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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS INGENIERIA AMBIENTAL PROGRAMACION Y METODOS NUMERICOS Nombre: Joffre Méndez Docente: Ing. Paul Ávila Fecha: 02/04/2015 EJERCICIOS – CAPITULO 4 4.1) Escriba los siguientes polinomios en forma agrupada: (a)

4

3

2

y=x −3 x +2 x + x +2

En forma agrupada

y=( ( ( ( x−3 ) x +2 ) x+1 ) x +2)

(b)

y=3 x 5 +2 x 3 + x 2+ 7

En forma agrupada 2

2

y=( ( ( 3 x + 2 ) x +1 ) x + 7) 4.3) Escriba los siguientes polinomios en forma de serie de potencias empleando (i)poly y (ii)polyfit. 4

3

2

y=5 x +18 x + 40 x +155 x +120 Command Window: >> p = [5 18 40 155 120]; >> r= roots(p) r= 0.3335 + 2.7637i 0.3335 - 2.7637i -3.3397 + 0.0000i -0.9274 + 0.0000i >> poly(r) ans = 1.0000 3.6000 8.0000 31.0000 24.0000 >> x=1:0.5:3; >> y=(5*x.^4)+(18*x.^3)+(40*x.^2)+(155*x)+120; >> a= polyfit(x,y,length(x)-1) a=

5.0000 18.0000 40.0000 155.0000 120.0000

y=4 x 4−28 x 2 +24 x Command Window: >> p = [4 -28 24]; >> r= roots(p); >> poly(r) ans = 1 -7 6 >> x= 1:0.5:3; >> y= (4*x.^4)- (28*x.^2)+(24*x); >> a= polyfit(x,y,length(x)-1) a= 4.0000 -0.0000 -28.0000 24.0000

0.0000

4.5) Convierta el siguiente polinomio en una serie de potencias empleando polyfit.

v ( x )=

(x−1)( x−2.5)(x−4 )(x−6.1)(x−7.2)(x−10) (5−1)(5−2.5)(5−4 )(5−6.2)(5−7.2)(5−10)

Command Window: >> x= 1:0.5:3.5; >> y= ((x-1).*(x-2.5).*(x-4).*(x-6.1).*(x-7.2).*(x-10))./((5-1)... .*(5-2.5).*(5-4).*(5-6.2).*(5-7.2).*(5-10)) y= 0 2.1105 1.2921 0 -0.6905 -0.5921 >> a= polyfit(x,y,length(x)-1) a= 0.1311 -2.2305 14.7911 -46.4180 66.4025 -32.6761 Polinomio: v(x) = 0.1311x5-2.2305x4+ 14.7911x3 -46.4180x2 + 66.4025x -32.6761 4.7) Un polinomio tiene tres raíces: -2,1 y 2. Si el polinomio y se convierte en y (0)=1, determine el polinomio en forma de serie de potencias. Command Window: >> r = [-2, 1, 2] r= -2 1 2 >> poly(r) ans = 1 -1 -4 4 Polinomio

3

2

y=x −x −4 x+ 4 4.9) Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los siguientes conjuntos de datos a) (-1,1), (1,4) Orden del polinomio ajustado a dos puntos de datos g(x)=

c 1 x +c 2

Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos:

c 1 (−1 ) +c 2=1 c 1 ( 1 ) +c 2=4 Resolviendo las ecuaciones por el método de sumas y restas C1=1.5 y C2=2.5 POLINOMIO:

y=1.5 x +2.5

b) (-2,2), (0,-1), (2,1) Orden de polinomio ajustado a tres puntos de datos es dos: g(x)=

c 1 x 2 +c 2 x +c 3

Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos: 2

c 1 (−2 ) +c 2 (−2 ) +c 3=2 2

c 1 ( 0 ) + c2 ( 0 ) +c 3=−1 2

c 1 ( 2 ) +c 2 ( 2 )+ c3 =1 Resolviendo:

4 c1 −2 c2 =3 4 c1 +2 c 2=2 c 1=0.625 c 2=−0.25 c3

=-1

POLINOMIO: y=

0.625 x2 −0.25 x−1

c) (-1,-1), (0,0), (1,2), (2,5) El orden de un polinomio ajustado a cuatro puntos de datos es tres: g(x)= 3

2

c 1 x +c 2 x +c 3 x +c 4 Ajustando el polinomio a cada uno de los puntos:

c 1 (−1)3 +c 2 (−1)2 +c 3 (−1 ) +c 4 =−1

3

2

c 1 (0) + c 2(0) + c3 ( 0 ) +c 4 =0 c 1 (1)3 +c 2 (1)2+ c 3 ( 1 ) +c 4 =2 3

2

c 1 (2) + c2 (2) + c 3 (2)+ c 4=5 Resolviendo:

c 4 =0

−c1 +c 2−c3 =−1

c 1+ c 2+ c3 =2

8 c 1+4 c2 +2 c 3=5

Verificación con polyfit: Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los siguientes conjuntos de datos: a) (0,1),(2,0) Command Window: >> x = [-1, 1]; >> y = [1, 4]; >> a = polyfit(x,y,length(x)-1) a= 1.5000 2.5000 Polinomio: y= 1.5x+2.5 b) (1,1), (2,0), (4,2) Command Window: >> x = [-2, 0, 2]; >> y = [2, -1, 1]; >> a = polyfit(x,y,length(x)-1) a= 0.6250 -0.2500 -1.0000 Polinomio: y=0.625 x2 – 0.25 x -1 c) (-1,2), (0,2.5), (1,1), (2,-1) Command Window:

>> x = [-1, 0, 1, 2]; >> y = [-1, 0, 2, 5]; >> a = polyfit(x,y,length(x)-1) a= 0.0000 0.5000 1.5000 0.0000 Polinomio: y= 0.5 x2 + 1.5 x 4.13) Encuentre el polinomio ajustado a los puntos de datos 2, 3 ,4 y 5 del problema 4.12 en forma de series de potencias. K 2 3 4 5

X 0.25 0.5 0.75 1.0

F(X) 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

>> x=[0.25, 0.5, 0.75, 1.0]; >> y=[0.8109, 0.6931, 0.5596, 0.4055]; >> a = polyfit(x,y,length(x)-1) a = -0.0523 -0.0472 -0.4129 0.9179 y =-0.0523 x3 – 0.0472 x2 - -0.4129x + 0.9179

4.15) Escriba el polinomio y(x) en forma de serie de potencias ajustado a los siguientes puntos de datos: F( XK K ) 1. 0 21 0 1. . 32 5 2 1. . 05 0 2 0. . 97 5 X

>> x=[0, 0.5, 2, 2.5]; y=[1.21, >> a=polyfit(x,y,3) a = 0.0840 -0.4100 0.4040 1.2100 y= 0.0840x3

1.32, 1.05, 0.97];

-0.4100x2 -0.4040x + 1.2100 b) Evalúe la derivada del polinomio en x= 1.75 >> ans=a; >> polyder(ans) ans = 0.2520 -0.8200 0.4040 >> polyval(ans, 1.75) ans = -0.2592 4.17 Ajuste xSen(x) en 0< x>x=(0:pi/20:pi/2); >>y=x.*sin(x);

EJERCICIO 4.18

1.6 1.4 1.2 1

>>plot(x,y),grid, title('EJERCICIO 4.18')

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

4.23) Si una interpolación de Lagrange se ajusta a cuatro puntos de datos de xi=1,2,3,4 aparecen los siguientes polinomios cúbicos en la fórmula de interpolación de Lagrange:

( x−2 )( x−3 )( x−4) ( 1−2 ) (1−3 ) (1−4)

( x−1 )( x−3 ) ( x −4) (2−1 )( 2−3 ) (2−4) ( x−1 )( x−2 ) ( x−4 ) ( 3−1 )( 3−2 ) (3−4 ) ( x−1 ) ( x −2 )( x−3 ) ( 4−1 )( 4−2 )( 4−3 ) Grafique las cuatro funciones anteriores. Command Window: >>x=1:0.01:4; >>y=((x-2).*(x-3).*(x-4))./(-6); plot(x,y) xlabel('x'); ylabel('y') title('GRÁFICO LAGRANGE 1') text(2,0.10,'Curva de polinomio 1') grid on

>>x=1:0.05:4; >>y=((x-1).*(x-3).*(x-4))./(2); >>plot(x,y) >>xlabel('x'); ylabel('y') >>title('GRÁFICO LAGRANGE 2') >>text(2.2,0.30,'Curva de polinomio 2') >>grid on

>>x=1:0.09:4; >>y=((x-1).*(x-2).*(x-4))./(-2);

>>plot(x,y) >>xlabel('x'); ylabel('y') >>title('GRÁFICO LAGRANGE 3') >>text(2.05,0.5,'Curva de polinomio 3') >>grid on

>>x=1:0.09:4; >>y=((x-1).*(x-2).*(x-4))./(6); >>plot(x,y) >>xlabel('x'); ylabel('y') >>title('GRÁFICO LAGRANGE 4') >>text(2.45,-0.15,'Curva de polinomio 4') >>grid on