Resolver el modelo (Solve and Analyze) y elegir el modelo de pronostico En este caso Simple average (SA)

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33 Investigación de Operaciones

Ingresar el número de periodos a pronosticar

5. La salida del modelo será:

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34 Programación Lineal

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35 Investigación de Operaciones

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